微积分中不等式的证明方法讨论_第1页
微积分中不等式的证明方法讨论_第2页
微积分中不等式的证明方法讨论_第3页
微积分中不等式的证明方法讨论_第4页
微积分中不等式的证明方法讨论_第5页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、微积分中不等式的证明方法讨论不等式的证明题经常出现在考研题中，虽然题目各种各样，但方法无非以下几种：1.利用函数的单调性证明不等式若在上总有，则在单调增加；若在上总有，则在单调减少。注：考研题的难点是，构造恰当的辅助函数，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对进行分割，分别在小区间上讨论。例：证明：当时，. 【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令，则 ，且.又 ，（），故当时，单调减少，即，则单调增加，于是，即.【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数，然后求导验证的增减性

2、，并求出区间端点的函数值（或极限值）。例2：设, 证明. 【分析】即证 证明： 设，则 ， ,所以当x>e时， 故单调减少，从而当时， ，即当时，单调增加.因此当时，即 ，故 .【评注】 本题也可设辅助函数为，请自己证明。例3：证明不等式：【分析】当时，两端都等于0， 等号成立；应分两种情况讨论。即证：（1） （2） （3）下面的证明就简单了。例4：设，证明：【分析】该题的关键是设辅助函数，由多种设法 （1） （2） ，当然，第二种设法更简单例5：设 ，证明【分析】辅助函数也有多种设法 （1）， （2） ， （3） ， 当然，第三种设法更简单。2.利用拉格朗日中值定理证明不等式 对于不等

3、式中含有拉格朗日中值定理先处理以下。例6：证明：当0<b<a时，【分析】即证：证明：令，在上使用拉格朗日中值定理，知存在所以，即 ，变形得证。例7：设, 证明 【分析】即前面的例2。证明 对函数在a,b上应用拉格朗日中值定理，得 设，则， 当t>e时， 所以单调减少，从而，即 ，故 .例8：设， 证明：当时，【分析】即证：即证：，用中值定理并注意到单调减小得证。3.利用函数的最值证明不等式令上连续，则存在最大值和最小值，那么：例9：设, 证明证明：令， 由 得，球的惟一的驻点， ，和1是在0，1上的最小值和最大值。 所以：4.利用泰勒公式证明不等式 如果要证明的不等式中，含有

4、函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。例10：在，上具有二阶导数，且满足，是（,）内的任意一点证明：证明： (1) (2)(2)-(1)得：，因为 5.积分表示的不等式的证明例11: 设f(x),g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0,.证明：对任何a,有解：，则F(x)在0，1上的导数连续，并且，由于时，因此，即F(x)在0，1上单调递减.注意到，而 =，故F(1)=0.因此时，由此可得对任何，有例12:设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x Î a , b)，.证明：.解：令F(x) = f (x) - g(x)，由题设G(x) ³ 0，x Î a , b

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 辅导培训

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论