双曲线的简单几何性质(1)

1、从图中可以看出，双曲线2 X 2 a§ 2.3.2双曲线的简单几何性质（1）教学目标1. 掌握双曲线的几何性质2. 能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方 程.教学重点双曲线的几何性质教学难点双曲线的渐近线教学过程I. 复习回顾：师：上一节，我们学习了双曲线的标准方程，这一节，我们要根据它来研究双曲线的 几何性质 同学们可以按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，自己推出双曲线的几何性质， 然后与课文对照，所以，我们来回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤.（略）II. 讲授新课：1. 范围：双曲线在不等式x> a与xw a所表示的区域内.2. 对称

2、性：双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲 线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.3. 顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点Ai（ a,0）、A2（a,0）,它们叫做双曲线的顶点.线段AiA2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半 轴长；线段BiB2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚 半轴长.4. 渐近线我们把两条直线y= ± -X叫做双曲线的渐近线;a2乂71的各支向外延伸时,b2与直线y= ± bx逐渐接近.a 关于“渐近线”的说明:J KIr、 yY d=*=1HOD i 、/ J /J日翳e)-2IU

3、 i、/.i、J'-.，乂一苜4 -E、 H” J、 VJ/、.可以发现，点 M的横坐标XM越来越大，d越来越小，但永远不等于 0 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5. 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=c，叫双曲线的离心率.a说明：由c>a>0可得e>1 ；双曲线的离心率越大，它的开口

4、越阔 . 列表：罕再=血>口 * >0）範围-ci< x<a f -b<y <h应或広兰-cJ, ywR对称性关于世标柚.原点都是对称 的，擁轴、对称中心）关千坐标轴、鹿揃隔尿槪 的.对称如对称申心）顶点四牛.坐标人（-G），舛0），耳-亦骂D i）二个坐标4 （0,0）珂（口弭）离心离©£,反映橢圆回扇程度 af> 1（教师说明实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长）.师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题.例3求双曲线9y2 16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程2解：把方程化为标准方程.

5、笃422x db=3. 1.由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长3I 22f 22c M'a b <35.焦点的坐标是(0， 5), (0, 5).离心率e3 4渐近线方程为x y，即yX .4 3例双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m,上口半径为13 m,下口半径为25 m,高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.y吟4 ,rI 1L1,120)解：如图，建立直角坐标系 xOy，使A圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径、BB 平行于 x 轴，且 CC =13 X 2 (m),

6、BB =25 X 2 (m).设双曲线的方程为2 x 2 a2 y b2(a>0,b>0)令点C的坐标为（13,y).则点B的坐标为（25,y 55)因为点B、C在双曲线上，所以252122132122(y 55)2b22工b21,解方程组1.2521221321225由方程（2）得y b（负值舍去）.代入方程（1 ）得2521224匹疔12A H厅之亞一M序(y 55)21b21b2(1)化简得19b2+275b-18150=0(3)解方程(3)得 b-25 (m).2丄-1.6252所以所求双曲线方程为：144.解这类题目时，首先要解决以下两个问题；（1）选择适说明：这是一个有实际意义的题目当的坐标系；（2）将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.说明：此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质与课本性质的 相同点与不同点.可让学生比较得出（作为练习）.III. 课堂练习：（1） 写出第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质.（2）课本练习F66练