勾股定理16种经典证明方法

1、勾股定理的证明61【证法1】a做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.ba、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正从图上可以看到,221a b 4 ab2这两个正方形的边长都是c2 4 -ab 2整理得a + b ,所以面积相等.即【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形,角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上,Rt A HAE 色 Rt AEBF,/AHE = /BEF / AEH + / AHE = 90 o, / AEH + / BEF = 90 o.Z HEF = 180o90o=

2、 90 o.四边形EFGH一个边长为c的-ab2.把这四个直角三G D三点在一条直线上.正方形.它的面积等于c2.Rt A GDH Rt A HAE,/ HGD= / EHAZ HGD + Z GHD = 90o,Z EHA + Z GHD = 90o.Z GHE = 90o,/ DHA = 90o+ 90 o= 180 o.B、则每个直角三角形的面积等于F、C三点在一条直线上， C ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于a卜212a b 4 ab c2.【证法3（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a）,以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角1ab三角形的面积等于 2

3、.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. Rt A DAH 色 Rt A ABE,/ HDA = / EAB / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 90o,ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EF = FG =GH =HE = b a , / HEF = 90 o. EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于1224 一 ab b a c 2.Y 2 c2 a b c . 【证法4】（1876年美国总统 Garfield 证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于-ab2.把这两个直角三角形拼成如图

4、所示形状，使A、E、B三点在一条直线上 Rt A EAD 9 Rt ACBE,/ADE = /BEC / AED + Z ADE = 90 o, / AED + / BEC = 90 o./ DEC = 180o90o= 90 o. A DE比一个等腰直角三角形，1 2它的面积等于2.又 /DAE = 90o, /EBC = 90 o, AD / BCABCD是一个直角梯形，它的面积等于121a b 2 ab222,22a b c .【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D E、F在一条直线上.过C作

5、AC的延长线交 DF于点P.D、E、F 在一条直线上,且 RtAGEF 9 Rt A EBD,/ EGF = / BED /EGF + ZGEF = 90° ,Z BED + Z GEF = 90 ° , / BEG =18890。= 90 o.又 AB = BE = EG = GA = c , ABEG是一个边长为c的正方形.Z ABC + Z CBE = 90 o. Rt A ABC 9 Rt AEBD, Z ABC = /EBDZ EBD + Z CBE = 90 o.即 / CBD= 90o.又 Z BDE = 90o, / BCP = 90 o, BC = BD

6、= a .BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG一个边长为b的正方形 设多边形GHCB曲面积为S,则2. 2 八-1.ab S2ab,22-1 ,cS2ab2,7-3 -22*a b c【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP/ BC,交AC于点P.过点B作BM! PQ垂足为M;再过点F作FN PQ垂足为N. / BCA = 90 o, QP/ BC /MPC = 90o,BM± PQZ BMP = 90o,

7、BCPM是一个矩形,即/ MBC = 90o. / QBM + / MBA = / QBA = 90o, / ABC + / MBA = / MBC = 90o, /QBM = /ABC又 Z BMP = 90o, / BCA = 90 o, BQ = BA = c Rt A BMQZ Rt A BCA同理可证 Rt A QNF 9 Rt AAEF从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明）.【证法7（欧几里得证明）Fm做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使¥、p bB三点在一条直线上，连结b4MBABF、CD 过 C作 CL± DE, 交AB于点M,

8、交DE于点L. AF = AC , AB = AD,/ FAB = / GADA FAB 9 A GAD1 2a A FAB的面积等于2A GAM面积等于矩形 ADLM的面积的一半，2矩形ADLM勺面积=a同理可证，矩形 MLEB勺面积正方形ADEB的面积=矩形ADLM勺面积+=b2,c2【证法【证法矩形MLEB的面积22c2a b c8】（利用相似三角形性质证明）9（杨作玫证明）a、b （b>a）,斜边长为c.再做一个边长为cR过B作BP! AF,垂足为P.的正方形.过D作DE做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF± AC A

9、F交GT于F, AF交DT于与CB的延长线垂直，垂足为 E, DE交AF于H / BAD = 90o, / PAC = 90o, / DAH = / BAC又 /DHA = 90o, / BCA = 90 o,AD = AB = c , Rt A DHA 9 Rt A BCADH = BC = a , AH = AC = b .由作法可知，PBCA是一个矩形，所以 Rt A APB 9 Rt A BCA 即 PB =CA = b , AP= a,从而 PH = b a.Rt A DGT 省 Rt A BCA ,Rt A DHA 9 Rt A BCA Rt A DGT 9 Rt A DHA .D

10、H = DG = a , / GDT = / HDA .又 Z DGT = 90o, / DHF = 90 o,Z GDH = ZGDT + ZTDH = / HDA+ ZTDH = 90o, DGFH是一个边长为a的正方形. .GF = FH = a . TF± AF, TF = GT GF = b a . TFPB是一个直角梯形，上底 用数字表示面积的编号（如图）TF=b a,下底 BP= b,高 FP=a + （ba）.,则以c为边长的正方形的面积为SiS2S3S4 S5S8S3S41b 2b2 1ab2S5S8S9S3S4b2lab 2S8S8把代入,c2 S1得S2b2Si

11、S8S8S92=bS2s9 = b2 a2a2b2c2【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b （b>a）,斜边的长为c.做三个边长分别为 成如图所示形状，使 A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图） .a、b、c的正方形，把它们拼 ZTBE = / ABH = 90o,ZTBH = / ABE又 / BTH = / BEA = 90 o,BT = BE = b , Rt A HBT 9 Rt A ABEHT = AE = a .GH = GT HT = ba.又 Z GHF + Z BHT = 90 o,/ DBC + / BHT = / TBH

12、+ / BHT = 90 o,Z GHF = /DBC DB = EB ED = ba,/ HGF = / BDC = 90o, Rt A HGF 9 Rt A BDC 即 S7 S2 .过 Q作 QML AG 垂足是 M 由/BAQ = Z BEA = 90 o,可知 Z ABE=/ QAM 而 AB = AQ = c ,所以 Rt A ABE 省 Rt A QAM.又 Rt A HBT 省Rt A ABE 所以 Rt A HBT Rt A QAM.即 S8 S5.由 Rt A ABE 9 Rt A QAM 又得 QM = AE = a , / AQM = / BAE Z AQM + Z F

13、QM = 90o, Z BAE + Z CAR = 90o, Z AQM = /BAE / FQM = / CAR又 Z QMF = Z ARC = 90o, QM = AR = a , Rt A QMF Rt A ARC 即 S4 S6 .S1S2S3S4S5a2SiS6b2S3S7S8,又 S7S2S8S5S4S6? ? ?即a2【证法【证法【证法【证法【证法b2 S1 S6 S3 S7 S8二 SiS4S3 S2S5b211】12】13】14】15】_2=c ,c2（利用切割线定理证明）（利用多列米定理证明）（作直角三角形的内切圆证明）（利用反证法证明）（辛卜松证明）babb2ab设直角

14、三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.2方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为作边长是2,2a ba+b的正方形ABCD 把正方形ABCDJ分成上2ab ;把正方形ABCDiJ分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCM面积为22_2a b 2ab 2ab cb21ab 22c=2ab c2a、b （b>a）,斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a）,把它们【证法16（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为拼成如图所示形状，使 E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图） 在EH = b上截取ED = a ,连结DA DC则 AD =

15、c . EM = EH + HM = b + a , ED = a ,DM = EM ED = b a a = b .又 /CMD = 90o, CM = a, /AED = 90o, AE = b , Rt A AED 9 Rt ADMC/ EAD = / MDC DC = AD = c . / ADE + / ADC+ / MDC =18Gb,/ ADE + / MDC = / ADE + / EAD = 90 o, Z ADC = 90o.作AB/ DC CB/ DA贝U ABC虚一个边长为 c的正方形. /BAF + / FAD = Z DAE + /FAD = 90 o, / BAF=/ DAE连结FB,在A ABF和A ADE中， AB =AD = c ,