对不等式一章的复习建议

1、对不等式一章的复习建议宁波东方外国语学校 栗建洲不等式是中学数学的主要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程（组）的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中直线与圆锥曲线位置关系的讨论等内容，无一不与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其它章节无法相比的。因此，不等式将是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的复习与研究。按考试说明的规定，不等式这一章包括五个知识点，五条考试要求，概括起来有四个方面：不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法以及不等式的应用，那么如何复习好不等式这章节呢？一、抓好对不等式性质的理解不等

2、式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中间接考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查平均值不等式及其它重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等的重要的手段。在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系。因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清，解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如a>b、c0ac>bc（忘了c>0）， (ac>bd)（忘了a、b、c、

3、dR+）等等，从知识的内在联系看，有些不等式性质与函数的单调性是相关联的，例a>b>0an>bn（nN*），从函数的观点看即是函数y=xn在（0，）上的单调性，由此可见对一些比较大小的问题，从不等式的性质与函数性质结合的角度去认识颇有益处。二、抓好等价变换在解不等式中的运用解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，从而得到解集，如分式不等式可转化为整式不等式，无理不等式可转化为有理不等式，超越不等式可转化为代数不等式，但一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要，例如：解分式不等式不要随便采用去分母，而是先移项，化为f（x）>0或f（x）<0的形式，再分

4、析讨论，又如解无理不等式不要先采用两边平方，因为只有在根式有意义且不等号两边非负的条件下，才能两边平方，一些含有绝对值符号的不等式，含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论，在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案，在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则，有的问题还可能进行二次分类，另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”解集。例1：已知f（x）= g（x）=2x 2 +2x10 ，求使f（x）>g（x）的x取值范围解：此题即：解不等式 >2x 2 +2x10是无理不等式> g（x）型等价于或 显然求解过程中将不

5、等式两边平方会出现四次式，这是我们在运算中难以胜任的，但当仔细观察式子两边的结构式后可考虑用换元法运算：原不等式变形成>2x 2 +2x10 令 =t0则 t>2（t 2+2）10 2 t 2t6=0 <t<2 0t<2 02原不等式的解集为x|3<x2 或1x<2评注：（1）等价转化过程中对不等式（组）之间的逻辑关系要特别注意，要充分利用简易逻辑的相关知识。（2）等价变形过程中，换元等数学方法和技巧要有意识地加以利用例2：已知函数） （a>=0 b>0 ab），要使y取负值求x的取值范围。这是一道研究函数性质与解不等式相结合的题目，在解题

6、过程中，要运用分类讨论的思想，对参数a、b进行分类，对学生思维能力运算能力、提出更高要求，研究函数y取负值即解不等式y<0，函数y解析式的结构是以指数形式为真数的对数函数，解不等式y<0时，要注意对对数函数、指数性质的准确使用，以保证变换的等价性。三、抓好在证明不等式中推理论证能力的提高不等式的证明非常活跃，它可以和很多内容结合，证明时不仅要用到不等式的性质，还要用到不等式证明的技能、技巧，其中，重要不等式是证明不等式的主要依据，例如定积定和原理，常见的不等式链： 等，证明不等式的方法有很多，比如常用的有比较法（归0、归1）、分析法、综合法、数学归纳法、求导法、构造法、放缩法等。另

7、外在证明不等式的过程中，还应注意以下几个结合：与数列结合数列的通项公式、前n项和公式、排列组合公式可以和不等式内容结合，在证明过程中根据题目特点要灵活选用公式及其变形，有效地进行结合。例3：（2002年北京理）数列xn由下列条件决定：x1 =a>0 xn+1= nN（）证明：对n2总有xn （）证明：对n2总有xnxn+1（）若数列xn的极限存在，且大于0，求的值例4：（2001全国理）已知i、m、n是正整数且 1<im<n（1）证明： （2）证明： (1+ m) n> (1+ n) m与二次曲线结合二次曲线的图形特征，基本量之间的关系，“设而不求”、“整体替换”的技巧

8、及处理方程的常规手段，在解不等式和证明的过程中都将起到重要辅助作用。例5：（2001上海理）设F1、F2 为椭圆=1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点，且|P F1|>|P F2|，求的值与三角函数结合常用的三角公式，三角函数的有界性、三角函数的图象、性质也是证明不等式的主要依据。与“三个二次结合” 一元二次方程、一元二次不等式及二次函数简称“三个二次”，它们互相联系，互相渗透，使这个“知识块”的内容异常丰富是历年高考命题的重点，求解时，常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定理、二次函数图象及函数性质。（见例16） 与导数知识相结合导数在证

9、明不等式中会起到简约转化的作用，但应注意运用导数的思考方法和步骤。例6：已知0<x<1求证：证明：令f（x）= (0<x<1)则=1在0<x<1时<0，又f(1)=0故f（x）在（0，1）上是减函数且有f(x)> f(1)>0故 评析：欲证不等式u（x）>v（x）可直接构造函数f（x）=u（x）v（x），再研究函数的单调性。与向量的结合例7：在椭圆 x 2 +4 y 2 =4上求一点P（x、y），使其到直线2x+3y=6的距离最小分析：由点到直线的距离公式可知点P（x、y）到直线2x+3y=6的距离为，因而我们的问题是要在椭圆x 2

10、+4 y 2 =4上求P（x、y）使得函数取最小值，易见这个问题等价于x 2 +4 y 2 =4上求点P（x、y），使得|2x+3y6|取最小值实际上，如果能求得f（x，y）=|2x+3y6|在条件x 2 +4 y 2 =4下的最小值，则所求问题获得解决，很显然，后一问题可利用基本不等式求解解：令，由向量模的性质有|2x+3y|=5而且当=t而且x 2 +4 y 2 =4时，即，y=或，y=时等式成立，此时易见在x 2 +4 y 2 =4的条件下2x+3y在，y=处达到最大值是5，在，y=处达到最小值5。因此在x 2 +4 y 2 =4的条件下，|2x+3y6|在，y=处达到最小值1（最大值是

11、11）因此，椭圆x 2 +4 y 2 =4上的点P（x、y）到直线2x+3y=6的距离为最小的点是P（，）与函数单调性的结合例8：设函数y=f（x） （xR且x0）对任意非零实数x1 、x2满足f(x1·x2)= f(x1)+f (x2)且f（x）在（0，+）上为增函数，解不等式四、抓好不等式的应用不等式的应用主要表现在三个方面，一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等，二是方程与不等式解的讨论，三是在实际问题的应用。对于第一个方面，要求学生运算准确，第二个方面，我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化，这种对

12、立统一的观点，事实上是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质。 1、解不等式是高考中的常见的题型，尤其是含参数的指对数不等式解法及绝对值不等式等，绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列、不等式、向量、极限等发生联系，在高考中频繁出现，这类题目思考性强，对分析能力要求较高，因此为了提高应试能力 ，对此类问题可进行如下的解析：要正确应用重视“取等号”的条件例9：解方程|x+logax|=|x|+|logax|例10：（2003年北京）设y=f（x）是定义在区间1，1上的函数，且满足条件（）f(1)=f(1)=

13、0（）对任意u、v1，1都有|f(u)f(v)|uv|()证明：对任意x1，1都有x1f(x)1x()证明：对任意u、v1，1都有|f(u)f(v)|1()证明：在区间1，1上是否存在题设条件的奇函数y=f（x）且使得 若存在请举一例，若不存在请说明理由。解题基本思路是等价转换，基本方法是化归化简解题犹如开锁，知识与方法犹如钥匙，开锁必须选准钥匙，即解题需有效方法，转化、化归、化简的过程要具体体现于运算，由于绝对值符号束缚了运算，所以需化去绝对值符号，从而获得运算的自由，如何取掉绝对值号是一个关键点，常用方法有：定义化简法、区间化简法、平方化简法、分类讨论法、数形结合法等：例11：求当|x1|

14、 + |x+3| > a无解时，a的取值范围。掌握思维方法，善于分析、联想提高解综合题能力 例12：已知a、b、c是实数，函数f（x）= a 2 +bx+c g（x）= a 2 +bx 当1x1时，| f(x)|1 （）证明|c|1时 （）证明1x1时 | g(x)|2 2、与高考试题有关的不等式应用题 例13：（2001年上海理）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总有农药残留在蔬菜上，设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)（1）

15、试规定f(0)的值，并解释其实际意义（2）试根据假定写出函数f(x)应满足的条件和具有的性质（3）设f (x)=，现有a(a>0)单位量的水，可清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留农药量比较少？说明理由。五、不等式中参数的范围确定不等式问题中参数范围的确定是不等式常见题型，解决这类问题的方法常有：1、构建函数，如一次函数、二次函数、三角函数、模型函数y=ax+ 例14：对于0x1，不等式（x1）恒成立，求实数a 的取值范围解：构建函数f（x）=，时f（x）是一次函数，否则为常数函数，因为f（x）在0，1上恒正，所以2、构建不等式因为变量范围总与不等式

16、有联系，将字母变量纳入某个不等式中，解这个不等式往往范围也就解决了。例15：若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 （1999年高考题）解：ab=a+b+32+3，解关于的一元二次不等式得3，ab9,+3、构建数学模型数学模型是问题解决的重要方式，善于发现数学模型并会应用模型解题将会带来极大的方便，如课本中可以利用的数学模型：x>a或x<a|x|>a（a>0） a<x<b(xa)(xb)<0 不等式、复数、向量等章节都存在“三角不等式”。在平几中“平行四边形ABCD中对角线AC、BD的平方和等于两邻边AB、AD平方和的两倍，即：AC2+B

17、D2=2（AB2+AD2）”在向量中：在复数中|Z1Z2 |2+|Z1+Z2 |2 =2（|Z1 |2+|Z2 |2）可以说在数学各章节都存在大量的数学模型，有的结构出奇地相似，有的直接相关联，这些结构无不反映着数学的内在本质，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养学生的创新能力，真正做到以不变应万变。例16：（97年全国）设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0)，方程f(x)x=0的两个根是x1、x2，满足0<x1<x2<（1）当x(0, x1)时，证明：x<f(x)< x1（2）设f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0<试题分析：本题是一道关于二次函数、二次方程、二次不等式构成的一个有机的总体，充分体现了函数与方程的思想，而其中的条件、结论又隐含几何背景，