中学平面几何有关三角形五心的试题分析讲解

1、中学平面几何有关三角形五心的试题分析、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外 接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便利例1.设A1A2A3A4为O O内接四边形，Hi, H2, H3, H4依次为 A2A3A4, A3A4A1 , A4AiA2,A A1A2A3 的垂心.求证：Hi , H2, H3, H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置（1992，全国高中联赛）分析：连接A2H1, A1H2, H1H2,记圆半径 为R.由厶A2A3A4知A2 H1=2R二 A2H1=2Rcos/ A3A2AA；sin ZA2 A3H1A1A2O由厶A1A3A4得A1H2=2

2、RcosZ A3A1A4.但/ A3A2A4=Z A3A1A4，故 A2H1 =A1 H 2. 易证 A2H1 / A1A2，于是，A2H1 =A1H2,故得H1H2=A2A1.设H1A1与 出入2的交点为M ,故H1H2与A1A2关于M点 成中心对称-同理，H2H3与A2A3, H3H4与A3A4, H4H1与A4A1都关于M点成中心对称. 故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全 等四边形，H1, H2, H3, H4在同一个圆上后者的圆心设为Q, Q与0也 关于M成中心对称.由O, M两点，Q点就不难确定了 .例2. HABC的垂心，D, E, F分别

3、是BC,心的。H交直线EF, FD , DE于A1, A2, 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可设BC=a, CA=b, AB=c,A ABC 夕卜 接圆半径为R,O H的半径为r.连 HA1, AH 交 EF 于 M.AA2=AM2+A1M2=AM2+r2- MH22 2 2=r2+(AM2-MH2), 又 AM2- HM2=(1 AH1)2-( AH-丄 AH1)22 22 2=AH AH1-AH2=AH2 AB- AH22=cosa be- AH ,而一=2R= AH2=4R2cos2A, s

4、i n ABH=2R= a2=4sin2A. sin A2 2 2 2 2 2 AH2+a2=4R2, AH2=4R2-a2.CA, AB的中心.一个以H为圆B1, B2,C1 , C2.)BA2A1FH1C2由、有.2± 2 2"2)=丄(a2+b2+c2)-4 R2+r22同理，BB； =- (a2+b2+c2)-4 R2+r2,2CC12=-(a2+b2+c2)-4 R2+r2. 2故有 AAi=BBi=CCi.、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心对于内心，要掌握张角公式，还要记住 下面一个极为有用的等量关系：设I ABC的内心，射线AI交厶ABC外接圆于A'

5、,则有A ' I二A' B二A' C.换言之，点A'必是 IBC之外心（内心的等量关系之逆同样有用）. 例3. ABCD为圆内接凸四边形，取D DAB， ABC,ABCD, CDA 的内心 Oi， O2，O3， O4.求证：O1O2O3O4为矩形.（1986，中国数学奥林匹克集训题）证明见中等数学1992; 4例4.已知。O内接 ABC，OQ切AB， 中点P是厶ABC之内心.（B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克）分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例 8的一种特例，但它增 加了条件AB=AC.当ABM AC,怎样证明呢？如图，显然EF中点P、圆心Q，B

6、C中点K都在/ BAC平分线上易知AQ=rsin - QK AQ=MQ QN,QK=MQ QNAQ(2R -r) r二sin 亡(2R _r). r/sin :由 RtA EPQ 知 PQ=sin : r .K/. PK=PQ+QK=s in : r +s in：(2Rr)二si n ： 2R . PK=BK.:利用内心等量关系之逆定理，即知 P是厶ABC这内心.、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切.例5.(分析:r 分别是 AMC , BMC, ABC内切圆的半径，qi, q2, q

7、分别是上述三角形在/ ACB内部的旁切圆半径.在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r, ra, rb, rc分别表示内切圆半径及与a, b, c相切的旁切圆半径, p表示半周.杭州大学中学数学竞赛习题)设RtAABC中，c为斜边，先来证明一个特性： P(P-c)=( p-a)( p-b).1 1p( p- c)=(a+b+c) (a+b- c)2 21 2 2=-(a+b)2-c24 =-ab；211(p-a)( p- b)=(- a+b+c) (a- b+c)221 r 2 /. .2 1 ,=c -( a- b) = ab.42 p( p-c)=( p-a)( p- b)

8、.观察图形，可得r a=AF- AC=p- b, rb=BG- BC=p- a, rc=CK=p.而 r=1( a+b- c)2=p- G r+ra+rb+rc=(P-©+( p- b)+( p- a)+ p=4 p-( a+b+©=2 p. 由及图形易证.ri证明：qiq2q(IMO-12)分析：对任意 A'OD=OA'B，C',.A'sin2.B'sin2由正弦定理可知二 A，sin NA'O'B'.A'-sin2例6. M是厶ABC边AB上的任意一点.r1,匕，O E=O'E亦即有riB&

9、#39;A B'.A . Bsin sin2 2.A' B'，sin2A B' cos cos 2 2A' B'sin2ggy.qiq2A CMA CNB B 瑜尹=七9 丁tg$tg-tgB=-22 q四、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了 同一三角形的几个心.例7.设在圆内接凸六边形 ABCDFE中，AB=BC, CD=DE, EF=FA.试证：(1) AD, BE, CF三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAA AK+BE+CF.(1991，国家教委数学试验班招生试题)分析

10、：连接AC, CE, EA,由已知可证 AD, CF , EB是厶ACE的三条内角平分 线，I ACE的内心.从而有ID=CD=DE,IF=EF=FA, IB=AB=BC.再由 BDF，易证BP,DQ ,FS是它的三条高，I是它的垂心，利用不等式有：ErdosBI+DI+FI >2 (IP+IQ+IS). 不难证明 IE=2IP , IA=2IQ , IC=2IS. BI+DI+FI >IA+IE+IC. AB+BC+CD+DE+EF+FA=2( BI+DI+FI)> (IA+IE+IC)+( BI+DI+FI) =AD+BE+CF.I就是一点两心.D是AB中点，E是厶ACD

11、的重心.证明OE例8.AABC的外心为O, AB=AC 丄CD.(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM为高亦为中线，取AC中点AF, E必在DF上且DE: EF=2:1.设 CD交AM于G, G必为 ABC重心.连GE, MF, MF交DC于K.易证：11 1DG: GK二DC:()DC=2:1.3 2 3 DG: GK=DE: EF= GE/ MF. OD 丄 AB, MF / AB, OD丄MF二OD丄GE.但OG丄DE= G又是 ODE之垂心.易证OE丄CD.例9.AABC中/C=30°, O是外心，I是内心，边 AC上的D点与边BC上的 E 点使得 AD=BE=AB.求证：

12、OI 丄 DE, OI=DE.(1988，中国数学奥林匹克集训题)BC 于 K.分析：辅助线如图所示，作/ DAO平分线交易证 AID AIBEIB, / AID=Z AIB=Z EIB.利用内心张角公式，有1/ AIB=90° +1 / C=105°,2 / DIE=360° -105 ° X 3=45° .1vZ AKB=30° + / DAO21=30+1 ( Z BAC- Z BAO)21=30+丄(Z BAC-60 ° )12IE./ BAC=Z BAI=Z BEI.2 AK/由等腰 AOD可知DO丄AK, DO丄

13、IE，即DF是厶DIE的一条高.同理EO是厶DIE之垂心，OI丄DE. 由/ DIE=Z IDO，易知 OI=DE.设外心到三边距离” OOi G1HiO2G2H 2d垂.例10.锐角 ABC中，O, G, H分别是外心、重心、垂心 和为d外，重心到三边距a离和为d重，垂心到三边距离和为求证：1 d垂+2 d外=3 d重.分析：这里用三角法.设厶ABC外接圆半径为1,三个内角记为A, B,C.易知 d 外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC, 2d 外=2(cosA+cosB+cosC)./ AH1=sinB AB=sinB (2 sinC)=2sinB sinC, 同样可得

14、BH2 CH3. 3d重= ABC三条高的和=2 (sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB)=2,BHsin . BCH HHi=cosC BH=2 cosB cosC.同样可得HH2, HH3. d 垂=日 H1+HH2+HH3=2(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)欲证结论，观察、，三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心五、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角 定理.例11.须证(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB s

15、inC+sinC sinA+sinA sinB.即可.过等腰 ABC底边BC上一点P弓I PM / CA交AB于M ;弓| PN / BA交 AC于N.作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点在 ABC外接圆上. （杭州大学中学数学竞赛习题）.分析:=NP占 八、由已知可得 MP' =MP=MB，NP'=NC，故点M是厶P' BP的外心，N是厶P' PC的外心.有11/ BP'卩=丄 / BMP= / BAC，2211/ PP' C= / PNC= / BAC.22 / BP' C=Z BP' P+Z P'

16、 PC=Z BAC.从而，P'点与A，B，C共圆、即卩在厶ABC外接圆上.由于P' P平分Z BP' C,显然还有P' B: P' C=BP: PC.例12.在厶ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以 APS, BQP， CSQ的外心为顶点的三角形与 ABC相似.（ B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克）Q分析：设 01, 02, 03是厶APS，BQP， CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知Z PO&2Z A,Z QO2P=2Z B,Z SQQ=2Z C.Z PO1S+Z QO2P+Z SQQ=360°

17、; .从而又知 Z O1PO2+Z O2QO3+ Z O3SOi=360°将厶O2QO3绕着O3点旋转到厶KSO3，易判断厶KSO1A O2PO1，同时可 得厶 O1O2O3 O1KO3.1 Z O2O1O3=Z KO1O3= Z O2O1K21=-(/ O2O1S+ / SOK)21=(/ O2O1S+ / PO1O2)21=-/ PO1S=Z A;2同理有/ 010203=/ B.故 O1O2O3SAABC.六、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例13. AD, BE, CF是厶ABC的三条中线，P是任意一点

18、.证明：在厶PAD,A PBE,A PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.AEA' F(第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设GABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别 作该直线的垂线，垂足为 A', C',D' , E', F' .B八 3 易证 AA' =2DD ', CC' =2FF ' , 2EE' =AA' D+CC'' p EE' =DD ' +FF '.有 SPGE=SPGD+SaPGF. 两边各扩大3倍，有Spbe=Spad+Sapcf.例14.如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围 成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将厶ABC简记为，由三中线AD, BE, CF围成的三角形简记为' .G 为重心，连DE至U H , 使 EH=DE，连HC, HF,贝U'就是厶HCF.(1)a2, b2, c2成等差数列=“'.若厶ABC为正三角形，易证"'. 不妨设a>b>c,有 CF=1 2a2 2b2 -