选修4-2 2变换复合与二阶矩阵乘法

1、第 二 节变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵1.1.二阶矩阵的乘法及其性质二阶矩阵的乘法及其性质(1)(1)二阶矩阵的乘法二阶矩阵的乘法11221122abab,cdcd .设则ABAB1212121212121212a ab ca bb dc ad cc bd d(2)(2)二阶矩阵乘法的性质二阶矩阵乘法的性质设设A, ,B, ,C是任意的三个二阶矩阵是任意的三个二阶矩阵, ,结合律结合律( (AB) )C= _;= _;特别地：特别地：Ak kAl=_,(=_,(Ak k) )l=_;=_;矩阵的乘法不满足矩阵的乘法不满足_;_;矩阵的乘法不满足消去律矩阵的乘法不满足消去律. .A

2、k+k+lAk kl交换律交换律A( (BC) )2.2.逆矩阵的定义、性质及其求法逆矩阵的定义、性质及其求法(1)(1)定义：设定义：设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得，使得_,_,则称矩阵则称矩阵A可逆，并称可逆，并称B是是A的逆矩阵的逆矩阵. .(2)(2)性质：性质：性质性质1:1:设设A是一个二阶矩阵是一个二阶矩阵, ,如果如果A是可逆的是可逆的, ,则则A的逆矩阵是的逆矩阵是_._.性质性质2:2:设设A, ,B是二阶矩阵是二阶矩阵, ,如果如果A, ,B都可逆都可逆, ,则则AB也可逆也可逆, ,且且( (AB) )-1-1=_.=_.B

3、A= =AB= =E2 2唯一的唯一的B-1-1A-1-1(3)(3)求法求法: :二阶行列式：矩阵二阶行列式：矩阵 表达式表达式_称为二阶行列称为二阶行列式，记作式，记作 _， 也称为二阶矩阵也称为二阶矩阵A的行列式，记为的行列式，记为| |A| |或或det det A; ;求法：二阶矩阵求法：二阶矩阵 可逆，当且仅当可逆，当且仅当| |A|=ad-bc0.|=ad-bc0.当矩阵当矩阵 可逆时，可逆时，A-1-1= .= .abcd，Aad-bcad-bcababcdcd，即ad-bcad-bcabcdabcdAabcdAdb|ca|AAAA3.3.逆矩阵与二元一次方程组逆矩阵与二元一次

4、方程组(1)(1)定理定理: :如果关于变量如果关于变量x,yx,y的二元一次方程组的二元一次方程组( (线性方程组线性方程组) ) 的系数矩阵的系数矩阵 可逆可逆, ,那么该方程组有唯一那么该方程组有唯一解解 _(2)(2)推论推论: :关于变量关于变量x,yx,y的二元一次方程组的二元一次方程组 其中其中a,b,c,da,b,c,d是不全为零的常数是不全为零的常数, ,有非零解的充分必要条件是系数矩有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式阵的行列式_._.axbyecxdyfabcdAxyaxby0,cxdy0,ab0cd1abecdf 判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括

5、号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)设设 则则 ( )( )(2)(2)对于矩阵对于矩阵A, ,B, ,AB= =BA.( ).( )(3)(3)对于矩阵对于矩阵A, ,B, ,C, ,若若AC= =BC, ,则则A= =B. ( ). ( )(4)(4)每一个二阶矩阵都可逆每一个二阶矩阵都可逆.( ).( )(5)(5)如果如果A, ,B都可逆，则都可逆，则AB也可逆也可逆.( ).( )11221122ababcdcd，ABAB1212121212211212a ab ba cb d.c ab dc cd d【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .由矩阵乘法的运算法则可知

6、由矩阵乘法的运算法则可知. .(2)(2)错误错误. .矩阵的乘法运算不满足交换律矩阵的乘法运算不满足交换律. .(3)(3)错误错误. .矩阵的乘法运算不满足消去律矩阵的乘法运算不满足消去律. .(4)(4)错误错误. .当当| |A|=0|=0时矩阵不可逆时矩阵不可逆. .(5)(5)正确正确. .由可逆矩阵的性质知正确由可逆矩阵的性质知正确. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (5)考向考向1 二阶矩阵的乘法及其应用二阶矩阵的乘法及其应用【典例【典例1 1】在直角坐标系中，在直角坐标系中，OABOAB的顶点坐标的顶点坐标O(0,0)O(

7、0,0)，A(2,0)A(2,0)， 求求OABOAB在矩阵在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵其中矩阵B 12，21102.01202， MN【思路点拨】【思路点拨】由矩阵由矩阵M, ,N先计算出先计算出MN；再分别计算出点；再分别计算出点O O，A A，B B在在MN的作用下点的坐标，再结合图形求三角形的面积的作用下点的坐标，再结合图形求三角形的面积. .【规范解答】【规范解答】212,202MN2211002222,0000220022 21122.12202可知可知O O，A A，B B三点在矩阵三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为作用下

8、变换所得的点分别为O(0,0),A(2,0),B(2,-1).O(0,0),A(2,0),B(2,-1).可知可知OABOAB的面积为的面积为1.1.【互动探究】【互动探究】在本题中，试求在矩阵在本题中，试求在矩阵NM的作用下变换所得的的作用下变换所得的图形的面积图形的面积. .【解析】【解析】可知可知O,A,BO,A,B三点在矩阵三点在矩阵NM的作用下变换所得的点分别为的作用下变换所得的点分别为O(0,0),A(2,0),B(0,-1)O(0,0),A(2,0),B(0,-1)，可知，可知OABOAB的面积为的面积为1.1.22110022,002200222211122022,.00122

9、20022 NM【拓展提升】【拓展提升】 矩阵的乘法运算的关注点矩阵的乘法运算的关注点(1)(1)熟练掌握二阶矩阵的乘法运算法则熟练掌握二阶矩阵的乘法运算法则, ,注意其用前矩阵的注意其用前矩阵的“行行”元素元素, ,与后矩阵的与后矩阵的“列列”元素相乘相加的特点元素相乘相加的特点. .(2)(2)二阶矩阵的乘法运算与二阶矩阵和平面向量的乘法在实质二阶矩阵的乘法运算与二阶矩阵和平面向量的乘法在实质上是一致的上是一致的. .可以类比理解可以类比理解. .(3)(3)二阶矩阵的乘法常与矩阵的其他运算二阶矩阵的乘法常与矩阵的其他运算, ,如矩阵的相等、逆矩如矩阵的相等、逆矩阵等相结合阵等相结合. .

10、(4)(4)变换的复合等价于相应矩阵的乘法运算，采用矩阵的乘法变换的复合等价于相应矩阵的乘法运算，采用矩阵的乘法运算可以简化变换的过程，起到化繁为简的作用运算可以简化变换的过程，起到化繁为简的作用. .【变式备选】【变式备选】在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，已知点中，已知点A(0,0)A(0,0)，B(B(2,0)2,0)，C(C(2,1)2,1)设设k k为非零实数，矩阵为非零实数，矩阵 点点A A，B B，C C在矩阵在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为对应的变换下得到的点分别为A A1 1，B B1 1，C C1 1，A A1 1B B1 1C C1 1的面积是的面积是A

11、BCABC的面积的的面积的2 2倍，求倍，求k k的值的值k0M01，0110，N【解析】【解析】由题设得由题设得可知可知A A1 1(0,0),B(0,0),B1 1(0,-2),C(0,-2),C1 1(k,-2).(k,-2).计算得计算得ABCABC的面积是的面积是1,1,A A1 1B B1 1C C1 1的面积是的面积是|k|,|k|,由题设知由题设知|k|=2|k|=21=2,1=2,所以所以k k的值为的值为-2-2或或2.2.k0010k.011010MN0k000k20,100010020k2k,1012 考向考向2 2 逆矩阵的求法逆矩阵的求法【典例【典例2 2】(201

12、2(2012福建高考福建高考) )设曲线设曲线2x2x2 2+2xy+y+2xy+y2 2=1=1在矩阵在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为对应的变换作用下得到的曲线为x x2 2+y+y2 2=1=1(1)(1)求实数求实数a a，b b的值的值. .(2)(2)求求A2 2的逆矩阵的逆矩阵. .【思路点拨】【思路点拨】首先由变换前后的曲线方程、变换公式建立关于首先由变换前后的曲线方程、变换公式建立关于a,ba,b的关系式，从而求出的关系式，从而求出a,ba,b，即得矩阵，即得矩阵A，再计算，再计算A2 2及其逆矩及其逆矩阵阵. .a0(a0)b1【规范解答】【规范解答】(1)(1)设曲线设

13、曲线2x2x2 2+2xy+y+2xy+y2 2=1=1上任一点上任一点P(x,y)P(x,y)在矩阵在矩阵A对应变换下的像是对应变换下的像是P(x,y)P(x,y)，又点又点P(x,y)P(x,y)在在x x2 2+y+y2 2=1=1上，上，所以所以xx2 2+y+y2 2=1=1，即，即a a2 2x x2 2+(bx+y)+(bx+y)2 2=1,=1,整理得整理得(a(a2 2+b+b2 2)x)x2 2+2bxy+y+2bxy+y2 2=1.=1.依题意得依题意得因为因为a a0 0，所以，所以xa0 xaxxaxyb1ybxyybxy ，则，得，22a1a1ab2b1b1.2b2

14、 ，解得或，a1b1.，(2)(2)由由(1)(1)知，知，1011，A2122101010111121101.21，所以，AAA【拓展提升】【拓展提升】 求逆矩阵的两个方法求逆矩阵的两个方法(1)(1)待定系数法：设出矩阵待定系数法：设出矩阵A-1-1，再利用，再利用AA-1-1= =E2 2, ,列出方程组求列出方程组求相应的元素相应的元素. .(2)(2)公式法：先求出公式法：先求出| |A| |，再代入公式，再代入公式A-1-1= = 【提醒】【提醒】逆矩阵求解公式的特点逆矩阵求解公式的特点将矩阵将矩阵A的所有元素均除以的所有元素均除以| |A| |后，后，a a1111与与a a22

15、22互换，互换，a a1212与与a a2121变号变号. .db|. ca|即可AAAA【变式训练】【变式训练】已知在矩阵已知在矩阵 的作用下将直线的作用下将直线2x-y=32x-y=3变为其自身变为其自身. .(1)(1)求矩阵求矩阵A. .(2)(2)求矩阵求矩阵A的逆矩阵的逆矩阵. .【解析】【解析】(1)(1)方法一：设方法一：设P(x,y)P(x,y)为直线为直线2x-y=32x-y=3上任意一点上任意一点, ,其在其在矩阵矩阵A A的作用下变为的作用下变为(x,y)(x,y)，则，则代入代入2x-y=32x-y=3得：得：-(b+2)x+(2a-3)y=3.-(b+2)x+(2a

16、-3)y=3.其与其与2x-y=32x-y=3完全一样，完全一样，1ab3A1axxayxxxay,b3ybx3yyybx3y ，b22b411.2a31a1,43 ，得得所以矩阵，A方法二：在直线方法二：在直线2x-y=32x-y=3上任取两点上任取两点(2(2，1)1)和和(3(3，3)3)，即得点即得点(a-2,2b+3),(a-2,2b+3),将将(a-2,2b+3)(a-2,2b+3)和和(3a-3,3b+9)(3a-3,3b+9)分别代入分别代入2x-y=32x-y=3得得1a22a,b312b3 则1a333a,3a3,3b9 ,b333b9 即得点则矩阵则矩阵 (2)(2)因为

17、因为 所以矩阵所以矩阵A的逆矩阵为的逆矩阵为11.43A11143，131.41A 22a2b33a1b4233a3b93 ，得，考向考向3 二阶矩阵的运算在图形变换中的综合应二阶矩阵的运算在图形变换中的综合应用用【典例典例3 3】在平面直角坐标系中，设圆在平面直角坐标系中，设圆C C：(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2=1=1在在矩阵矩阵 对应的变换下得到曲线对应的变换下得到曲线F F所围成的所围成的面面积积为为4.4.(1)(1)求求k k的值的值.(2)(2)求矩阵求矩阵A的逆矩阵的逆矩阵. .【思路点拨】【思路点拨】 (1)(1)表示出曲线表示出曲线F F的方程的方程

18、, ,根根据所围成图形的面积据所围成图形的面积列关于列关于k k的方程求解的方程求解. .(2)(2)利用矩阵利用矩阵A的行列式可求出的行列式可求出A-1-1. .k0(k0)0kA【规范解答】【规范解答】(1)(1)设设P(x,y)P(x,y)是圆是圆C C上任意一点，点上任意一点，点P(x,y)P(x,y)在矩阵在矩阵A对应的变换下变为点对应的变换下变为点P(x,y),P(x,y), 点点P P在圆在圆C C上，上，xk0 xxkx, y0kyyky,1xx ,k1yy,k 则有，即22xy121,kk曲线曲线F F的方程为的方程为(x-k)(x-k)2 2+(y-2k)+(y-2k)2

19、2=k=k2 2, ,曲线曲线F F是以是以k k为半径的圆，为半径的圆，kk2 2=4.=4.又又k k0,0,k=2.k=2.(2)(2)由由(1)(1)知知110202,4,.02102 AAA【拓展提升】【拓展提升】矩阵的基本运算与解题常规思路的应用矩阵的基本运算与解题常规思路的应用(1)(1)利用变换求矩阵，已知矩阵求其逆矩阵是矩阵中的基本运利用变换求矩阵，已知矩阵求其逆矩阵是矩阵中的基本运算算. .(2)(2)此类题目往往涉及矩阵的乘法、逆矩阵的求法、图形的变此类题目往往涉及矩阵的乘法、逆矩阵的求法、图形的变换等知识，综合考查矩阵的运算及矩阵在图形变换中的应用，换等知识，综合考查矩阵的运算及矩阵在图形变换中的应用，因此要熟悉相关的解题、运算思路