2018版高中数学苏教版选修1-2学案：2章末复习课

1、【学习目标】1了解合情推理的含义， 能利用归纳进行简单的推理 2 了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理 3 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，并能利用分析法和综合法证明简单的问题 4 了解反证法的思想，并能灵活应用.问题导学知识点一合情推理1 .归纳推理(1)_定义：从个别事实中推演出的结论的推理称为归纳推理归纳推理的思维过程大致是：_T_T_ .特点：由_ 到整体、由_ 到一般的推理.2 .类比推理(1)定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相 似或相同，像这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程为：特点：类比推理是由 _ 到_

2、 的推理.3 .合情推理合情推理是根据 _ 、_ 、_，以及个人的_ 和直觉等推测某些结果的推理过程. _和_ 都是数学活动中常用的合情推理.章推理与证明知识点二演绎推理1 演绎推理 由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理简言之，演绎推理是由到_ 的推理.2 “三段论”是演绎推理的一般模式(1) 大前提已知的_ ;(2) 小前提一一所研究的 _;(3) 结论根据一般原理，对 _做出的判断.知识点三直接证明1 .综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明 的结论为止，这种证明方法常称为综合法.(2)推证过程：已知条件?结论(3)思维过程

3、：由因导果.2 分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件 和已知条件吻合为止，这种证明方法常称为分析法.推证过程：|结论?|已知条件(3)思维过程：执果索因.知识点四间接证明 用反证法来证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).类型一归纳思想题型探究重点难点牛亍击破例 1 已知数列a*满足 ai= 1,= -(n = 1,2, 3,).an+in+ 1(1)求 a2, a3, a4, a5,并猜想通项公式a*;根据(1)中的猜想，有下面的数阵：S1=a a1,S2=a a2+a a3,S3= a4

4、+ a5+ a6,S4=a7+ a8+ a9+ a,S5= an+ a12+ a13+ 玄也+ a.试求 S , S1+ S3, S1+ S3+ S5,并猜想 S1+ S3+ S5+-+ S2n-1的值.反思与感悟 归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉.具有共同特征的归纳推 理，首先要观察式子的共同结构特点，其次是式子中出现的数字、字母之间的关系，这样便 于观察运算规律和结构上的共同点.跟踪训练 1 设an是集合2t+ 2s|0wswt，且 s, t Z中所有的数从小到大排列的数列，且a1= 3, a2= 5, a3= 6, a4= 9, a5= 10,a= 12,将数列an中的各项

5、按照上小下大、左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：560 10 12(1)写出这个三角形数表中的第4 行、第 5 行各数;求出 a1oo.类型二类比思想例 2 定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫等和数列，这个常数叫该数列的公和已知数列a.为等和数列，且 ai= 2，公和为 5那么 a18的值为_ ,这个数列前 n 项和 Sn的计算公式为 _ 反思与感悟 事物的各个性质之间不是孤立的，而是相互联系相互制约的，等和数列与等差 数列之间有着很多类似的性质，利用类比推理可得出等和数列的性质.跟踪训练 2 已知面积为 S 的凸四边形中，四条边长分别

6、记为ai, a2, a3,印，点 P 为四边形内任意一点，且点 P 到四条边的距离分别记为hi, h2, h3, h4,若aA=a2=a3=a4=k,贝 U hi1234+ 2h2+ 3h3+ 4h4= 2S-类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的每个面的面积分别记为Si,S2,S3,S4,此三棱锥内任一点 Q 到每个面的距离分别为比，H2,H3,H4,若S S= =译=号=K,i234则 Hi+ 2H2+ 3H3+ 4H4=_ .类型三正难则反思想例 3 已知 ABC 中，/ C 是直角，求证：/ B 一定是锐角.反思与感悟 反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理，最后推出矛盾，这里得出的矛

7、 盾可以是与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛 盾反证法的使用范围：唯一性问题，“至少”“至多”问题，问题本身是否定语气提出的问题.11 1跟踪训练 3 证明：无论 x, y 取任何非零实数，等式 -+丄=丄总不成立.x y x+ y类型四综合法与分析法2 2例 4 已知 x, y0, x+ y= 1 求证：log2（x y + 1）- log2x- log2ylog2l7-2.反思与感悟 证明问题时，往往利用分析法寻找解题思路，用综合法书写证明过程.跟踪训练 4 求证：血2a+ B 2COS（a+ 3）= 沁sinasina达标检测当堂检测帆同反傩1 有一

8、个奇数列135,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1;第二组含两个数3,5;第三组含三个数7,9,11;第四组含四个数 13,15,17,19;，则每组内各数之和f(n)(n N )与组的编号数 n 的关系式为 _ 2 .已知 ABC 中，AD 丄 BC 于 D，三边是 a, b, c,则有 a= ccos B+ bcos C;类比上述推理 结论，写出下列条件下的结论：四面体PABC 中， ABC, PAB,APBC, PCA 的面积分别是 S, Si, S2, S3,二面角 PABC, P BC A, P AC B 的度数分别是a,Y贝HS=_.3 将下列给出的反证法证明过程填写完整.

9、已知 0,证明关于 x 的方程 ax = b 有且仅有一个根.证明 由于 a 工 0,因此方程 ax= b 至少有一个根 x=b ba假设方程不止一个根， 不妨设 Xi, X2是_ ,即 axi= b, ax2= b,所以 a(xi-X2)= 0,因为 xiMX2，所以 xi-X2工 0，所以 a= 0,这与_矛盾，故假设错误.所以当 0 时，关于 x 的方程 ax= b 有且仅有一个根.4 .若 tan(a+ 3= 2tana,求证：3sin3=sin(2a+规律与方法直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和 分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明

10、方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方 法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用.间接证明的一种方法是反证法，反证法是 从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.答案精析问题导学知识点一1. (1) 一般性实验、观察概括、推广猜测一般性结论(2)部分个别2 . (1)观察、比较 联想、类推猜测新的结论(2)特殊 特殊3 .已有的事实正确的结论实验和实践的结果经验归纳推理类比推理知识点二1.一般特殊2 . (1) 一般原理(2)特殊情况(3)特殊情况题型探究例 1 解 因为 a1= 1,由 =n n知 an+1= + 1 an，故 a2= 2, a3= 3, a4= 4, a5= 5.an+1n

11、 + 1n可归纳猜想出 an= n(n N*).根据(1)中的猜想，数阵为：S1=1 1,S2= 2 + 3= 5,S3= 4 + 5+ 6= 15,S4= 7 + 8+ 9+ 10= 34,S5= 11+ 12 + 13+ 14+ 15= 65,故 S1= 1 = 14, S1+ &= 1 + 15= 16= 24, S1+ S3+ S5= 1 + 15 + 65 = 81 = 34.可猜想 3 3 + S3+ S5+ + S2n1= n4.跟踪训练 1 解（1）第 1 行：3= 21+ 2;第 2 行: 5= 22+ 20，6= 22+ 21;第 3 行: 9= 23+ 20，10

12、 =23+ 21,12= 23+ 22;由此归纳猜想：第 4 行：24+ 2= 17,24+ 21= 18,24+ 22= 20,24+ 23= 24; 第 5 行，25+ 2=33,25+ 21= 34,25+ 22= 36,25+ 23= 40,25+ 24= 48.故第 4 行各数依次为 17,18,20,24;第 5 行各数依次为 33,34,36,40,48.每行中数的个数与行数相同，即第1 行 1 个数，第 2 行 2 个数，第 3 行 3 个数，由n n + 1*、2- 90因此/ C +ZB 90+ 90 = 180,这与三角形的内角和等于180矛盾.所以假设不成立.从而/ B

13、 一定是锐角.跟踪训练 3 证明 设存在非零实数 xi, yi,使等式+ =1成立，xiyixi+ yi则有 yi（xi+ yi）+xi（xi+ yi）=xiyi,. 2 2二 Xi+ yi+ Xiyi= 0,即（x xi+ 号）2+ Iv?= o.又X,yi 0,（xi+岁2+|V0,从而得出矛盾，故原命题成立.例 4 解方法一份析法） x, y0 ,、2 2欲证 log2（x y + 1） log2X log2y log2i7 2,x y + 117需证 log2 log2：.xy4由于对数的底数为 21,由于 x, y0,于是为了证明上式成立，只需证明 4x2y2+ 4 17xy，即证

14、4x2y2 17xy + 4 0.即证（4xy 1）（xy 4） 0, 即证 xyw1 1或 xy 4.4又/ x, y0 , x+ y= 1,为了证明上式成立，需证x y+ 1 117- xy 4 2 2log2(x y+1)log2xlog2y方法二（综合法）,22八x2y2+1log2(x y+1)log2xlog2y=log2xyxyw(x+y21亍)=4.fxy 牡1 1xyt=xy.由 x+y=1,得 xyw(号号=4,.u =心 2 = xy+ 丄“ +1, t (0,xyxy t14 -2- u，=(t+1)，=1 *=t1 1厂lOg2,2 2.x y+1 1log22xyl

15、og2172,即 log2(x y + 1) log2x log2y log217 2.跟踪训练 4 证明 sin(2a+ 2cos(a+ina=sin(a+ + a 2cos(a+ 3sina=sin(a+ CoSa+cos(a+ Sina2cos(a+ Sina=sin(a+ 0cosacos(a+ sina式成立， 这就证明了log217 2 成立.由条件知=sin(a+ a =sin两边同除以 sina得沁口2C0S(a+ =沁sinasina达标检测31. f(n)= n解析由于 1 = 13,3 + 5= 8 = 23,7 + 9+ 11 = 27= 33,13+ 15 + 17+ 19 = 64= 4，猜想第 n 组内各数之和 f(n)与组的编号数 n 的关系式为 f(n) = n3.2.S1C0Sa+S2COS3+S3cosY