初中勾股定理16种证明方法

1、初中勾股定理16种证明方法姓名：指导：日期：【证法1】（课本的证明）勾股定理的证明三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即盾 44><L/+4x,22 ,整理得、万=二【证法2】（邹元治证明以a、b为直知边,以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三 等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条启 C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线匕V RtAHAE g RtAEBF,/. ZAHE = NBEF. ZADI + ZAIE = 90",，ZAEH

2、+ ZBEF = 9（T./. ZHEF = 180o-9（T= 90".J四边形EFG1I是个边K为正方形.:RIAGDH ZHGD = :ZHGD + , ZEHA + :ZGHE : ZDHA 二它的面积等于广 g RtAHAE, ZEI1A.ZGHD = 90", ZGID = 900.9G,90'+ 90° 二 180，ABCD是,个边长为a +.（十介=4x-f/>+r' 2【证法3（赵爽证明）b的正方形，它的面积等于（。+&1以a、b为直角边（b>a）,第2贝共10贝边作四个全等的直角三角形,则卷个直角三%形的面积

3、等P 2 .把这四个直角 角形拼成如图所示形状.V Rt ADAHA ZHDA =V ZHAD + /. ZE AB + :.ABCD 是 ,: EF = FG色 RtAABE,NEAB.ZHAD90°,ZHAD = 90",个边K为c的M方形，它的面积等于Y=GH =UE = b-a ,ZIIEE = 90°.EFGH是个边长为b-a的正方形，它的面枳等3句】 2,。加=乙【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形，则卷个直角三角形的面 积等于于: 把这两个代用:角形拼成如图所示形状，使A、&

4、B :点在条白线匕- Rt AEAD ZADE = * ZAED + ZAED + .ZDEC 二/. A DEC是一个等腰直角三角形, 2 2 它的而积等于3, .乂 ZDAE = 9（T, NEBC = 90°,. ADBQ/ Rt ACBE, NBEC.NADE - 90°, NBEC = 90°. 180°-9(f 90°. ABCD足个直角梯形，它的面积等J：*”【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的r角:角形, 们拼成如图那样的个多边形, 点p. D、E、F在一条直线上,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c.把它使D、E、F

5、在一条直线上过C作AC的廷长线交DF于URtAGEF g RtAEBD,第7页共10页二 ZEGF = /RED,/ NEGF + ZGEF = 90° , /. ZBED + NCEF = 90° , ：.ZBEG =180° 90°= 90°.XV AB = BE ，ABEG 是 /. ZABC 十 Rt AAI1C /. NABC = /. ZEB1) +=EG = GA = c,个边长为c的正方形.ZCBE = 90°. g RtAEBD, ZEBD.ZCBE = 90°.即 ZCBD= 90°.又 ZBD

6、E = 9(T, ZBCP = 90°,BDBC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形.同理,同FG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则/ + 夕=S+2x142c2 = S+ 2乂1«必【证法6】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形, c.再做个边长为c的正方形.2 ,设它们的两条宜角边长分别为a、b（b>a） .斜边长为 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在条苴线上.过点Q作QPBC,交AC于点P. 过点B作BMUQ,垂足为M；再过点 F作FMLPQ,垂足为N. / ZBCA = 90% QP/BC, /IPC 二 9

7、0% / BNJ_PQ,工 /BMP = 90°, BCPM是一个矩形,即NMBC =ZQBM + ZMBA = ZQBA = 9/，NABC + ZMBA = ZM13C = 90°, ZQBM = NABC,XV ZBMP = 9(T , ZBCA = 90。，BQ = BA = c, . RtABMQ g RtABCA.同理可证RlAQNF同RtAAEE.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7（欧几里得证明）做二个边长分别为a、I）、c的正方形.把它们排成如图所示形状.使H、C. B -A 在一条直线上，连结 BF、CD.过 C 作 CLLDE,交AB尸点

8、M,交DE3点,: AF =NFAB，AFAB A GAD, AFAB的面积等于2 , GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，:.一形ADLM的面积"二 同理可证,矩形MLEB的面积二也MBEDAC, AB = AD, =ZGAD,二正方形ADEB的面积二矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积, c2 = " -方：，即【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，如RtAABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD«LAB,垂足是【）.在AADC和AACB中，? NADC = ZACB = 90°,ZCAD = ZB

9、AC,J A ADC s a ACB.AD ： AC = AC ： AB, 即 Ae =M9/力夕.同理可证,ACDB s AACB,从而有BC? =BDAB.t i BC'1 < DB AB 一 “分.即 " 十夕.c）【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a）,斜边长为c. 再做个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AFLAC, AF交GT卜* AF交I）T J - K.过B作BP1AE,垂足为P.过I）作DE，CB的延长线垂出，唯足为E, DE交AF于乩.* ZBAI） = 9（T ， NPA

10、C = 90”,ZDAll = ZBAG又ZDHA 二AD = AB第11页共10页:.RtADHA g RtABCA./. DH = BC = a, AH = AC = b.由作法可知，PBCA是个矩形, 所以 RtAAPB 丝 RtABCA 即 PB = CA = b, AP= a,从而 PH = b-a.Rt ADGT 芸 RtABCA , RtADHA g RtABCA.： RtADGT g RtADHA . DH = DG = a, ZGDT = ZHDA .乂丁 ZDGT = 9伊,ZDHF = 90°.ZGDH = ZGDT + ZTDH = ZHDA+ ZTDII =

11、 9(T, DGEII是一个边长为a的正方形.二(；F = Eli = a . T1；_LAF. TE = GT-GF = b-a .:.TFPB是个直角梯形，上底TF=b-a, F底BP= b,高FP=a + (b-a).用数字表示示积的编号(如图),则以c为边长的正方形的面积为.区十£十耳-4方+(一司”“ +(”胡8-*9£+X,£+£= 一L"-£ a2 c把代入，得=6 + S? + £ =严 + /.【证法10(李锐证明)设一角三角形两直角边的长分别为a、b (b>a),斜边的长为c.做:个边长分别为a、

12、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示 闿积的编号(如图).: ZTBE = NABH = 90°, T b B： ntbh= NABE./d”RXV ZBTH = ZBEA = 90/ 口BT = BE = b，/ 31 a RtAHBT g RtAABE,卜 1?. IIT Al：= a.6 FK 4E"/A GH = GT-HT = b-a5 x zXV ZGHF + ZBI1T = 90 /cZDBC + ZBirr = ZFBH + /BUT = 9(T,q/. ZGHF = ZDBC. / DB = EB-ED = b-

13、a, NHGF = ZBDC = 90°,，RtAHGE g RtABDC.即5=£.过 Q 作 QUAG,垂足是 M.由 NBAQ - ZBEA - 90°,可知 ZABE =NQAM,而 AB = AQ = c,所以 RlAABE g RtAQAM . 乂 RtAHBT 且 RtAABE.所以RtAHBT g RtAQAM .即 二 %III Kt A ABE 经 RtAQAM, 乂得 QM = AE = a, ZAQM = ZBAL : ZAQM + ZEQM = 90°, ZBAE + ZCAR = 90°, ZAQM = ZBAE,

14、:.ZEQM = ZCAR.又 ZQME = ZARC = 9(T , QM = AR = a,A RtAQMF g RtAARC-即 &='. 1=£+£ + £ + £+£ /=S + S6 k =5 + S + J；又.邑Z, + 加=3 + £ + £ + £ + £=£ + S4 + Sx + S?E即 / + =".【证法11（利用切割线定理证明）在RSABC中，设直角边BC = a, AC=b,斜边AB=c.如图,以B为圆心a为半 径作圆,交AB及AB的延

15、长线分别于D、E,则BD=BE = BC = a.因为NBCA = 90°, 点C在。B点所以AC是OB的切线.由切割线定理,得AC = AE-AD在Rl A ABC中，设直角边BC = a, AC = b,斜边AB=c （如图）.过点A作ADCR 过点B作BDCA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个如 根据多列米定理，园内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有）C =Z?C+ AC BD , AB = DC = c, AD = BC = a.AC = BD = b-/.彼=BC1 , Ll|J d =,A W.【证法13（作直角三角形的内切圆证明）在RtAABC中,设直

16、角边BC = a, AC = b,斜边AB = c.作Rt AABC的内切圆©0, 切点分别为D、E、F （如图），设。0的半径为r.V AE = AF, BF= BD, CD = CE,:.RC- AB = （/£+ 可 + （3 +3-（力/+ BF二 CE弋 CD= r + r = 2r,El|j 。十力一c=2/,/. 。+力= 2/,+*, s + 3）=+，i| （V 4万 + 2.必一 4|r' + /r| +/.S”!力,：.2ab =4S、w,222=2一（2/+，+）/,=2:尸 + /r,4（/+阳）=4&,% 4（/：+/）=2万，/

17、 + A，+ 2ab= 2ab + c2 9/. a2 + = c【证法14（利用反证法证明）如图，在RtAABC中，设有.用边AC, BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过 点C作CDJ_AB, 垂足是D.假设工/，即假设3+Q工次，贝灿ABr = A8 AB= A仄 AD+ BD= A8.在» 月 QD可知 AC dD,或者 BC、AB,BD.即 AD： ACAC： AB,或者 BD： BCrBC： AB.在八ADC和AACB中. / ZA = NA, 若 AD： ACWAC： AB,则 NADCHNACB.在MDB和AACB中， : ZB = ZB,/.若 BD： BCB

18、C： AB,则 ZCDBZACB.又 ZACB = 90P,NADC#9（T, ZCDB90°.这与作法CDL'B矛盾.所以，2+叱工协的假设不能成忆A 二乙【证法15（辛卜松证明）第15页共10页便E、bbE9(r, CM = a,9CC , AE - b, g RtADMCe NMDC, DC - AD - c. NADC+ ZMl)C =18(T,ZMIX： = ZADE + NEAD = 9CT , 9CP.设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD. 把11：方形A1JCD划分成I：方左图所示的儿个部分，则正方形ABCD的面枳为 （</+"=/+力、2砂：把正方形ABCD划分成上方右图所示的儿个部分，则正方形ABCD的 一.，| +，9=4xL必+ d.,面积为2=2"+/.二.+ 分 + 2/=2ab+ C【证法16（陈杰证明）设门角一角形两直角边的长分别为a、b （b>a）,斜边的长为c.做两个边长分别为a.IK M :点在,条I工线上用数字表b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示