物理学教程(第二版)11-6安环定理(新)

1、用途用途：计算稳恒磁场中具有对称性计算稳恒磁场中具有对称性分布电流的磁感应强度的重要工具分布电流的磁感应强度的重要工具.R. . .BIA.M.Ampere e（17751855）法国物理法国物理学家学家，对数学和化学也有对数学和化学也有贡献。他在电磁理论的建贡献。他在电磁理论的建立和发展建树颇丰立和发展建树颇丰。1820年提出了物质磁性起源的年提出了物质磁性起源的分子电流假设分子电流假设，1823年导年导出两电流之间相互作用力出两电流之间相互作用力的公式的公式。问题问题： 在静电场的环路定在静电场的环路定律中，电场强度律中，电场强度E 沿任意闭沿任意闭合路径的积分等于零合路径的积分等于零。B

2、Irl1. 圆形环路圆形环路=Io即即说明说明：静电场力是静电场力是保守力保守力，静电场是静电场是有源场有源场，保守场保守场。那么那么：是否也等于零？是否也等于零？=E dl.0l=B dl.？l不等于零不等于零，则等于则等于？理论计算结果不等于零。理论计算结果不等于零。=B dl.l0B dllcos0=Br2=2orI2r设设：环路方向和环路方向和磁场方向相同磁场方向相同。2. 平面内的环路平面内的环路dr=dl cos j说明说明：在真空的稳恒磁场中在真空的稳恒磁场中，磁感应强度磁感应强度B 沿闭合路径积分一周其值不等于零沿闭合路径积分一周其值不等于零。设设：环路方向环路方向和磁场方向有

3、和磁场方向有一个夹角一个夹角。B=2orI=B dl.lB dllcos=B dl.lB dllcos =Bldrj2orI=ldrj=2oI0dj2=Io其中其中：P.rBdlIdj0l电流的流向电流的流向垂直画面垂直画面由里向外由里向外.9003. 若改变积分绕行方向若改变积分绕行方向电流垂直纸面向外电流垂直纸面向外流动流动，而积分绕行而积分绕行方向方向：顺时针顺时针。P.BIdj0ldlr电流的流向电流的流向垂直画面垂直画面由里向外由里向外900.=B dl.lB dllcos=B dllcos）（=B dllcosdr=dl cos jB=2orI其中其中：=Bldrj2orI=0dr

4、j2=Io电流激发的磁场方向不变，而环路的方向改变了：顺时针。结果B的环流为负值。4. 任意环路任意环路（立体形的环路）（立体形的环路）将长度元将长度元dl分解为与分解为与电流电流平行和垂直的两个分量平行和垂直的两个分量。Bdl=B.l90Blcos0dldl=0dl=B dl.lBl.dl()+=Bl.dl+Bl.dl=0+Io说明说明：在真空的稳恒磁场中在真空的稳恒磁场中，磁感应强度磁感应强度B 沿沿任意任意闭合路径积分一周其值不等于零闭合路径积分一周其值不等于零。IdlBBdldldl5. 闭合回路内不包围电流闭合回路内不包围电流不管闭合路径外面的电流如何分布不管闭合路径外面的电流如何分

5、布，只要闭合路径内没有包围电流总有只要闭合路径内没有包围电流总有:电流垂直版面向外电流垂直版面向外流动流动，而积分绕行而积分绕行路径是在电流之外路径是在电流之外绕行路径的方向是从绕行路径的方向是从P点经点经l1到到Q点点,再经再经l2回到回到P点点(封闭一圈封闭一圈)Ql2P.I0j.l1.B dl.l=+B dl.l1B dl.l2=2oIdjlldjl2-=2oIjj-=0两段不同的路径两段不同的路径所对应的圆心角所对应的圆心角是相同的是相同的.=0B dl.l磁感应强度矢量沿任意闭合路径一周磁感应强度矢量沿任意闭合路径一周的线积分的线积分等于等于真空磁导率乘以穿过闭真空磁导率乘以穿过闭合

6、路径所包围面积的合路径所包围面积的电流代数和电流代数和. .Bldl.=IoI绕绕向向方方行行I绕绕向向方方行行安培环路定理：安培环路定理： 电流和回路绕行方向电流和回路绕行方向构成右旋关系的电流取构成右旋关系的电流取正值正值电流电流I 取取负值负值磁感应强磁感应强度的环流度的环流电流和回路绕电流和回路绕行方向的关系行方向的关系注意注意：这不是这不是保守场的概念保守场的概念不管闭合路径外面的电流如不管闭合路径外面的电流如何分布何分布，只要闭合路径内没只要闭合路径内没有包围电流有包围电流(b)，或者电流的或者电流的代数和等于零代数和等于零(c) ，总有总有：I2(a)I1l1I(b)l2IIl3

7、(c )o(a)=(I1I2B dl.l1)(b)B dl.l2=0(c)o=(IIB dl.l3)=00B dl.l=0B dl.l=注意：注意：B 的环流为的环流为零一般并不意味着零一般并不意味着闭合路径上各点的闭合路径上各点的磁感应强度都为零磁感应强度都为零I1dlBI2I3I4C1C2I5Bdl如图所示如图所示: :试判断试判断C1和和C2回路磁感回路磁感应强度应强度B 的环流的环流: :对于对于C1回路回路，B 的环流的环流: :对于对于C2回路回路，B 的环流的环流: :o=(I2I1B dl.l1)这里磁感应强度的环流与回路外的电流这里磁感应强度的环流与回路外的电流 无关！无关！

8、I5o=(I2I1B dl.l2)I4+I3例题例题: :两根长直导线载有电流两根长直导线载有电流I 图示有图示有a . b . c 三三种环路种环路, ,试问试问: :在每种情况下在每种情况下, ,磁感应强度的环流磁感应强度的环流=B dl.？l(练习册P27填充题10)abcII分析分析: :判断依据有两个判断依据有两个Bldl.=Io1.安培环路定理安培环路定理： 电流和回路绕行方向电流和回路绕行方向构成右旋关系的电流取构成右旋关系的电流取正值正值电流和回路绕电流和回路绕行方向的关系行方向的关系2.a .符合右旋符合右旋, ,磁感应强度的环流磁感应强度的环流 = =oIIb .Io= =

9、I+ -()= = 0oc .Io= =I+()= =oIoI2在静电场中在静电场中，用高斯定理可以求得连用高斯定理可以求得连续可导续可导、电荷对称分布的电场强度电荷对称分布的电场强度：在稳恒磁场中在稳恒磁场中，用安培环路定用安培环路定理可以求得连续可导理可以求得连续可导、具有对具有对称分布的电流的磁感应强度称分布的电流的磁感应强度：回回 顾顾Bldl.=Io=E.dSsq01i作一个恰当作一个恰当的高斯面的高斯面选择一个恰当选择一个恰当的积分环路的积分环路静电场是保守场静电场是保守场注意注意:在静电场中在静电场中在稳恒磁场中在稳恒磁场中0一般磁场是涡旋场磁场是涡旋场E=.dl0lB dl.l

10、1. 直长通电螺线管内的磁场直长通电螺线管内的磁场11-5 安培环路定理的应用安培环路定理的应用B.IB载流螺线管内的磁载流螺线管内的磁场线是平行和等距场线是平行和等距离的离的( (匀强磁场匀强磁场) ). .如果按照如果按照毕奥毕奥. 萨伐尔定律萨伐尔定律来来求解载流螺线管内的磁感应强求解载流螺线管内的磁感应强度是比较烦琐的度是比较烦琐的(见上一节见上一节)选择一个选择一个恰恰当当的积分环的积分环路是个关键路是个关键现在利用安培环路现在利用安培环路定理来分析求解定理来分析求解:cabdB.cabd选择一个选择一个恰恰当当的积分环的积分环路是个关键路是个关键在载流螺线管上作在载流螺线管上作一个

11、矩形一个矩形abcd并选并选择环路行进的方向择环路行进的方向Bldl.=Io由由等式的左边等式的左边:B dl.l=B dl.ab+B dl.bc+B dl.cd+B dl.da0=理由理由:路径与磁场垂直路径与磁场垂直.cos90 0=0=理由理由:管外无漏磁管外无漏磁B dl.=abB dl=abcos0Bdl=abB=ab定理等式的右边定理等式的右边:Ion=oabI定理成立等式的左边定理成立等式的左边=等式的右边等式的右边B abn=oabInB=I0( n：单位长单位长度上的匝数度上的匝数 )启示启示：在应用安培环在应用安培环路定理的时候路定理的时候，要建要建立一个恰当的环路才立一个

12、恰当的环路才能使解题方便能使解题方便。等式的左边等式的左边:B dl.l=B dl.ab+B dl.bc+B dl.cd+B dl.da0=理由理由:路径与磁场垂直路径与磁场垂直.cos90 00=理由理由:管外无漏磁管外无漏磁B dl.=ab=2. 环形载流螺线管的磁场环形载流螺线管的磁场II环形环形密绕密绕载流螺线管载流螺线管内圈和外圈均不漏磁内圈和外圈均不漏磁.绕行路径的方向绕行路径的方向和和电流电流的流向构成右旋关系的流向构成右旋关系.Bldl.=Io由由B dl.lB dl=lcos0B=r2=IoNB=r2NI0R1Br0R2载流螺线管磁载流螺线管磁场分布曲线图场分布曲线图N 表示

13、匝数表示匝数.R1R2.0Brl3. 均匀通电长直圆柱体内外的磁场均匀通电长直圆柱体内外的磁场IIdSBR因为是因为是圆柱体圆柱体所以电流所以电流I 是是均匀分布在整个横截面上均匀分布在整个横截面上（1）r R 均匀通电圆柱体内作积分环路均匀通电圆柱体内作积分环路rB dl.lB dl=lcos0B=r2=Io=I.dSS=SdScos0=SdSR22I=r=2rIR2=R22I=rII=2rR2I=2rIR2或或最后得最后得：B=2orIR2Bdl=l（2）r R 均匀通电长直圆柱体外的磁场均匀通电长直圆柱体外的磁场在均匀通电长直圆柱体外作一个环路在均匀通电长直圆柱体外作一个环路其方向和电流

14、激发的磁场方向相同其方向和电流激发的磁场方向相同IRBrB dl.lB dl=lcos0B=ldl=IoB=r2安环定理左右等式安环定理左右等式两边相等最后得两边相等最后得：B=2oIrBROrB=2oIrB=2orIR2B=2oIR载流长直圆柱体内外载流长直圆柱体内外磁场的曲线分布图磁场的曲线分布图IRRL例题例题:有一个无限长的载流有一个无限长的载流I 圆柱形铜导体圆柱形铜导体,半径为半径为R ,试求试求: :(1)圆柱形铜导体圆柱形铜导体内外内外的磁场分布的磁场分布(2)现取一矩形现取一矩形平面平面(长为长为L , ,宽为宽为R).再求通过该矩形平面的磁通量再求通过该矩形平面的磁通量.(

15、练习册P35计算题2)解解: (1)解题的思路和求解的结果完全解题的思路和求解的结果完全和上面载流长直圆柱体和上面载流长直圆柱体内外内外磁场的分磁场的分布一模一样布一模一样. .所以解题步骤所以解题步骤: :略略. .结论再现结论再现: :Brr（1）r RB=2orIR2（2）r RB=2oIr(2)在矩形平面上取一个小面积元在矩形平面上取一个小面积元 , ,长为长为L ,宽为宽为drdrIRRLBrrdr(2)在矩形平面上取一个在矩形平面上取一个小面积元小面积元 , ,长为长为L ,宽为宽为dr由磁通量的概念由磁通量的概念:B.=dSsjsdmj=B.dSsj=m=2oIrs()drL2R

16、=2oIrdrLR2R=2oIlnLR2=2oIlnL例题例题: :有一根长直载流导体有一根长直载流导体圆管圆管, ,其内其内. .外半径分外半径分别为别为R1和和R2 , ,其中通有电流其中通有电流I , ,且均匀分布在横截且均匀分布在横截面上面上, ,试计算下列各区域中磁感应强度大小试计算下列各区域中磁感应强度大小B 的的分布分布(1)r R1 (2) R1 r R2 (3)r R2(练习册P8计算题1)R2R10I解解: :(1)r R1 在R1之处作积分环路,使得环路方向和电流激发磁场的方向相同俯视图俯视图IR10r Bldl.=Io由由因为环路里没有包因为环路里没有包含电流含电流,所

17、以所以B1= 0(2) R1 r R2(2) R1 r R2R2R10I俯视图俯视图IR10R2r在在R1和和R2之间作积分环路之间作积分环路, ,使得环路使得环路方向和电流激发磁场的方向相同方向和电流激发磁场的方向相同B dl.lB dl=lcos0B=r2=IoBdl=l注意注意:这里的环路只包这里的环路只包含了含了电流的一部分电流的一部分I=IS=R22-R12I()-R12r2-r=R22-R12I()R122B dl.l=Io-r=R22-R12I()R122oB dl.l=Io-r=R22-R12I()R122oR2R10I-r=R22-R12I()R122oB dl.lB dl=

18、lcos0B=r2Bdl=lB=r2Io-rR22-R12()R122R1 r R2(3)r R2在在R2之外作积分环路之外作积分环路, ,使得环路使得环路方向和电流激发磁场的方向相方向和电流激发磁场的方向相同同lroB=2oIr安环定理等式左边安环定理等式左边安环定理等式右边安环定理等式右边例题例题： 有一根很长的同轴电缆有一根很长的同轴电缆，由一圆柱形导体和一由一圆柱形导体和一同轴圆筒状导体组成同轴圆筒状导体组成，圆柱的半径为圆柱的半径为R1，圆筒的内外圆筒的内外半径分别为半径分别为R1和和 R3，如图所示如图所示。在这两导体中在这两导体中，载有载有大小相等而方向相反的电流大小相等而方向相反的电流 I ，电流均匀分布在各导电流均匀分布在各导体的截面上体的截面上。 R1R3R2II (1) 求圆柱导体内各点求圆柱导体内各点 (r R