自动控制原理第三章 二阶系统PPT

1、第三章第三章 时域分析法时域分析法第一节第一节 系统时域性能指标系统时域性能指标第二节第二节 一阶系统时域分析一阶系统时域分析第五节第五节 系统稳定性分析系统稳定性分析第六节第六节 系统稳态性能分析系统稳态性能分析第三章第三章 时域分析法时域分析法第三节第三节 二阶系统二阶系统时域时域分析分析第四节第四节 高阶系统时域分析高阶系统时域分析 系统的时域性能指标分为动态性能指标系统的时域性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。动态性能指标又可分为跟和稳态性能指标。动态性能指标又可分为跟随性能指标和抗扰性能指标。随性能指标和抗扰性能指标。1跟随性能指标跟随性能指标 跟随性能指标是根据典型的单位阶跃响

2、跟随性能指标是根据典型的单位阶跃响应定义的。应定义的。第一节第一节 系统的时域性能指标系统的时域性能指标 系统的性能指标主要有时域性能指标和系统的性能指标主要有时域性能指标和频域性能指标，与输入信号有关。频域性能指标，与输入信号有关。tc(t)01(1)上升时间上升时间tr 输出响应从零开始第一次上输出响应从零开始第一次上 升到稳态值所需的时间。升到稳态值所需的时间。上升时间：上升时间：单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 tr(2) 峰值时间峰值时间t ptp峰值时间：峰值时间： 系统输出响应由零开始，第系统输出响应由零开始，第 一次到达峰值所需时间。一次到达峰值所需时间。%(3) 超调量超调量

3、% %超调量：超调量：输出响应超出稳态值的最大偏输出响应超出稳态值的最大偏离量占稳态值的百分比。离量占稳态值的百分比。% %= =c(tp)-c()c()100%(4) 调节时间调节时间t s 系统输出响应达到并保持在稳态值的系统输出响应达到并保持在稳态值的5%（或（或2%）误差范围内，所需时间。）误差范围内，所需时间。ts(5) 稳态误差稳态误差e ss系统期望值与实际输出的系统期望值与实际输出的最终稳态值之间的差值。最终稳态值之间的差值。ess2抗扰性能指标抗扰性能指标 如果控制系统在稳态运行中受到扰如果控制系统在稳态运行中受到扰动作用动作用,经历一段动态过程后又能达到新经历一段动态过程后

4、又能达到新的稳态。可用抗扰性能指标来描述系统的稳态。可用抗扰性能指标来描述系统的抗扰性能的抗扰性能. 根据系统在负载扰动之后的典型过根据系统在负载扰动之后的典型过度过程定义抗扰性能指标度过程定义抗扰性能指标:ttc(t)0（1）动态降落）动态降落 系统输出系统输出的最大降落的最大降落值。值。C1cmax（2）恢复时间）恢复时间 系统输出恢复到与误差带范围所需的系统输出恢复到与误差带范围所需的时间。时间。5%返回返回第三章第三章 时域分析法时域分析法第二节第二节 一阶系统时域分析一阶系统时域分析 根据系统的输出响应求取系统的性根据系统的输出响应求取系统的性能指标，从而分析系统的性能，是时域分能指

5、标，从而分析系统的性能，是时域分析法分析系统性能的基本方法。析法分析系统性能的基本方法。一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型二、一阶系统的时域响应及性能分析二、一阶系统的时域响应及性能分析一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型T时间常数时间常数 1TS_R(s)R(s)E(s)E(s)C(s)C(s)一阶系统的方框图一阶系统的方框图闭环传递函数为闭环传递函数为1TS+1(s)=C(s)R(s)= 当控制系统的数学模型为一阶微分当控制系统的数学模型为一阶微分方程时，称其为一阶系统。方程时，称其为一阶系统。1单位阶跃响应单位阶跃响应 系统在单位阶跃信号作系统在单位阶跃信号作 用下的输

6、出响应用下的输出响应.一阶系统单位阶跃响应一阶系统单位阶跃响应: 单位阶跃响应单位阶跃响应:1=S1S+1/T-1SC(s)= (s)1TS+1=1SR(s)1=Sc(t)=1-e-t/T 一阶系统没有超调，系统的动态性能一阶系统没有超调，系统的动态性能指标为调节时间：指标为调节时间：ts = 4Tts = 3T(2%)(5%)二、一阶系统时域响应及性能分析二、一阶系统时域响应及性能分析 一阶系统单位阶跃响应曲线一阶系统单位阶跃响应曲线 c(t)t0T10.6322T0.863T0.954T0.982单位斜坡响应单位斜坡响应R(s)1=S2c(t)=t-T+Te-t/TC(s)= (s)1S2

7、1TS+1=1S2T=STS+1/T-1S2+单位斜坡响应为单位斜坡响应为: 单位斜坡响应曲线单位斜坡响应曲线 h(t)t0T3单位脉冲响应单位脉冲响应单位脉冲响应为单位脉冲响应为:R(s)=1=1/TS+1/TC(s)= (s)=TS+11c(t)=g(t)=e-t/TT1单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线c(t)t0T1 系统输入信号导数的输出响应，等系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响应，就可推知于其它。典型信号的响应，就可推知于其它。根据一阶系统三种响应的输入输出信号根据一阶系统三种响应的输入输出信号:可知可知

8、:c(t)=1-e-t/Tc(t)=t-T+Te-t/Tc(t)=e-t/TT1r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=(t)例例 一阶系统的结构如图，试求系统的一阶系统的结构如图，试求系统的 调节时间调节时间t s （5%）；如果要求）；如果要求 t s= 0.1s，求反馈系数。，求反馈系数。 KkS_R(s)R(s)E(s)E(s)C(s)C(s)KH设设 Kk= 100 KH= 0.1解：解：系统闭环传递函数系统闭环传递函数KkKH100/S(s)=C(s)R(s)=1+1000.1/S10=0.1S+1得得:t s=3T=30.1=0.3 s若要求若要求:t s=0.1 s则则:100

9、/S(s)=C(s)R(s)=1+100KH/S=(0.01/KH)S+11/KHT=0.01/KHKH =0.3t s=3T=30.01/KH=0.1 s返回返回第三章 时域分析法第三节 二阶系统时域分析一、二阶系统的数学模型二、二阶系统的单位阶跃响应五、改善二阶系统性能的措施三、二阶系统的性能指标四、带零点二阶系统的单位阶跃响应 二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统的典型结构:2n _R(s)C(s)S(S+2 n) 阻尼比 无阻尼自然振荡频率n2n2n S2+2 S+(s)=C(s)R(s)=n 一、二阶系统的数学模型n2n2n S2+2 S+=S2 +RS/L+1/LC1/LC

10、G(s)=LCS2 +RCS+11=Uc(s)Ur(s)例如：RLC电路的传递函数为得： 二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。求出标准形式的动态性能指标与其参数间的关系，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。n 2=R/Ln2 = 1/LCn=1/ LC= R C2 L值不同，单位阶跃响应的形式不相同。n2n (S2+2 S+n2)SC(s)=(s)R(s)=n S2+2 S+n2= 0n S1.2 = - n2 -1 二、二阶系统的单位阶跃响应1. 1 过阻尼 两个不相等的负实数根拉氏反变换n S1.2 = - n2 -1 A1=SS-S1+A2A3S-S2C(s)=S(S-S1)

11、(S-S2)nc(t)=A1+A2es1t+A3es2t 系统输出随时间单调上升，无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。 过阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01 1 2. =1 临界阻尼输出响应:两个相等的负实数根S1.2 =-n C(s)=n2n (S+)2 S1=S1-nn (S+)2 n S+-n c(t) =1- en -t(1+t) 输出响应无振荡和超调。=1时系统的响应速度 比 1 时快。 临界阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01=1 3. 0 1 欠阻尼n S1.2 = - n2 -1 两个复数根令： d1-2 n= 阻尼振荡频率n jS1.2 = - d则：单位阶跃 响应

12、：n2n (S2+2 S+n2)SC(s)=n2n (S+ S+d2)2=1n (S+ S+d2)2=+1n -(S+ )n (S+ S+d2)2=1n S+ n (S+ +d2)2-n -d d 拉氏反变换：dc(t)=1-sindte-ntcosdt-ne-nt=1-sindte-ntcosdt+ 1-21-2 系统参数间的关系: S1S2j1-2nn1-2-n-n0COS=1-2Sin=1-2=tg-1 单位阶跃响应: c(t)=1-1-2sincosdt + cossindt e-nt=1-1-2Sin(dt+)e-nt 欠阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t011 4. =0 无阻尼

13、单位阶跃响应: 单位阶跃响应曲线S1.2 =jn C(s)=n2n (S2+2)Sn S2+2 1=SS-n c(t) = 1-costc(t)t01=0 从以上结果可知:值越大，系统的平稳性越好；值越小，输出响应振荡越强。 不同值时系统的单位阶跃响应c(t)t01=1 1 =0 C(s)S2 +S+44R(s)=例3-3 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统 的单位阶跃响应.解：2n= 1n 2 = 4n = 2= 0.25可知n= 0.5d = 1.91-2=tg-1=75o得：=1-1.03e-0.5tsim(1.9t+75o)将参数代入公式:c(t)=1-1-2Sin(dt+)etn欠阻

14、尼二阶系统的单位阶跃响应曲线tc(t)01trtp%tsess主要性能 指标有性能指标求取如下三、二阶系统的性能指标1-2Sin(dtr+)=0e-ntrc(tr)=1-1-2Sin(dtr+)=1e-ntr1. 上升时间tr即根据定义有Sin(dtr+)=0dtr+=0,2则tr =- d- 1-2 n=得:其中=tg-11-22. 峰值时间tp根据定义有dc(tp)dt=0c(t)=1-1-2Sin(dt+)etn-11-2dc(tp)dt=sin(dtp+)- ne-ntpcos(dtp+)=0+de-ntp=0即则= cos(dtp+)sin(dtp+)1-2tg(dtp+)=tgsi

15、n(dtp+)-necos(dtp+)1-2= -ntp1-2-nsin(dtp+)=0cos(dtp+)1-2-ndtp = 0,21-2tp=dn=3. 超调量% tp=dc(t)=1-1-2sin(dtp+)e-ntpsin+1-2e1-2- /=1-sin(+)1-2e1-2- /- -=1+将公式代入1-2- /c(tp)=1+e100%=c(tp)-11%=c(tp)-c()c()100%1-2- /=e100%4. 调节时间ts求取调节时间可用近似公式：(5%误差带)(2%误差带)当大于上述值时，可用近似公式计算：tp =3T=n30.68tp =4T=n40.707之后又有 t

16、s , 3）准确性： 的增加和n的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态误差增加。由和 n决定。例 已知系统的闭环传递函数 ，当K = 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃响应和% ,ts 。(s)=S2 +3S+KK解：（1）K = 2(s)=S2 +3S+22n = 2=1.061得C(s)=2S(S+1)(S+2)1=S2S+11S+2-+单位阶跃响应c(t)=1-2e-t+e-2t系统性能指标 ts = 3T1= 3（2）K = 4(s)=S2 +3S+44n = 2=0.751c(t)=1-1-2sin(dt+)e-nt=1-1.5e-1.5t sin(1.32

17、t+41.4o) 单位阶跃响应系统性能指标ts = n 4=2.67%= e1-2- /100% =2.8%系统的时域响应曲线 c(t)t01KS(S+34.5)_r(s)c(s)例 已知随动系统的结构如图，试计算在不同参数下，系统的动态性能指标。K=1000, K=7500, K=150。解： 闭环传递函数(s)=S2 +34.5S+KK（1）K=1000(s)=S2 +34.5S+10001000n = 31.6=0.545n 2=34.5n2 = 1000tp = n 1-2=0.12ts = n 3=0.17%= e1-2- /100% =13%（2）K=7500n = 86.2=0.

18、2tp = 0.037ts = 0.17%= 52.7%（3）K=150n = 12.25=1.41(s)=150(S+5.1)(S+29.4)T1 = 1=0.1965.1T2 = 1=0.0329.4ts = 3T1 = 0.588%= 0随动系统的响应曲线c(t)t01四、带零点二阶系统单位阶跃响应有闭环零点的二阶系统闭环传递函数为 时间常数z 闭环零点C(s)(s)=R(s)n2 n S2+2 S+n2(S+1)=n2 n (S2+2 S+n2(S+1)1)=n2 n z(S2+2 S+n2(S+z)则(s)=n2 n S2+2 S+n2)+n2 n z(S2+2 S+n2S设C1(s

19、)=n2 n S2+2 S+n2R(s)设R(s)=S100s0 b41 40K 系统稳定的条件系统稳定的条件:560-40K040K00K0K0即即K0 1+T T 1+T-TK 1+T _R(s)C(s)s+1s+1KS2(TS+1)2加入比例微分环节加入比例微分环节 系统中加入比例微分环节结构图系统中加入比例微分环节结构图系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为:(s) =TS3+S2+KS+1)K(S+K劳斯表劳斯表:s3 T K 1 K s2 s1 K( -T) K s0 系统稳定的条件系统稳定的条件:K0-T0即即TK0返回返回第六节第六节 控制系统的稳态误差分析控制系统的稳态误差

20、分析 一、给定信号作用下的稳态误差一、给定信号作用下的稳态误差二、扰动信号作用下的稳态误差二、扰动信号作用下的稳态误差三、改善系统稳态精度的方法三、改善系统稳态精度的方法第三章第三章 时域分析法时域分析法系统误差：系统误差：一、给定信号作用下的稳态误差一、给定信号作用下的稳态误差 及误差系数及误差系数 控制系统的典型结构控制系统的典型结构B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)_e(t)=r(t)-b(t)期望值与实际值的差值。期望值与实际值的差值。稳态误差：稳态误差： 进入稳态后的误差值。进入稳态后的误差值。 ess=lim e(t)t设设D(s)=0R(s)作

21、用时作用时Er(s)=R(s)1+G1(s)G2(s)H(s)=R(s)1+G(s)H(s)根据终值定理得根据终值定理得:essr=lim er(t)=lim sEr(s)ts0R(s)1+G(s)H(s)s0=lim s 系统给定信号作用下的稳态误差不仅与系统给定信号作用下的稳态误差不仅与系统的输入有关，还与系统的结构有关。系统的输入有关，还与系统的结构有关。 系统输入的一般系统输入的一般 表达式为表达式为:N系统开环传递函数系统开环传递函数 的一般表达式的一般表达式:R(s)=ASNmk(iS+1)i=1S(TjS+1)n-j=1G(s)H(s)=nm 输入信号的阶次输入信号的阶次 积分环

22、节个数积分环节个数K 开环增益开环增益Tj i 时间常数时间常数系统的稳态误差系统的稳态误差 可表示为：可表示为：essr=lim SASNkS1+s0 对应于对应于为为0，1，2的系统，分别称的系统，分别称为为0型、型、I型和型和II型系型系统。统。1静态位置误差系数静态位置误差系数Kp设设定义静态位置误差系数定义静态位置误差系数:r(t)=R0 1(t)R(s)=R0/Sessr=lim S 1+G(s)H(s)s0R0/SKp=lim G(s)H(s) s0KSs0=lim 1+limG(s)H(s)s0R0=mk(iS+1)i=1S(TjS+1)n-j=1G(s)H(s)=essr=R

23、01+Kp=0 kp=k R01+Kpessr=可得：可得：kp= essr=01 不同型别系统的阶跃响应曲线不同型别系统的阶跃响应曲线 (a)(b)r(t)t0c(t)=0r(t)c(t)r(t)t0c(t) r(t)c(t)12静态速度误差系数静态速度误差系数K设设定义静态速度误差系数定义静态速度误差系数:r(t)=0tR(s)=0/S2essr=lim S 1+G(s)H(s)0/S2s0K=lim SG(s)H(s)s0lim SG(s)H(s)0s0=KS-1s0=limmk(iS+1)i=1S(TjS+1)n-j=1G(s)H(s)=essr=0K=0 k=0 可得：可得： ess

24、r=1 k=K essr=0K 2 k= essr=0不同型别时系统的斜坡响应曲线不同型别时系统的斜坡响应曲线:(a)r(t)t0c(t)r(t)c(t)=0r(t)t0c(t)(b)r(t)c(t)= =1r(t)t0c(t)(c)r(t)c(t)23静态加速度误差系数静态加速度误差系数Ka设设定义静态加速度误差系数定义静态加速度误差系数essr=lim S 1+G(s)H(s)a0/S3s0r(t)= a0t2 12R(s)=a0/S3Ka=lim S2G(s)H(s)s0lim S2G(s)H(s)a0s0=KS-2s0=limmk(iS+1)i=1S(TjS+1)n-j=1G(s)H(

25、s)=essr=a0Ka1 ka=0 可得：可得： essr=essr= a0 K=2 ka=K 3 k= essr=0抛物线输入信号作用下的响应曲线抛物线输入信号作用下的响应曲线(a)r(t)t0c(t)r(t)c(t)1(b)r(t)t0c(t)r(t)c(t)= =2 例例 已知系统的结构如图所示。求系统已知系统的结构如图所示。求系统 的稳态误差。的稳态误差。0.5_100S(S+10）R(s)C(s)解：解： G(s)H(s)= 1000.5S(S+10)系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为+R(s)=S1S21s0Kp=lim G(s)H(s) =lim s0S(0.1S+1)5

26、= ess1=0R(s)=S1R(s)=S21S(0.1S+1)5 =s0K=lim SG(s)H(s) =limS s0S(0.1S+1)5=5 ess2=1/5essr=ess1+ess2=0.2 例例 位置随动系统的稳态误差分析。位置随动系统的稳态误差分析。KS(TmS+1)_r r(s)(s)c c(s)(s)解：解： (1) 典型随动系统典型随动系统开环传递函数为开环传递函数为KS(TmS+1)G(s)=e essss=0=0Sr r(s)=(s)=1当输入信号当输入信号当输入信号当输入信号S2r r(s)=(s)=1e essss= =K1E(s)=E(s)=r r(s)-(s)-

27、c c(s)(s)(2) 随动系统前加入比例微分环节随动系统前加入比例微分环节S+1KS(TmS+1)_r r(s)(s)c c(s)(s)(s)=TmS2 +S+KK(1+S)系统为非典型结构系统为非典型结构,闭环传递函数闭环传递函数:= =r r(s)(s)1-1-TmS2 +S+KK(1+S) =TmS2 +S+KTmS2 +S+K-K-KS当输入信号当输入信号S2r r(s)=(s)=1ess=limSE(s)s0TmS2 +S+KTmS2 +S-KS1=limSs0S2=K1-K=K1e essss=0=0(3) 前向通道中加入比例微分环节前向通道中加入比例微分环节S+1KS(TmS+1)_r r(s)(s)c c(s)(s)开环传递函数为开环传递函数为S)K(1+S(TmS+1)G(s)=e essss=0=0Sr r(s)=(s)=1当输入信号当输入信号当输入信号当输入信号S2r r(s)=(s)=1e essss= =K1开环零点对稳态误差没有影响开环零点对稳态误差没有影响+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)二、扰动信号作用下的稳态误差二、扰动信号作用下的稳态误差D(s)作用下的系统结构图作用下的系统结构图Ed(s)= D(s