傅里叶变换与拉普拉斯变换.

1、 4. 11拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系主要内容引言从函数拉氏变换求傅氏变换重点：从函数拉氏变换求傅氏变换难点：判断函数傅氏变换的存在一、引言我们在引出拉氏变换 时，是针对/(”不满足绝对 可积条件，对其乘以一个衰减因子 严，作傅氏变换 潼变为拉氏变换orllf(t =ii(t)= F(ss=a+ja) 由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系当bo 0时，收敛边界落于E右半平面% V0时,收敛边界落壬左半平面当b =0时,收敛边界位于虚轴傅氏变换与拉氏变换的区别和联系($ = b + Jfi?)L当60时,收敛边界落于平面右半边/(rUr) (ao) 其拉氏变换：F(s)=-收敛域：aa不能由

2、F($)求FS).華92.当s 0)(v)= 1收敛域：b-aa十s 衰减函数，傅氏变换是存在zF(jco) = ? a+jG)f (妙=F(Q i _LM)B!-aJ3.当s =B士收敛边界位于虚轴F($)是存在的，F肖卩($比间不再是简单的置嫖:系, 因为傅氏变换中包括耕函数项例如:/(Z)= z/(Z)F(s)= - , F(/cy) = ;r&a?)+Sj3若收敛坐标Oq=0, F(s)的收敛城为Re s 0, F(s) 的收敛域不包含j3轴，故F(s)在j3轴上不收敛.若令2j3, 则F(s)不等于F(jco).和虚轴上都有极点，并且虚轴上的极点 为m个一阶极点j2,m).将F(s)

3、展开为部分分式,表示为N K 尸($)=巧($)+工冷-旳式中，叫(S)表示左半平面极点对应的分式.令Fa(s)的原函数为fjt),則F(s)的原函数为N0 = LF(C1 = + 工 K叫 II =fa(n + 几(Z)H-IN其中几=k肿叫zr-lf(t)的傅里叶变换为F(jco)=尸/(/) = FLA(/)1 +(01由于是化(s)的原函数，并且巴($)的极点在左半面，故F(jco) = F(s)傅里叶变换的线性性质和频移性质，并且由于叹0的傅里 叶变换为鋅7rSco)十得炉rFH=d 7rSco-H-iNF(j4 = FaG) =ja +工心兀 geo-NKN=恥)十 Z -一 +工

4、 K 加(Q - )n-I J3-J% n-INs+ 工3(-5)心例：已知f (t)=e2tcos t - e (t)的单边拉氏变换为F(s) = + ?(S + 2)2 + 1求/傅里叶变换F(jeo解F (S)的收敛坐标bo=2 ,即boVO因此一、 70+2F(je) =(je+ 2)2+1另一方面，根据傅里叶变换的调制定理，由于所以有7Q+2(加 +2)2 + 1F(ja) = Fe %a)cos72 八0 + 1) + 2 + J+l) + 2思考题-根据函数拉氏变换，如何判断它的傅氏变 换是否存在？例 1 己矢口： F(s) = _，求/().) = ?5皿 /(0+)= lin

5、i/a)= lim护() = 1 / tO 令5 即单位阶跃信号的初始值为I2c例 2 F(s)=，求/(打)=?BACK21 / 昭 “ )= =-2 +f f * s + l s + i/. f (0 ) = llm5F(s)-/c51= lim/ 、/(/冲有2刃顾丿r(2、s2-2s *$ + 1 丿=litn 2$ = lim ? = 2 5 $ + I $-00 I /()+)=2 $T-初值定理证明果函数微分定理可知Q/a)=也Jo- dzJo dz.、F($) = /(0j+J 切2_“d/ 儿dtsF(s)-f(fi_)=Llimyoodr+d/严 dr儿dzd)严 drdz

6、s drrci/(z)LJ/df =0BACK【例1】【例2】时移特性例题已知/（） =加（一1）求卩（$）BACKF(s)= L|z(/ -1)=皿(一lh(f -1)+ (f -1) 卜 已坷(t )-72 cosz + 扌/(/)= V2 cos /cos %/2 sin fsiF(s- 一口尸0丿一1 + 21 + 2-1+2M小求F（以兀tsin = cos/ sin t4警+ 3心BACK 已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和 描述此系统肾轻攻程Lf匕:解二1 /1+h 3 s/f(s)+3Jf(s) = E(s)dr(Z)dr/)孑“、.de(Z)统；一+ 5+ 6r(Z) = 2Zh 6d 厂 (1/ 2时系统!是忽衆1可得k二沪本章小结1. 拉普拉斯变换是本课程介绍的第二个对信号的 变换方法，目的是为了解决傅里叶变换在实际应用 中面临的一些实际问题，它的引入是从一些增长型 的信号固不满足傅里叶变换存在的条件而不能进行 傅里叶的分析开始的.2. 拉普拉斯变换中值得我们着重注意的是变换收 敛域的概念，以及拉氏变换与傅氏变换相互之间的 关系。另一方面要了解的是拉氏变换在系统分析中 的应用。就变换的性质而言，大部分与傅氏变换是 相似的（或本质上是相一致的）但也有