概率论试题及答案

1、概率论1、设X为离散型的随机变量，且期望EX、方差DX均存在，证明对任意0,都有EXDX证明 设P X XiPi iP X EXP Xlx EX| _2_xi EX _ DX2Pi= 1,2,则|X EXXiEX 2Pi63D X Y621123、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏2、设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系 数为0.5,请利用切比雪夫不等式证明：1P X Y 612证 E X Y 0cov X,Y , DXDY 1DX DY 2covX,Y 5 26 P X Y E X Y 6差不小于0.04的概率不超过0.01 ?解设Xn为n次抛

2、硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得P Xn 0.5 0.04从而有 n0.2520.01 0.0420.5 0.5 n 0.042156250.01即至少连抛1562欧硬币，才能保证正面出现频率与 0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.014、每名学生的数学考试成绩X是随机变量，已知EX 80, DX 25, (1)试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围； (2)多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%至少要有多少学生参加考试？解(1)由切比雪夫不等式px EX 1弩0又 P 70 X 90 P 70 EX X

3、EX 90 EX P 10 X EX 10=P X 8025-101 至 0.75100即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75%（2）设有n个学生参加考试（独立进行），记第i个学生的成绩为Xii i,2n ,则平均成绩为X1n_1n 一Xi ,又 EX EXi 80n i 1n i 11DX DXn25则由切比雪夫不等式可得：P75 X要使上述要求不低于90%只需上 n学生参加考试，就可以达到要求。5、设800台设备独立的工作85 P X 80 51 25n520.9,解得n 10,即有10个以上的,它们在同时发生故障的次数X B 800,0.01解 P X,现由2名维修工看

4、管，求发生故障不能及时维修的概率221 P X 21C800 0.01i0.99800 ii 0在二项分布表（附表1）中不能查出。np 8,使用正态分布近似计 算：近似若使用正态分布近似计算：X N 8,7.92 ,P X 21 P X 21c X 8 P 2.132,7.922.1320.98346、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、有1名家长来、有2名家长来参加会议的概率分别 为0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设每个学生参加会议的家 长数相互独立且服从同一分布，求：（1）参加会议的家长数X超过450的 概率；（2）每个学生有一名

5、家长来参加会议的学生数不多于340的概率。解（1）以Xi i 1,2.400表示第i个学生来参加会议的家长数，则X的分布律为：Xi_0_12_Pi0.00.0.18所以 EXi 1.1, DXi 0.19, i 1,2.400400而X Xi i 1近似由中心极限定理知：X N 440,76P X 45011.1470.1257(2)以Y表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则Y B 400,0.8近似由中心极限定理知：Y N 320,64贝U P Y 3402.50.99387、射手打靶得10分的概率为0.5 ,得9分的概率为0.3 ,得8分、7分 和6分的概率分别0 .1、0.05和0.

6、05,若此射手进行100次射击，至少可 得95例的概率是多少？设Xi为射手第i次射击的得分，则有Xi109876Pi0.50.30.10.050.05100 _2Xi , EXi 9.15, EX2 84.95, DX 1.2275 i 1由中心极限定理得:100P Xi 9501i 1950 915 彳1 100 1.22753.1590.00088、某产品的不合格率为0.005,任取10000件中不合格品不多于70件 的概率为多少？解 依题意，10000件产品中不合格品数X B 10000,0.005，由np 50 ,n1 p 5,故可用二项分布的正态近似，所求概率为2.83550.997

7、770 50 P X 70.,501 0.0059、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为0.01 ,问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100只合格品的1率不小于0.95?解 设n为一盒装有的螺钉数，其中合格品数记为 X B n,0.99 ,该题要求n ,使得下述概率不等式成立。P X 1000.95或 PX 100利用二项分布的正态近似，可得:0.05100 0.99n0.050.0099n1.645因此，100 0.99n1.645,0.0099n解得，n 103.19这意味着，每盒应装104只螺钉，才能使每盒含有100只合格品的概 率不小于0.95。(B)1、为确定一批产品的次品率要从中抽取

8、多少个产品进行检查，使其次品出现的频率与实际次品率相差小于 0.1的概率不小于0.95。解：依题意，可建立如下概率不等式P P P 0.10.95其中P是这实际的次品率，如抽取n个产品则次品的频率p x1 x2 .xn ,由中心极限定理，P近似服从正态分布： nN P,P 1 P /n 或P P N 0,P1 P /n0.1. n 1 0.95 从而有0.975,P 1 P 2查表可得：0.17n1.96或而 19.6JP1 P、P 1 P由于P未知，只得放大抽检量，用1/2代替VPT下，可得：加9.8n 96,可见，需抽查96个产品才能使其次品率与实际次品率相差 0.1 小于的概率不小于0.95。2、假设批量生产的某产品的优质品率为60%求在随机抽取的200件产品中有120到150件优质品的概率.解 记n 随机抽取的200件产品中优质品的的件数，则n服从二 项分布，参数为 n=200, p=0.60 ； np 120, np(1 p) 48 .由于 n=200 充分大，故根据棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，近似地P 120_n_np_ ,np(1 p)n 120,48 N(0,1);n 150n 120、48150 120.48P 0 Un 4.333、设随机变量X服从参数为 同分布随机变量，证明：对任意(4.33)(0) 0.5 .的泊松分布，Xi，