向量空间的定义和基本性质

1、5.2向量空间的定义和基本性质授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质授课时数：3学时教学重点：线性空间的定义及基本性质教学难点：性质及有关结论的证明教学过程：一、线性空间的定义1. 引例定义产生的背景例子.设,'-, F n,a,b F则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律个非空集合，其中的元素称为向量。记作I：, ; F是一个数域（1）:丄亠-?（3）零向量0对:疗有0 - :- = :（5） a（霊亠 F） = at a （7） （ab）： =a（b： ）这里：,'-,- Fn,a,b F2. 向量空间的定义一抽象出的数学本

2、质Def:设V是(2)(4)对:匕，有-二使0(6) (a b)： = a： b：(8) 1 < =:-a,b, - F，如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了FV到V的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F中元素与 V中的乘积记作ao,aa E V ）。如果加法和纯量乘法满足：1）”：亠：=：-：2）（二：亠） = : （亠）3） 0，V,对 m V,有 0*=：-（找出元）4） 一：V,V使得二/ =称/为的负向量（找出负元）5）ap ' >'） =a a-6) (a bp -a： b：7) (ab)a(b： )V是F上的一个线性空间，并称F为基数域.3

3、. 进一步的例子一一加深定义的理解例1 :复数域C对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R上的线性空间.例2 :任意数域F可看作它自身的线性空间.例3 V =用其加法定义为:- ? - ?,数乘定义为=，则V是数域F上的线性空间.注：V=0对普通加法和乘法是数域F上的线性空间，称为零空间.例 4 : 设 F 是有理数域，V 是正实数集合，规定匚二-：-,aa（： , I' V,a：二 F）练习 集合V对规定的二，、是否作成数域F上的线性空间？V = FSga, ,an）二（bidb）（ai b（,a2 lb?,，a. 0）,a、忌,，an） =（0,0,0）解 显然V对，E满足条件1

4、） 7），但对任意的（ai,a2,an） Fn有 1、佝总,a） =（0,0,0）珂总,a）,故集合V对规定的不作成数域 F上的线性空间.由此例可以看出，线性空间定义中的条件8）是独立的，它不能由其他条件推出.二、线性空间的简单性质1、线性空间V的加法和纯量乘法有以下基本性质.Th5.2.11）V的零向量唯一，V中每个向量的负向量是唯一的2）_（八）=:-证明：1）设Q,02是V的两个零向量，则 00!002.设>1, >2是的负向量，则有： =0, ： 2 ： 0,于是 0 二 r V 亠很 2）=（ ?）：心2 =0 九二2 二：'2*由于负向量的唯一性，以后我们把的唯

5、一负向量记作.2）因二：（-）=0,所以-（一3）* 我们规定：'_.（），且有- 1 .定理5.2.2对F的任意数a, b和V中任意向量，：，则有1) 0: - : 0 = 0.2) = (一a)- -a ,特别地,(1),-八.3) a： =0= a = 0或：=0.4) a(：-)二 a： - a ：,(a - b) ： - a： - b_：=证明：1)因为0= (00 = 0隈亠0.所以0=0.类似地可证二0 = 0.2)因为a.工二aC；：；-( = ) ) a 0二所以a( -：)是的负向量，即 a( _： ) _ _a： .同理可证 (-a)=-a二.3) 设 a>

6、 -0,女口果 a = 0,贝U 有 aJ F,于是a =1 a a(= a)a '生(的 i = a 0=0 .4) a(x ')=aC：、(-：)= a工 11 a( - ：)= a：-a ：,(a-b)： =(a (-b)： =au " ( -bp = aj b-：注：线性空间的定义中1匚=:-与定理5.2.2的性质3)在其他条件不变的情况下等价事实上，由线性空间的定义可推出定理5.2.2的性质3).反之，由线性空间定义中的条件1) 7)及定理5.2.2的性质3)可推得1 :-:1(1用)=1(1：(一：)因为 =1 (V： )1 (-:)=(1 1) :(-1

7、):=1 ：(-1) ： =0,由性质3)1 -0所以仁=：.课堂讨论题：检验以下集合对于指定的线性运算是否构成相应数域上的线性空间：1) 起点在原点，终点在一条直线上的空间向量的全体作成的集合V，按通常集合向量的加 法及数乘运算；2) V1 =(X1,X2，Xn)|x1 +X2 +Xn =1,x E FV2 二(X1,X2, ,Xn)|xX2Xn = 0必F按通常数域F上n维向量的加法及乘法运算；3) V3 二X|Tr(X) =0,X Fn nV3門数域F上n阶对称与反对称方阵的全体按通常数域F上矩阵的加法及乘法运算;4) V5 =dx+a3X3 卄 +a2nM2nH1 a* FV6 =玄

8、+4X +a2X2 + + +an = 1,a F按通常数域F上多项式的加法及数乘运算；5） 全体实数R的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成复数域C上线性空间？全体复数域C的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成实数域R上线性空间？6）数域F上的n阶方阵全体，按通常数与矩阵乘法，但加法定义为A 二 B = AB 'BA三、子空间1、子空间的定义定义2:子空间的定义：V是F上一个线性空间，W是V的一个非空子集，如果 W对V的加法和FV到V的纯量乘法，也作成 F上的一个线性空间，则称W是V的子空间。例5： Fx是Fx的子空间.例6： V是它本身的一个子空间.0也是V的子空间.V和零空间叫做

9、 V的平凡子空间，V的其他子空间叫做 V的真子空间.2、子空间的判断：Th5.2.3设V是数域F上的线性空间，W是V的一个非空子集，则 W是V的子空间 的充要条件：（1 ） ；=,三V,有很亠）三V（2） -a F,x V有a - W证明：（1）W对加法封闭，即对任意:/ W,有用' I- - W.（2）W对纯量乘法封闭，即对任意a F,xwW,有a：- eW.证明：必要性.设W是V的子空间，则V的加法是 W的代数运算，从而W对V的加法 封闭；另外，F V到V的纯量乘法也是 F W到W的纯量乘法，因此 W对纯量乘法 也圭寸闭.充分性.由于W对V的加法封闭，对F V到V的纯量乘法封闭，所

10、以V的加法是 W 的代数运算，F V到V的纯量乘法也是 F W到V的纯量乘法的代数运算.线性空间 定义中的算律1）, 2）, 5）, 6）, 7）, 8）对V中任意向量都成立，自然对 W的向量也成立.由W对纯量乘法的封闭性和定理5.2.2,对于"-W,0 =0圧-W ,所以V中的零向量属于 W,它自然也是 W的零向量，并且-=（-1 W,因此条件3）和条件4）也成立，故W是 V的子空间.推论1： W是V的一个非空子集，则 W是V的子空间的充要条件：一a,b F, ： , ： W有a= ' b ： W3、生成子空间例7 :设1,2,，：r是数域F上的线性空间V的一组向量L（：

11、1,： 2, , ： n）二ai： 1 a2： 2 亠 亠 an|ai F则LCr，n)作为V的一个子空间所以LC仆： 2；事实上,取ai =0（i =1,2，,n）,于是0 =0： 10：20： n L（： 1, ：2,，: n）,又因（印：1 a2：2 an、£n） （6：1 b2bn用n）=佝巾)：1b2)：2"anbn)：n)L( ： 1, ： 2,，：n)a(1a?：2*nn)= (aq)：1 (aa2)：2raaJ：n LC、， , ,：n),所以LG 1, >2,，:n)作成V的一个子空间.L(：, >2,，n)称为由1/'2/'

12、/' n 生成的子空间，冷，>2,，儿称为它的一组生成元.4、子空间的交与并Th4:W,W 是V的两个子空间，贝y W W仍是V的子空间.(问WW 是否为V的子空间.)证明：因为W,W是V的两个子空间，所以 0W；,0 EW2,从而0丘W；CW2,于是- .对任意a,b F,： , ： W ' W2, 有a。+bP ww,a。+bP W2, 因而ab W1 W2, 所以' W2是V的子空间.推广：若 w, wwn是V的子空间，贝UW； (i =1,2/ n)也是V的子空间.例：A 是一个 n 阶矩阵，S ( A) =B M nF|AB=BA则 S (A)是 UnF的一个 子空间.证：TA = Al . I S(A) - :J-B1,B2S(A),于是ABB1A, AB2 二 B2AA(kB IB2) = kAB IAB2=kB* IB 2 A= (kB, IB2)A.kB IB? S(A)2两个子