2013届安徽高考立体几何备考策略及考点分析Word版

1、2013届安徽高考立体几何备考策略及考点分析数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的学科，所以空间想象能力是数学所要求的最重要的能力之一。考试说明中明确指出：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表形象地揭示问题的本质。立体几何以它的内容决定了其试题在考查空间想象能力的作用，由于它的公理化体系的处理，又决定了立体几何是考查演绎思维的最好素材，空间向量的引入更为解决立体几何问题提供了新的方法。一、试题特点近年高考立体几何试题情况统计2011年高考各地的19套试卷中，选择题有23道,填空题有9道,解答题

2、19道；从统计数据来看,立体几何可以说是必考题型,其中选择题与解答题都会有出现。从我省2008-2010年高考试题来看，2011年的高考大纲数学科目在2010年的考纲的基础上基本没有变动。这一特点说明全国高考数学科的考试通过多年的探索、改革，已逐渐趋于稳定的格局，形成“保持稳定，注重基础，突出能力，着力创新”的特色。从省样卷估计今年立体几何分值在23分左右(两小一大)，两小题以基本位置关系的判定与柱、锥、球的角、距离、体积计算为主，一大题以证明空间线面的位置关系和有关数量关系计算为主，诸如空间线面平行、垂直的判定与证明，线面角和距离的计算。试题的命制载体可能趋向于不规则几何体，但仍以“方便建系

3、”为原则。主要特点特点一：文科难度有所下降。从省样卷分析，选择题文理相同，填空题文13理T15理科难度有所增加，解答题文T19理T20尽管题干和第一小题相同，但第二小题理科明显难度增加。特点二：考小题，推陈出新。有关立体几何的小题，其考查的重点在于基础知识。其中，三视图、点直线平面之间的位置关系等知识的试题是重点考查内容，特别是三视图，是新课标增加的内容。2008年山东、海南、广东等新课标地区都出现三视图的选择题。省样卷中也出现以三视图为背景考查规则或不规则几何体体积的填空题。特点三：考大题，全面考查。考查立体几何的大题中，一般是考查线、面之间的平行、垂直关系，线面角、面面角，面积、体积等问题

4、，难度属中等偏难，主要考查学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解、掌握和应用情况。如2007年广东高考的大题考查的是三视图及其面积体积问题，2008年以不规则四棱锥为载体，考查空间线面关系，空间向量及坐标运算、解三角形等知识。2008年宁夏、海南卷以学生较熟悉的正方体为载体考查两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角。2008年江苏卷以四面体为载体考查直线与平面、平面与平面的位置关系。2008年浙江卷以不规则几何体为载体考查空间线面关系、空间向量的概念与运算。理科试题的一个共同特点就是用空间向量解解答题更简便。但随着课改的深入，文科考查的难度可能有所下降。32013年高考命题趋势纵观2010

5、年高考全国卷和有关省市自主命题卷，关于立体几何的命题有如下几个显著特点：（1）高考题型：立体几何的试题一般以两小一大命题。（2）难易程度：考查立体几何的选择题、填空题为基础题或中档题，解答题一般会综合考查，以中等偏难试题为主，文科难度下降。（3）高考热点：立体几何的热点是三视图，近两年课改地区的高考试题中，都出现三视图的试题，应引起重视。另外证明线线、线面、面面垂直、平行，二面角、线面角等重点内容也会重点的考查。估计2009年高考中，三视图还会出现，证明垂直、平行、二面角等内容还会出现在大题中，可能会以不规则几何体为载体。（4）解题方法：在大题中一般都能用公理体系和空间向量二种方法解决，理科常

6、以空间向量解题更易。二、复习备考方略1三视图是新课标新增的内容，2007、2008 2009 2010年课改区的高考题都有体现，因此，三视图的内容应重点训练。2证明空间线面、线线、面面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路。3角和距离问题，可以用空间向量来解决，应加强训练。4与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用。5平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变。三、考题剖析考点一：空间几何体的结

7、构、三视图、直观图、表面积和体积【内容解读】了解和正方体、球有关的简单几何体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征，能画出简单空间几何体的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图，会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间几何体的三视图或直观图，了解空间几何体的不同表示形式，能识别上述三视图所表示的空间几何体，理解三视图和直观图的了解，并能进行转化，会计算球、柱、锥、台的表面积和体积（不要求记忆公式）【命题规律】柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征在旧教材中出现过，而三视图为新增内容，一般情况下，新增内容会重点考查，从2008年、2009年广东、山东、海南、安徽的高考题来看，三视图是出题

8、的热点，题型多以选择题、填空题为主，也有出现在解答题里，如2007年广东高考就出现在解答题里，属中等偏易题。考点二：点、直线、平面的位置关系【内容解读】理解空间中点、线、面的位置关系的定义，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。【命题规律】主要考查平面的基本性质、空间两条直线的位置关系，多以选择题、填空题为主，难度不大。考点三：直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定与性质，【内容解读】掌握直线与平面平行（垂直）、平面与平面平行（垂直）的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面平行、面

9、面平行、线面垂直、面面垂直的问题，理解直线与平面所成的角、二面角的概念，能证明一些空间位置关系的简单命题。【命题规律】主要考查线线、面面平行的判定与性质，线线、面面垂直的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线面平行、面面平行，线线垂直、线面垂直、面面垂直及角与距离的计算为主，属中档题。从各地高考立体几何19道解答的解法来看通常都能用两种方法解决，尽管试题的命制载体可能趋向于不规则几何体，但仍以“方便建系”为原则。所以复习时应强调用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的了解，从而把立体几何问题转化为向量问题

10、（几何问题向量化）；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹我有等问题（进行向量运算）；3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归几何问题）。解答题从历年考题来看，入手容易，得分不难。考时每一问都要求学生尽量做，不要轻易放弃，书写时要注意论证的严密，证明时条件要写全，不要无谓的失分。纵观立体几何试题，重点考基础，全面考素质。纵向观察近几年高考数学试题中对立体几何的考查，空间向量的内容普遍在中学开设和广泛应用，考生对于传统立体几何难题异面直线成角、直线与平面成角、二面角和点到平面的距离的求解等，由于有了空间向量这个撒手锏，在心理上已经不畏惧了，似乎立体几

11、何问题一下子由较难问题变为中档偏易问题但可谓魔高一尺，道高一丈，近几年立体问题似乎又在变脸，空间向量这个撒手锏已经不是那么好使用了，空间直角坐标系不能很好地赋予到所给的图形上，即使能建立空间直角坐标系，总有点的坐标无着落处于未知状态立体几何命题趋势近几年越来越在综合考查：空间想象能力，代数方程思想、平面解析几何或向量的方法，存在性的探究，回归长方体模型和长方体与外接球的关系，对传统的题目的图形进行视角变幻、图形的元素的增减变幻横向观察每年全国十几份试题对立体几何考查的定位是不全相同，但对立体几何的考查的思路是相互影响的，如2008年的填空题和选择题有好几份试题对长方体的对角线与三度棱或三组面的

12、关系、长方体与它外接球的关系进行了考查，也有好几份试题把代数思想的考查与考查空间想象力综合在一起只有认真研究高考数学试题中立体几何命题趋势，才能把握立体几何的命题脉络，看准命题的走向，研究可能出现的试题的解题模式做到未雨绸缪才能决胜变幻莫测的考场，基于此，本文谈一谈高考数学试题中立体几何命题的趋势与其解题模式研究立体几何的命题趋势 1 函数与方程的思想、平面解析几何或向量的方法在立体几何命题中，常常考查通过设未知数，利用方程与函数的思想，能把未知数解出来，这样才能找到关键的元素点的位置，线段的长度，利用函数与方程的思想解题能起到四两拔千斤的作用如2008年全国理科一卷第18题：四棱锥中，底面为

13、矩形，侧面底面，（）证明：；（）设与平面所成的角为，求二面角的大小【解析】：本题解答为了突出函数与方程的思想、平面解析几何或向量的方法，采用公理体系的方法解答，设，由于侧面底面，因此作等腰的中垂线，由平面与平面垂直的性质定理知，直线平面，连结，要证明，由三垂线定理知，只需证明，利用平面几何的知识证明，是好想不好表述，如果改用平面解析几何知识来证明或平面向量知识来证明，是好想又好表述在求某平面内的线段与线段的垂直和夹角，点到直线的距离，除了传统的平面几何和三角知识外，改用平面解析或平面向量用为一种运算的手段和求解的方法也是很好的不难证明平面平面，用于，则是与平面所成的角，可以算出，由，得，得，取

14、的中点，则平面，作矩形，则也为矩形，设，由，得是二面角的平面角，由余弦定理，即二面角的大小为再如2008年海南、宁夏理科试题第18题，如图，已知点在正方体的对角线上, （）求与所成角的大小；()求与平面所成角的大小如果考虑设未知数，利用向量的知识来解题问题就迎刃而解了【解析】利用空间几何知识和空间向量知识都能很简捷解答本题，关键是算出点到三个平面、和的距离关系，一旦这个问题解决了，其他问题就迎刃而解了特别用空间几何知识解题，要想到长方体的模型作用本题属于考查线面、线线成角的基本概念，同量考查了空间想象能力，属于基础题如图，以为空间直角坐标系原点，以为单位长建立空间直角坐标系，点在正方体的对角线

15、上，设，又， ，解之，即（）， ， 即与所成的角为；（）平面的法向量为，设与平面成角为， 则，即与平面所成的角为2 存在性与探究性问题 山东理科第20题是一道可以改成存在性和探究性的题。如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是，的中点。（）证明：；（）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。（）证明：四边形为菱形，ABC=60°，为正三角形， 又 是的中点， 又 ， ， 又 平面，平面， 又 平面，平面，平面，又 平面，；（）解：设，为上任意一点，连接，。由（）知 平面，为与平面所成的角，在中，所以 当AH最短时，EHA最大，即 当AHPD时，EHA最大.此时

16、tanEHA=因此 AH=.又AD=2，所以ADH=45°，所以 PA=2.由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又 是中点，所以，又 是的中点，。 轴平面，设平面的法向量是，由有，得， ， 又 轴平面， 设平面的法向量是，由有，得， ，设二面角的大小为， ， 二面角的余弦值为。评注：本题的第（）可以改为探究方法来求，则，由是的中点，设， ， ，由于轴平面，平面的法向量，与平面所成最大角的正切值为，与平面所成最大角的正弦值为，设直线与平面所成的角为，则 ，解之，后面做法相同。3.长方体模型的回归长方体是我们日常生活中经常碰到的一种模型，也是高

17、考中比较常见的模型。关于长方体还有一个性质，在平常的学习当中也应加强应用：连接长方体上下底面两条异面对角线的四个顶点可以得到一个四面体，这个四面体的特殊之处在于它的三组对棱对应相等，因而在平时的练习当中，若接触到这样一个特殊的四面体，可以将它补成一个长方体，从而利用长方体的性质来考虑问题.比如：三棱锥的两条棱，其余各棱长均为. 求此三棱锥内切球半径. 【解析】三棱锥即四面体，注意到这个四面体的对棱，因而它们可以分别作为一个长方体的三组相对面的面对角线，于是该四面体是长方体的六条面对角线组成的四面体，如图所示：设四面体所在的长方体的长、宽、高分别为，则由，得，所以四面体的体积(长方体体积的)，又

18、四面体的表面积为(每个面都是腰长为，底边长为的等腰三角形)，所以该四面体的内切球的半径为再如： 三个两两垂直的平面, 它们的交线交于一点O, 点P到三个平面的距离的比是1：2：3, PO=2, 则P点到三个平面的距离分别是（ ）:（A）2, 4, 6 （B）1, 8, 12 （C）3, 6, 9 （D）5, 10, 15【解析】要画出三个两两垂直的平面且它们的交线交于一点, 不如构造一个长方体来得方便, 长方体ABCO-DPQR中, 平面AORD, ABCO, CQRO两两垂直且交于一点O, PO=2,PD、PB、PQ是点P到这三个平面的距离, 即该长方体的长宽高, 设为t、2t、3t, 于是PO2=t2+（2t）2+（3t）2=14t2=4×14, 求得t=2. P到这三个平面的距离分别为2, 4, 6.4.传统题目的视角变换、图形的元素增减变换在高考立体几何命题中经常会出现把过去传统的题进行视角变换