课题二项式定理通项公式的应用

1、课题：二项式定理通项公式的应用教学目的1 加深对二项式定理通项公式的认识，熟练地运用通项公式求指定项或有关系 数.2 通过对例题的分析、讨论，解答，进一步培养学生抽象思维和分析问题的能 力，以及运算能力.3 进一步渗透转化及方程（组）的数学思想方法.教学重点难点重点：认识通项公式中字母的含义.难点：熟练地运用通项公式.教学模式讲练结合教学过程教学 方法引 入请同学们回忆表示二项式定理的公式：（a 十 b）n= C0 an 十 Cn an-1 十十 C； an-rbr十十 q bn师：其中n是任意自然数，右边的多项式称为（a+b） n的二项展开式，系数 C；（r = 0,l，n）是一组仅与二项式

2、的次数n有关的n十1个组合数，而与a、b无关，因此称为二项式系数而（a十b）n的展开式中指定项系数与a、b是有联系的例如：（1十x）n的展开式第r十1项的系数为Cn，而（1十2x）n的展开式第r十1项的系数为2rCn，（2十x）n的展开式第r十1项的系数为2n_r Cn 概 念 分 析二项展开式的通项 Tr+1 = Crnarbr， （r = 0,1，2，n）是（a十b）n展开式的第r 十1项，而不是第r项其中还要注意下面两点：第一点是a b的位置不能颠倒，即（b十a）n的展开式第r十1项，不是C：anbr，而应为cnbn_rar ;第二点是（a一 b）n的展开式第 r十 1 项为 cnan_

3、r（br）=（-1）C；an_rbr .例 题 讲 解316【例1】 求 （3x -4）的展开式的第4项的二项式系数，并求第四项系数 。2x4解: T4=T3+ 1=c3 （3X3 严（-七）3=-便2x42135所以第4项系数为，二项式系数为20。2注：二项展开式项的系数与二项式系数是两个不同的概念，这两个系数的数值一般情 况下是不相等的，一定要区分所求是哪一种系数.由于二项式中的两项可以交换位置，但（b+a） n与（a+b） n的对应项一般是不相同的，所以更多的题型是求一些指定的、具有某些性质的项.【例2】求（坂一厶）15的展开式中常数项.Vx分析 "- J 的展开式中的常数项，

4、就是展开式中A解 设（3 x 一 ）15展开式中常数项为第r十1项,则 Tr+i彳15丄C；5(3 x)15(-+)r=(-1)rC；5 x 3x的指数为零的项.rx_2= (-1)rG5x令30一5=0解得r= 6,从而可知不含x的项是展开式中的第7项。6所以展开式中常数项为T7= （一 1）6Ci655005.评注根据已知条件求二项展开式中特定的项的问题，往往先根据己知条件或通项 公式，把问题转化为求方程的解，最后再代人通项公式求出问题的解。【例3】求 （x2十3x十2） 5的展开式中x的系数。解法一因为（x2十3x十2） 5= （x2十3x）十25 = （x2十3x）5十c；(x2 +3

5、x)4 '2十 c；(x2 +3x)3 22 十 C；(x2 +3x)2 23十C；(x23x)24 十 C；25，所以x的系数为C；3 24 = 240.解法二 由于(x2十 3x 十 2) 5= x 十 1(x 十 2)5= (x 十 1)5. (x 十 2)5,又（x+1）5的展开式通项为Tr+i= C；X5_r（x十2）5的展开式通项为TK+i = 2kC：x5*r =5或*k =4k =530-5r所求展开式中f的系数为cg4 。；需25 = 240,解法三 因为（X2十3x十2） 5=（ x2十3x十2） （x2十3x十2） （x2十 3x 十 2） （x2 十 3x 十

6、2） （x2 十 3x 十 2）所以（x2十3x十2） 5展开式的各项是由五个因式中各选一项相乘后得到的，那么它的一次项只能从五个因式中的一个取一次项3x，另四个因式中取常数项 2相乘得到，即3x 24= 240x 所以x的系数为240 .2104变式：求（1+X+X ） （ 1-x ）的展开式中，x的系数。（135）1【例4】在（x : -）n的展开式中，已知前三项的系数成等差数列，问这个展开式2坂中是否存在常数项？如果有，求岀常数项，如果没有，求岀展开式的中间项。分析：可以设第 叶1项为常数项，令x的指数得零，求出r就行了 因为二项式的指 数n没有给出来，只能运用方程的思想，找关于n的方程

7、，由已知二项展开式前三项系数成等差数列，转化成代数形式就是关于n的方程，由这个方程应该能求岀 n.这样就转化为例2的类型了n1叮丄1上？ 二解：二项展开式中 工！ =C：x2，T2 =cnxx=，T3 =24n= 1 (舍去)1 1 0 1 2 由已知，2 C：=C0一C：，解得n=8或24设展开式中第 叶1项为常数项，则Tn 二C；( x)8 -X r r = 2C；x 2 x：令 8一一 r,=o，得 r =16 不是243课 堂 小 结整数，故二项展开式中不存在常数项。由n =8知中间项为第5项，所以第5项为35 x。8当二项式给定后，通项公式中含有Tr+1，n，r三个量，一般是已知n，r求Tr+1 （或其系数）当n未知时，运用方程思想，找岀关于n的方程，从而求岀n，将问题转化.通过