第二节 角动量 角动量守恒定律

1、第二节 角动量 角动量守恒定律在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。在转动问题中，它所起的作用和动量所起的作用相类似。一、质点的角动量定理和角动量守恒定律1. 质点的角动量如图，质量为m的质点位于A点，相对原点O的位矢为，并具有动量（速度）。定义：该质点对原点O的角动量为即 大小：方向：垂直于和（或）的平面，并遵守右手螺旋法则。单位：（千克二次方米每秒）注意：（1）质点的角动量是与和有关的，即与参考点O的选择有关。因此在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一参考点而言。（2）若质点在作半径为r的圆周运动，则对圆心O的角动量的大小为，方向与相同。（3）角动量

2、的概念，在大到天体的运动，小到质子、电子的运动的描述中，都要应用到。例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。原子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。这叫做角动量的量子化。因此，在这种系统的性质的描述中，角动量起着主要的作用。2. 质点的角动量定理（1）质点的转动定律质量为m的质点受到合力的作用，满足牛顿第二定律：设质点对参考点O的位矢为，则以叉乘上式两边得：注意到 而且 所以有： 这与牛顿第二定律在形式上是相似的，其中对应着，对应着。（2）冲量矩和质点的角动量定理把上式改写为，然后取积分有定义：为质点在时间间隔内对参考

3、点O所受的冲量矩。则可得质点的角动量定理： 表述：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。3. 质点的角动量守恒定律由质点的角动量定理可知，如果，则有：恒矢量即当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量。这就是质点的角动量守恒定律。注意（1）质点的角动量守恒的条件是合力矩。这可能有两种情况：一种是合力；另一种是合力虽不为零，但合力通过参考点O，致使合力矩为零。例如：质点作匀速圆周运动就是这种情况。质点作匀速圆周运动时，作用于质点的合力是指向圆心的所谓有心力，故其力矩为零，所以质点作匀速圆周运动时，它对圆心的角动量是守恒的。不仅如此，只要作用于质点的力是

4、有心力，有心力对力心的力矩总是零，所以，在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。太阳系中行星的轨道为椭圆，太阳位于两焦点之一，太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力，因此如以太阳为参考点O，则行星的角动量是守恒的。（2）角动量守恒定律是物理学的另一基本规律。在研究天体运动和微观粒子运动时，角动量守恒定律都起着重要作用。例1：（p.128） 例2：（p.129）二、定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1. 刚体定轴转动的角动量如图，一刚体以角速度w绕定轴Oz转动，则其上每一个质点都以相同的角速度绕轴Oz作圆周运动，任一质点对轴Oz的角动量为，于是刚体上所有质点对轴Oz的角动量，即刚体对定轴O

5、z的角动量为：，其中为刚体绕轴Oz的转动惯量，所以刚体对定轴Oz的角动量为：2. 刚体定轴转动的角动量定理 （1）刚体定轴转动定理的另一种表述因为作用在第i个质点上的合力矩应等于质点的角动量随时间的变化率，即包含有外力矩和内力矩，但对绕定轴Oz转动的刚体来说，刚体内各质点的内力矩之和应为零，即。故由上式可得作用于绕定轴Oz转动刚体的合外力矩M为：即刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率。注意：上式更具普遍意义。即使转动惯量J因内力作用而发生变化时，前述的转动定律已不适用，但上式仍然成立。就如较之更普遍的情况一样。我们在这里没有采用矢量描述，要注意实际上我

6、们是使用了分量式，表达式中的有关物理量可正可负，为双向标量。（2）力矩对给定轴的冲量矩和角动量定理考虑在合外力矩M的作用下，在时间内，刚体的角速度由变为。由上式积分得：定义：力矩对给定轴的冲量矩（角冲量）为，则可得角动量定理：即当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。注意：对定轴转动的刚体来说，J1=J2；但上述定理适用于质点系，例如芭蕾舞演员，这时J1可以不等于J2。3. 刚体定轴转动的角动量守恒定律当时，得J = 恒量。即，如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的所用，物体的角动量保持不变角动量守恒定律。例子：（1）动画演示（2）在日常生活中，符合角动量守恒定律的例子也是

7、很多的。例如，舞蹈演员、溜冰运动员等，在旋转的时候，往往先把两臂张开旋转，然后迅速把两臂靠拢身体，使自己对体中央竖直轴的转动惯量迅速减小，因而旋转速度加快。又如跳水运动员在空中翻筋斗时(如图)，跳水员将两臂伸直，并以某一角速度离开跳板，跳在空中时，将臂和腿尽量卷缩起来，以减小他对横贯腰部的转轴的转动惯量，因而角速度增大，在空中迅速翻转，当快接近水面时，再伸直臂和腿以增大转动惯量，减小角速度，以便竖直地进入水中。例3：（p.133） 例4：（p.134）第四节 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理本节通过考虑力对空间的累积作用而引出动能定理。一、力矩作功当刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移

8、时，力矩对刚体作了功。1. 力矩所作的元功如图，设刚体在切向力的作用下，绕转轴转过的角位移为。则力的作用点位移的值为。由功的定义得力在这段位移内所作的功为考虑对转轴的力矩为，所以力矩所作的元功为：。可见，力矩所作的元功等于力矩与角位移乘积。2. 恒力矩所作的功即恒力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于力矩的大小与转过的角度的乘积。3. 变力矩所作的功注意：上两式的是指作用在绕定轴转动刚体上诸外力的合力矩。即上两式研究的是合外力矩对刚体所作的功。4. 力矩的功率用于表示力矩作功的快慢。定义：单位时间内力矩对刚体所作的功，即： 可见，力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。二、刚体的转动动能刚体转动时的动

9、能，是组成刚体的各个质点的动能之和。设刚体上各质元质量速率到转轴的垂直距离当刚体以角速率w 绕定轴转动时，第i个质元的动能为。整个刚体的动能为 。因此，即刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度二次方的乘积的一半。其形式与质点动能的相似。三、刚体绕定轴转动的动能定理合外力矩M对刚体作用使其绕定轴转过角位移时所作的元功为把转动定律代入得：若J为常量，那么在时间内，合外力矩使刚体的角速率从变到时，对刚体所作的功为即 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量刚体绕定轴转动的动能定理。例1：（p.137）例2：（p.138）第六节 经典力学的成就和局限性前述的质点力学和刚体力

10、学以及流体力学、弹性力学、结构力学等是在牛顿定律的基础上建立起来的力学学科，属于牛顿力学或经典力学。经典力学可应用于车辆、行船、行星、火箭，以至于原子、基本粒子等方面，如对哈雷彗星回归时间的预测、海王星的发现、宇宙飞船与空间站的对接和返回地球等等大课题，都能得到完美的解决。但是，在经典力学不断取得辉煌成就的同时，在物理学的发展中，特别是从20世纪初叶以来，就已发现一些现象是与经典力学的一些概念和定律相抵触的。这说明经典力学只具有相对的真理性，或者说经典力学是有局限性的。概括地讲，牛顿力学在20世纪中受到了三次具有革命性的严重挑战，这就是1905年爱因斯坦建立的狭义相对论、1925年前后建立起来

11、的量子力学和20世纪60年代发现的混沌现象。这就向人们明确地揭示了牛顿力学局限性之所在。一、经典力学只适用于处理物体的低速运动问题，而不能用于处理高速运动问题经典力学把时间和空间看作是彼此无关的；把时间和空间的基本属性也看作与物质的运动没有任何关系而是绝对的、永远不变的。这就是所谓经典力学中的“绝对时间”和“绝对空间”的观点，也称作牛顿绝对时空观。但是，随着物理学的发展，特别是19世纪末叶有了新的实验发现，结果使经典力学和经典电磁理论遇到了很大的困难，牛顿的绝对时空观和建立在这一基础上的经典力学开始陷入了无法解决的困境。在这种情况下，20世纪初的1905年，爱因斯坦提出了狭义相对论。这一理论描

12、述了一种新的时空观，认为时间和空间是相互联系的，而且时间的流逝和空间的延拓也与物质和运动有不可分割的联系。1. 高速运动时速度的相对性由爱因斯坦的狭义相对论可得洛伦兹速度变换式其中， c ：光速；：系沿轴相对于系的速度；：质点在系中沿轴的速度；：质点在系中沿轴的速度。当时，上式变为经典力学的伽利略速度变换式。这表明，经典力学关于不同惯性系间的速度变换式，并没有正确地表达出物体运动间的时空关系，它只能近似的适用于质点的速度远小于光速时的低速运动情况。2. 高速运动时的动量和质量经典力学中，质点的动量；而由狭义相对论可知即，质点在高速运动时的质量为，式中称为静质量，而可称为动质量或相对论质量。可见

13、，质点的质量是依赖于其运动速度的，也就是说，物质的基本属性是与运动紧密相联的。3. 高速运动时的动能，经典力学的动能表达式是上式在时的近似值。4. 质量与能量之间的关系从狭义相对论可以得出另一重要结果，即质量与能量之间的关系为或。这个关系式深刻地反映了物质与其运动的不可分割性；有质量必有能量，有能量必有质量，任何物体都具有质量和与之相对应的能量。应当指出，质量和能量是表示物质不同属性的物理量，质能关系式给出的是它们之间的联系。它说明，质量和能量并不是相互独立的量，物质有什么样的运动状态，它就必然具有与之相应的质量和能量。因此，任何能量的改变同时有对应的质量的改变，或任何质量的改变同时必有相应的

14、能量的改变。也就是说，这两种改变永远是同时发生的。因而我们不能把质量与能量的这种联系误解为质量与能量间的相互转变。二、确定性与随机性，非线性经典力学认为，运动物体今后的行为，是由过去（或现在）的运动状态以及物体所受的作用力决定的，这就是牛顿力学（或经典力学）的确定性。即如果知道物体初始的运动状态以及运动过程中的受力情况，那么就可以根据牛顿运动定律列出物体的运动方程，从而可以确知物体在任意时刻的运动状态。事实上，确定性的确取得了大量令人振奋的成就，如哈雷彗星回归时间的预测、海王星的发现、宇宙飞船与空间站的对接和返回地球等等。然而事实上，物体的运动并非都是只按照确定性进行的，在许多情况下，物体的运

15、动还表现出相当明显的偶然性、随机性。例如，作抛体运动的物体的运动轨迹会因为空气的阻力、温度和湿度、风速等因素的影响而发生随机的变化。表现物体运动随机性的最典型的例子是布朗运动。如图是藤黄粒子在水中运动的轨迹图线。从图中可看到藤黄粒子的轨迹是一些无规则的折线。这表明，藤黄粒子的运动除了与其起始运动状态，以及所受的浮力、粘滞力有关外，更重要的是与水分子对其碰撞有关。由于水分子对藤黄粒子碰撞的偶然性，致使其因碰撞而受到冲力的大小和方向也都具有偶然性。这就告诉我们，藤黄粒子在水中运动轨迹的无规性，既反映了确定性，又反映了随机性。或者说藤黄粒子的运动既不是完全确定性的，也不是完全随机性的。由此可见，自然界存在的运动是确定性和随机性兼而有之的。我们把确定性运动具有的这种不确性的现象称之为混沌。三、能量的连续性与能量量子化在经典力学中，物体的运动状态是用它的位置和速度（或动量）来描述的，而且物体的位置和动量在任何时刻都可具有各种可能的数值，即它们的变化是连续的。由此可知，在经典力学中，物体的能量变化亦是连续的。直至20世纪，普朗克在说明黑体辐射的规律时，首先冲破了能量连续性这一传统观念的束缚，提出了能量量子化的设想，认为能量是不连续的，而是一份一份的，即量子化。能量量子化是微观粒子的重要性质之一。它指出经典物理不能用来描述像电子、光子、质子等微观粒子的运动