2020中考数学压轴题解析

1、2020中考数学压轴题解析 25.（本题满分12分）问题提出（1）如图（1）,在 Rt 48c 中，乙4cB =90% AC > BC, LACB的平分线交AB于点D,过点D分别作DE 1 46。尸_18（?,垂足分别为分尸,则图（1）中与线段 CE相等的线段是.问题探究（2）如图（2） ,4®是半圆。的直径M6 =8. P是标上一 点,且前二2海，连接 ”,8P.乙APB的平分线交 AB于点C,过点C分别作C£垂足分别为MF,求线段”的长.问题解决(3)如图(3)是某公园内“少儿活动中心”的设计示意 图,已知O。的直径48=70 m,点C在。上，且 CA =CB.

2、P为AB上一点，连接CP并延长，交于 点。，连接AD,BD,过点P分别作PE1AD.PFL BD,垂足分别为E,F,按设计要求，四边形PED尸内 部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余 部分为绿化区.设AP的长为 m,阴影部分的面积 为y nA求y与”之间的函数关系式；按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当”的 长度为30 m时，整体布局比较合理 试求当AP =这道题太长了，推荐同学们将图画在纸上，然后对照看看过程。分析：第一小题根据条件可知四边形EDFC是正方形，所以和CE相等的线段 有3个；第二小题有一个条件为圆弧呈2倍关系,那么可知其对应的圆心角也为 2倍关系，所以如果连接0P那

3、么可得nAOP和nBOP的度数，再稍微一 计算就可以得到nABP是30° ,有30°角的直角三角形，而且斜边AB可 知，那么三个边皆可知,同时结合第一小题的正方形,可得&ACE也是同 形状的三角形，所以AC和BC都能用含CF的式子来表示,列方程可 解；第三小题首先需要得到四边形ADBC的面积和正方形EDFP的面积， 则阴影面积可得；图解答:(1)由CD是角平分线可得nDCE=nCDF又四边形CEDF又四个角都是直角，所以可判定为矩形, 再加上DE=DF ,所以正方形成立,则 CE=DE=DF二CF ;(2 )首先我们连接OP根据弧AP和弧BP的关系,可得nBOP=2

4、nAOP , 所以nBOP=120。，nAOP = 60° ,那么nABP=30°可得，根据AB=8 ,可知 AP=4 , BP=4V3但我们要的不是这些,根据CE/BP可知nACE也是30° ,所以可得CE=ACcos30° ,所以 CF二CE=ACcos300 ,则 BC=2CF=2ACcos30°AB=AC+BC所以 AC + 2AC-cos30° = 8贝AC可彳导,所以CF可得；图(1)图(2)图(3)(3)这一小题首先求阴影部分的面积与AP长度的关系， 根据AB的长度以及ABC为等腰直角可得S-ABc=1225m2那么关键

5、就在于AB下方的阴影面积了我们只知道AP二x m ,而且DC不是角平分线了，则四边形EDFP只是矩 形，不一定是正方形了,是不是这样呢？注意nADC和nBDC所对应的圆弧还是相等的，所以角平分线仍然是成立 的，只不过需要我们自己推导，所以正方形EDFP仍然有,因为这个图示在圆内，所以我们要结合圆的有关性质,/CAP和nADC刚好等弧对等角,再结合nACP为公共角，可得aAPOaDAC ,所以 AP : AD=AC : CD ,同理aBPC - DBC ,可得 BP : BD=BC : CD ,.AB = BC.AP : AD = BP : BD （根据角平分线定理其实可以直接得到）AP=x ,

6、 BP=70-x到这里可能一些同学不知道该如何下手了，难不成再结合勾股定理还能解 出x不成？肯定不行了，因为点D不固定嘛那么既然搞定线段不容易，我们不妨直接来解决面积，APE和aBPF的形状我们知道是相同的,那么它们的面积表达式也是相 似的，假如我们将E到AP的距离和F到PB的距离分别表示出来不就可以得到APE和4BPF的面积了吗这里我们仍然借助锐角三角函数我们知道 PE=AP coszAPE ,那么如果过E做AP的垂线段，可得垂线段长度二PE-sin/APE即 E 到 AP 的距离为 AP sinzAPE coszAPE同理可得F到PB的距离为BP sinzPBF coszPBF那么三角形面

7、积SAPE=0.5APAP-sjnzAPE-coszAPESBPF = 0.5BPBPsinzPBF-coszPBF而nAPE=nPBF ,我们统一用a来表示吧则 SMPE+SaBPF=0.5sirQCOSQ ( AP2 + BP2)= 0.5sinacosa ( 2x2+4900-140x )但是这个a不知道这个时候我们就要利用前面得到的线段比例AP : AD=BP : BD即 x : AD= ( 70-x ) : BD即 AD : BD=x : ( 70-x )而AD : BD不就是tana吗所以 tana=x/ ( 70-x )那么根据这一个三角函数可求出sina , cosa(有些同学

8、可能不会利用锐角三角函数，现阶段只要记住，不管是正弦余 弦还是正切余切，其实就是直角三角形三边比例中,其中两个线段的比 值,只要三边比例不变,那么各个锐角函数都是固定值。等进入高中阶段 学习三角函数时就会明明白白，现在不需要过度去追究why )Sin* 二I则现在可得到sina cosa的值了sina cosa=x ( 70-x ) / ( 2x2+4900-140x )所以 SMPE+SBPF=0.5 x ( 70-x )则阴影部分总面积 y=1225+0.5 x ( 70-x ) =-0.5x2+35x+1225当AP二30m时，可得y=1825m2即阴影部分面积1825m2但是注意题上问的是四边形PEDF ,也就是正方形所以可不要上来就代入30然后感觉搞定了 ,好简单AP = 30 m ,那么 BP=40 m所以 tanzAPE = 3/4所以PE = 2