2015新课标全国卷Ⅱ(文数)

1、2015新课标全国卷(文数) 1.(2015高考新课标全国卷,文1)已知集合A=x|-1<x<2,B=x|0<x<3,则AB等于(A)(A)(-1,3)(B)(-1,0)(C)(0,2)(D)(2,3)解析:集合A=(-1,2),B=(0,3),所以AB=(-1,3).2.(2015高考新课标全国卷,文2)若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a等于(D)(A)-4(B)-3(C)3(D)4解析:因为2+ai1+i=3+i,所以2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,又aR,所以a=4.3.(2015高考新课标全国卷,文3)根据下面给出的2004年至2013年我国二

2、氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是(D)(A)逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著(B)2007年我国治理二氧化硫排放显现成效(C)2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势(D)2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析:结合图形可知,2007年与2008年二氧化硫的排放量差距明显,显然2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著;2006年二氧化硫的排放量最高,从2006年开始二氧化硫的排放量开始整体呈下降趋势.显然A,B,C正确,不正确的是D,不是正相关.4.(2015高考新课标全国卷,文4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)

3、·a等于(C)(A)-1(B)0(C)1(D)2解析:a=(1,-1),b=(-1,2),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.5.(2015高考新课标全国卷,文5)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5等于(A)(A)5(B)7(C)9(D)11解析:数列an为等差数列,设公差为d,所以a1+a3+a5=3a1+6d=3,所以a1+2d=1,所以S5=5a1+5×42×d=5(a1+2d)=5.6.(2015高考新课标全国卷,文6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩

4、余部分体积的比值为(D)(A)18(B)17(C)16(D)15解析:由三视图可知,该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥,即截去了正方体的一个角.设正方体的棱长为1,则正方体的体积为1,截去的三棱锥的体积为V1=13×12×1×1×1=16,故剩余部分的体积为V2=56,所求比值为V1V2=15.7.(2015高考新课标全国卷,文7)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为(B)(A)53(B)213(C)253(D)43解析:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以1+D+F=0,3+3E+F=0

5、,7+2D+3E+F=0,所以D=-2,E=-433,F=1,所以ABC外接圆的圆心为1,233,故ABC外接圆的圆心到原点的距离为1+(233) 2=213.8.(2015高考新课标全国卷,文8)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a等于(B)(A)0(B)2(C)4(D)14解析:由题知,a=14,b=18;a=14,b=4;a=10,b=4;a=6,b=4;a=2,b=4;a=2,b=2.所以输出a=2.9.(2015高考新课标全国卷,文9)已知等比数列an满足a1=14,a3a5=

6、4(a4-1),则a2等于(C)(A)2(B)1(C)12(D)18解析:设等比数列an的公比为q,a1=14,a3a5=4(a4-1),由题可知q1,则a1q2×a1q4=4(a1q3-1),所以116×q6=414×q3-1,所以q6-16q3+64=0,所以(q3-8)2=0,所以q3=8,所以q=2,所以a2=12,故选C.10.(2015高考新课标全国卷,文10)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(C)(A)36(B)64(C)144(D)256解析:由题意知当

7、三棱锥的三条侧棱两两垂直时,其体积最大.设球的半径为r,则13×12r2·r=36,解得r=6,所以球O的表面积S=4r2=144,选C.11.(2015高考新课标全国卷,文11)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(B)(A)(B)(C)(D)解析:法一当点P位于边BC上时,BOP=x,0x4,则BPOB=tan x,所以BP=tan x,所以AP=4+tan2x,所以f(x)=tan x+4+tan2x0x4,可见y=f(x

8、)图象的变化不可能是一条直线或线段,排除A,C.当点P位于边CD上时,BOP=x,4x34,则BP+AP=BC2+CP2+AD2+DP2=1+(1-1tanx) 2+1+(1+1tanx) 2.当点P位于边AD上时,BOP=x,34x,则APOA=tan(-x)=-tan x,所以AP=-tan x,所以BP=4+tan2x,所以f(x)=-tan x+4+tan2x34x,根据函数的解析式可排除D,故选B.法二当点P位于点C时,x=4,此时AP+BP=AC+BC=1+5,当点P位于CD的中点时,x=2,此时AP+BP=22<1+5,故可排除C,D,当点P位于点D时x

9、=34,此时AP+BP=AD+BD=1+5,而在变化过程中不可能以直线的形式变化,故选B.12.(2015高考新课标全国卷,文12)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(A)(A)13,1(B)-,13(1,+)(C)-13,13(D)-,-1313,+解析:函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,所以f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数,又当x(0,+)时,f(x)=ln(1+x)-11+x2,f(x)是单调递增的,故f(x)>f(2x-1)f(|x|)>f(|2x-1|),所以|x|>|2x-1

10、|,解得13<x<1,故选A.13.(2015高考新课标全国卷,文13)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=. 解析:由题意可知(-1,4)在函数图象上,即4=-a+2,所以a=-2.答案:-214.(2015高考新课标全国卷,文14)若x,y满足约束条件x+y-50,2x-y-10,x-2y+10,则z=2x+y的最大值为. 解析:作出可行域如图中阴影部分所示.在可行域内,斜率为-2的直线经过点C时,z=2x+y取得最大值,此时由x+y-5=0,x-2y+1=0,解得x=3,y=2,所以C(3,2),所以zmax=8.答案:815.(2

11、015高考新课标全国卷,文15)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为. 解析:因为双曲线的渐近线方程为y=±12x,故可设双曲线为x24-y2=(>0),又双曲线过点(4,3),所以424-(3)2=,所以=1,故双曲线方程为x24-y2=1.答案:x24-y2=116.(2015高考新课标全国卷,文16)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=. 解析:法一因为y'=1+1x,所以y'|x=1=2,所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方

12、程为y-1=2(x-1),所以y=2x-1.又切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a0,由y=ax2+(a+2)x+1,y=2x-1,得ax2+ax+2=0,因为=a2-8a=0,所以a=8.法二因为y'=1+1x,所以y'|x=1=2,所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),所以y=2x-1,又切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a0.因为y'=2ax+(a+2),所以令2ax+a+2=2,得x=-12,代入y=2x-1,得y=-2

13、,所以点-12,-2在y=ax2+(a+2)x+1的图象上,故-2=a×-122+(a+2)×-12+1,所以a=8.答案:817.(本小题满分12分)(2015高考新课标全国卷,文17)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC;(2)若BAC=60°,求B.解:(1)由正弦定理得,ADsinB=BDsinBAD,ADsinC=DCsinCAD.因为AD平分BAC,BD=2DC,所以sinBsinC=DCBD=12.(2)因为C=180°-(BAC+B),BAC=60°,所以sinC=sin(BAC+B)

14、=32cosB+12sinB.由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=33,即B=30°.18.(本小题满分12分)(2015高考新课标全国卷,文18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散

15、程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.解:(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方

16、图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.19.(本小题满分12分)(2015高考新课标全国卷,文19)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)作EM

17、AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为10×(6+12)×8210×(4+10)×82=9710×(4+10)×8210×(6+12)×82=79也正确.20.(本小题满分12分)(2015高考新课标全国卷,文20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求C的方程

18、;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.(1)解:由ca=22,4a2+2b2=1,a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,故椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)证明:由题设直线l:y=kx+m(k0,m0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+m,x2+2y2-8=0,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2,得AB中点M-2km1+2k2,m1+2k2,则直

19、线OM与直线l斜率乘积为m1+2k2-2km1+2k2·k=-m2km·k=-12,即定值.21.(本小题满分12分)(2015高考新课标全国卷,文21)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=1x-a.若a0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+)单调递增.若a>0,则当x0,1a时,f'(x)>0;当x1a,+时,f'(x)<0.所以f(x)在0,1a上单调递增,在

20、1a,+上单调递减.(2)由(1)知,当a0时,f(x)在(0,+)无最大值;当a>0时,f(x)在x=1a处取得最大值,最大值为f1a=ln 1a+a1-1a=-ln a+a-1.因此f1a>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+)上单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲(2015高考新课标全国卷,文22)如图,O为等腰三角形ABC内一点,O与ABC的底边BC交于M,N

21、两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EFBC;(2)若AG等于O的半径,且AE=MN=23,求四边形EBCF的面积.(1)证明:由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分线.又因为O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故ADEF.从而EFBC.(2)解:由(1)知,AE=AF,ADEF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为O的弦,所以O在AD上.连接OE,OM,则OEAE.由AG等于O的半径得AO=2OE,所以OAE=30°.因此ABC和AEF都是等边三角形.因为AE=23,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2

22、,DM=12MN=3,所以OD=1.于是AD=5,AB=1033.所以四边形EBCF的面积为12×10332×32-12×(23)2×32=1633.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程(2015高考新课标全国卷,文23)在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=tcos,y=tsin,(t为参数,t0),其中0<.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=23cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解:(1)曲线C2的直角坐标方程x2+