圆锥曲线综合试题全部大题目含答案

1、1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦设过抛物线2x =2py外一点P(Xo,y°)的任一直线与抛物线的两个交点为c、D，与抛物线切点弦 AB的交点为Q。(1)求证:抛物线切点弦的方程为x0x = p(y+ y0)；(2)求证：1 1 2.PC |PD | |PQ|2. 已知定点F( 1，0)，动点P在y轴上运动，过点 P作PM交x轴于点M,并延长 MP到 点 N,且 PM 卩F =0,| PM | = |PN(1) 动点N的轨迹方程；(2) 线I与动点N的轨迹交于 A, B两点，若OA - -4,且4. 6 AB 4 30，求直 线I的斜率k的取值范

2、围.2 2 2 23.如图，椭圆C! : -1的左右顶点分别为 A、B，P为双曲线C2 : - -1右支4343上(X轴上方)一点，连 AP交G于C，连PB并延长交 G于。，且厶ACD与厶PCD的面积 相等，求直线PD的斜率及直线 CD的倾斜角.4.已知点M (-2,0), N(2,0)，动点P满足条件| PM | - | PN 2 2.记动点P的轨迹为 W .(I)求W的方程；-o n f.：cn：.o-*.;"Musb -si:”.: co”.Jlk. "e .： 一：-":".h.”“：(n)若AB是W上的不同两点,o是坐标原点,OA OB的最小值

3、.2 25.已知曲线 C的方程为：kx2+(4-k)y2=k+1,(k R)若曲线c是椭圆，求k的取值范围;若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°求此双曲线的方程;(出)满足(n)的双曲线上是否存在两点P, Q关于直线I：y=x-1对称，若存在，求出过P,Q的直线方程；若不存在，说明理由。6.如图(21)图，M (-2, 0)和N (2, 0)是平面上的两点,动点P满足：PM +PN6.(1)求点P的轨迹方程;若PM -PN1 -cos MPN,求点P的坐标.x7.已知F为椭圆b2=1 (a b 0)的右焦点，直线丨过点F且与双曲线=1的两条渐进线l1,l2分别交于点M,N

4、，与椭圆交于点 A,B.若 MON(II )若oM MN3，双曲线的焦距为4。=0 ( O为坐标原点)，求椭圆方程。FA =1AN，求椭圆的离心率e。3_.：c：；"：""：.-：.：.：；：-"0；："；：；. o；：p：h；：""g.；：p：；：tgi".：.："：n：.:"：.：.：；：. P：.；："：；-：.-： ：'；：；：2：.：-："："o.；.-：'：.：；.：o：-：-：t：.c：；.：.；：i；：.p：o：.：p；：；：；&qu

5、ot;：.“：eH："m”：u：”；：fm很；":三”三三:三三:-：.；：三mm:'«ew*.eeh:c:. *d”；'.，“”匕=""0-:.*.3： "a.gagu"“"”-；da:eg.s.cH”"-xtxm“"r,cp“ac.”.Wfng*."Hwr-”D.s:cu“. "：tcf.”.-gGV:.nE"u”.yer a*:”.*：f.:em4"“c*-ue：.wHr“”F h.usf.Gad；:-：tshr”-hr；arm u：

6、".”rv；bgMsre“”"eTa.-ougef.see-fde*:*:：*、“.ge.fnwrgwa:-""Ees*eK：v"“gen-yntogw.adar：.“-mb.-esgra.Ta.aegav-mLtza'c-njsoa.*-;.；"'”；'h.o*sxd.gk. n-”n;e一方面。要证112PC|PD|PQ|化斜为直后只须证：112+=X1X2X3由于1丄X1x22(X0 pk) 2X1X2为X2x2 2pk另一方面,由于P(0,0)所以切点弦方程为:-xo(x-Xo) = p(y -2yo)

7、所以X3x2 2pk1x° pk从而X1X2xo pkX3x2 2pkX328.设曲线C1 : x2 y2 =1 ( a为正常数)与C2 ： y2 = 2(x m)在x轴上方只有一个公共点 P。 a(I)求实数 m的取值范围(用a表示);1(n) O为原点，若G与x轴的负半轴交于点 A，当o ： a ：时，试求.QAP的面积的最2大值(用a表示)。1. (1)略(2)为简化运算，设抛物线方程为(x-瓦)2 =2p(y-yo)，点Q, C, D的坐标分别为(X3, 丫3),(为，yj”，y2),点 P(00 ,直线 y =kx ,2(x-xo) =2p(kx-y。)2 2x -2(Xo

8、 pk)x Xo 2pyo =0PC |PD|PQ|2.(1)设动点N的坐标为(x,y),则M(x,0), P(0,x 0), PM =(-x,PF= (1,-y),由PM PF =0得-x 10 ,因此，动点的轨迹方程为y2=4x(x 0).424- ；.："；'： .':,-：""：；: .":" "："： "：f：x,：；：；"-., ： :WOE:;"壬；：.：""；：'：."："：V.C：P"-：“：.：.；：-

9、三-：:；：:二：f£：l：t：a:：t"mt：om.：d：."-o n f.：cn：.o-*.;"Musb -si:”.: co”.Jlk. "e .： 一：-":".h.”“：(2)设I与抛物线交于点 A (Xi,yi) ,B(X2,y2),当I与x轴垂直时,则由 OA OB =/,得仏=2. 2,y2 二2_2,| AB|=4 2 ,4.6 ,不合题意,故与I与X轴不垂直,可设直线I的方程为y=kx+b(kz 0),则由OA OB - -4,得xm2 -% y2 = -4由点A, B在抛物线y2 =4x(x . 0)上

10、,有y； =4X1, y； =4x2,故2-_8.2又 y =4x, y=kx+b 得2ky 4y+4b=0,=8,b =-2kJ：=16(1 2k2),| AB |2 =k232)10分因为 4. 6 勺 AB|_4、一 30,所以 96 -32)岂48 0解得直线I的斜率的 取值范围是1 1【r-2,1.12分3.由题意得C为AP中点，设C(x°,y°), A(-2,0)，P(2x0 ' 2,2y0),把c点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得' 2 23X0 4y0=12二 2 23(2X02) 4y。=12解之得:=1y0电3,故C(1, 2),P(

11、4,3),又；B(2,0)故直线PD的斜率为30二3，直线PD的方程为联立3y”2).442|(x-2),解得D(1 -3，故直线CD的倾斜角为90°,2)4.解法一:(I)由 |PM| - |PN|= 2,2 知动点P的轨迹是以 M,N为焦点的双曲线的右支，实又半焦距c=2,故虚半轴长b - c2-a所以W的方程为-y_(n)设A, B的坐标分别为(,力),(X，,曲当AB丄x轴时,xx2,从而y.I2=-y2,从而 OA OB 二 x1x2 y-i y2 = x1 - y当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y = kx m,与W的方程联立，消去y得_“：.："&qu

12、ot;:：'：."：b: . C：；"：:：""：:.-：:.：.；：-；.:0；："；：；.":：:：:"".；：；：“"：.："：:：；：:"：c：.：；：:.：:：.：:：:；-:：:.-：；：；：；：2：.:：-：.：:"eV；"：He："；：:”：；：:"-.：；：.：:.：:2=2.:"o.：；.-：'：.U.：；.：0：-：-；：t：.C：；.：.；："；：.P：0：P；：；：；"：.“

13、：eH："m”：u：”；：fm很；":三”三三:三三:-：.；：三二：.：；：:'-onf.：cn：.oau；w*.；o"Musb h；.”.sXdo.un*"e .： 一：-":".h.”“：.k 12 2 2(1-k )x -2kmx-m -2=0.故 x1 x2 =2kmm2 21 -kx1x2 =k2 -1OA OB = %x2 wy2 二 x-ix2所以22(kx1 m)(kx2 m) = (1 k )x1x2 km(x1 x2) m2222(1 k )(m2) 2k mk2 -11 -k2m222k 2k2 -1=

14、2k2 -1又因为x1x20,所以k2 -10,从而OA OB 2.综上，当AB丄X轴时,OA OB取得最小值2.解法(I)同解法(n)设A, B的坐标分别为，则(,%), (x2,y2),则N2-%2 = (Xiyj任-yj=2(i =1,2).令 s =Xi yi,tix -yi,则 si =2,且 s >0乙 >0(i =1,2)所以乩 X1X2 0十1 g J) DM)=2,X"i = x2时” ”成立.当且仅当sN,即卩1“1 = y2所以OA OB的最小值是2.5. (1)x2=1 ,为椭圆的充要条件疋0,当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；当kz0且-

15、1且4时方程为4k即是 0<k<2或 2<k<4(2)为双曲线的充要条件疋4k：0,即k ： 1 或-1 ： k ：0或 k 4,当k”1或k 4时,双曲线焦点在x轴上,a2,b2,得 k =6,c:-. :”u; :i:.-.:;.r:'.;, I:"'.-.".':-. _ -“"-.：；.：-e.：t：.'：".：；：；：. "：.：；：.bi；：i：；he,：t.:t：h：.：；：t."：”e-o n f.：cn：.o-*.;"Musb -si:”.: co”.

16、Jlk. "e .： 一：-":".h.”“：当-1 ：k ：:0时,双曲线焦点在y轴上,b,ak _4,得k = 6,不符.95"：o.：；.-：'：.U.：；.:：-：-："：.：；："：；：0："：'：；：；"：'：".“：eH："m”：u：”；：fm很；":三”三三三:三:-：.；：三m；o：m:'：；'：.；：.'：；：；：；：'-：；.-：；：2.：.："：.："2综上得双曲线方程为冷=_x m（川

17、）若存在，设直线 PQ的方程为：y=-x+m22 消去y得：4x2 4mx 2m2 7 =06x2 -2y2 =7Xo设P,Q的上点是M （x°,y。）,贝H3m,M在直线L上”3m1. m = y = x 一6. （1）由椭圆的定义，点 P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长2a=6的椭圆.yo方程（2）的厶0,.存在满足条件的P、Q,直线PQ的方程为由 PM LPN,=1 -cosMPN因此半焦距c=2,长半轴a=3，从而短半轴b=所以椭圆的方程为PM LPN cosMPN = PM ”川-2.因为cosMPN =1,P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在厶PMN中,MN =4

18、,由余弦定理有MN=PMPN 2 -2 PM PN cosMPN .将代入,24= PM-2(PmLpn| 2).故点P在以为焦点，实轴长为 2 3的双曲线y2 =1 上.由知，点xP的坐标又满足一-=1,所以：；："：He："；：.”：；：；："-.：.：；：.：.:.”_b： co： :：0：.：；"：“：.-：.：.；：-；“。；："；：；. "g：".；：'：”"：；：".：45,由方程组5x29y22 2x 3y3.解得即p点坐标为3.3X37.(I)tan,5兀双曲线的焦距为解得2 2

19、a =3,b(II)解b2=13；3I与双曲线两条渐近线的交点3b椭圆方程为设椭圆的焦距为 2c，则点F的坐标为OM直线l直线I(GO)的斜率为的方程为y =a(x -a)b设 A(x, y),由FAAN1(-x)直线I的斜率为y 罟(x -c)b解得ab得 x -c, y 二3c24c即点Nabx,aby)占八、aby)abA(3c2ab4c4c10分。A在椭圆上(3c22 216a c16c2=112分4c2-o n f.：cn：.o-*.;"Musb -si:”.: co”.Jlk. "e .：一：-":".h.”“：22、24222(3c a ) a 16a c , (3e1)2 1=16e2429e -10e2=05一 .7椭圆的离心率是e占j=18.(I)由 ga22 22a x (2m -1)a =0 ,y2 =2(x m)设 f (x) =x2 2a2x (2m -1)a2,则问题(I)转化为方程在区间(a, a)上有唯一解:若a2 199，此时Xp二a，当且仅当 a :： -a : a，即0 ：a：1适合;若f (