位值原理和分解质因数8.5教师版

1、位值原理二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制， 即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字 0和1。 二进制的计数单位分别是 1、21、22、23、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如 100110在二进 制中表示为：(100110) 2=1 X 25+0 X 24+ 0 X 23+1 X 22+1 X 21+0 X 2°。二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注

2、意：对于任意自然数n,我们有n°=1。n进制：n进制的运算法则是“逢 n进一，彳t一当n"，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后 加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。进制间的转换：如右图所示。即Ml咚 例题精讲模块一、位置原理【例1】某三位数abc和它的反序数 丽 的差被99除，商等于 与 的差;【解析】 本题属于基础型题型。我们不妨设a>b>co(abc- Cba) + 99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)+ 99=(99a-99c) + 99=a-c ;【例2】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字

3、加以交换，得到一个新的两位数.如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】设原来的两位数为ab,交换后的新的两位数为面，根据题意，ab ba (10a b) (10b a) 9(a b) 45, a b 5 ,原两位数最大时，十位数字至多为9,即a 9, b 4 ,原来的两位数中最大的是94.【例3】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位 数的和是1554,那么这3个数字分别是多少？【解析】 设这六个不同的三位数为 abc,acb,bac,bca,cab,cba ,因为 abc 100a 10b c, a

4、cb 100a 10c b ,它们的和是： 222 (a b c) 1554,所 以a b c 1554 222 7 ,由于这三个数字互不相同且均不为0,所以这三个数中较小的两个数至少为1,2,而7 (1 2) 4,所以最大的数最大为 4;又1 2 3 6 7,所以最大的数大于3, 所以最大的数为 4,其他两数分别是1,2.【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成 6个不同的三位数， 这6个三位数的和是 2886,求所有这样的6 个三位数中最小的三位数.【解析】 设三个数字分别为 a、b、c,那么6个不同的三位数的和为：abc acb bac bca cab cba 2(a b c) 100 2

5、(a b c) 10 2(a b c) 222 (a b c) 所以a b c 2886 222 13 ,最小的三位数的百位数应为1,十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9,此时十位数为13 1 9 3,所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139 .【例4】 在两位自然数的十位与个位中间插入09中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。【解析】因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。如果个位数是0,那么无论插入什么数，得到

6、的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是 5。设原两位数是 ab,则b=5,变成的三位数为 ab5,由题意有 100a+10b + 5= ( 10a+ 5) x 9,化 简得a+b= 4。变成的三位数只能是 405, 315, 225, 135。【巩固】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑 上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换 所得的三位数。【解析】 设第一个2位数为10a+b;第二个为10b+a ;第三个为10

7、0a+b ;由题意：(100a+b)- (10b+a) =(10b+a)-110a+b);化简可以推得 b=6a, 0< a,b < 9,得 a=1, b=6;即每小时走 61-16=45 ;(601-106) +45=11;再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所 得的三位数。【巩固】 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数.现有一个四位数码互不相同，且没 有0的四位数M ,它比新数中最大的小 3834,比新数中最小的大 4338.求这个四位数.【解析】 设组成这个四位数的四个数码为a,b,c,d(9abcd1),则有 abcd dcba

8、3834 4338 8172 ,可得 999(a d) 90 (b c) 8172 7992 180,则 ad 8,bc2,a9,d 1 , M 1cb9 4338 ,且 M的四位数字分别为 1、c、b、9, 由于8 9 17的个位数字为7,所以b,c中有一个为7,但b c 2 ,所以c不能为7,故b 7 , c 5, M 1579 4338 5917 .【例 5 已知 abcd abc ab a 1370，求 abcd .【解析】 原式：1111a+ 111b+11c+d = 1370,所以 a= 1,贝U 111b+ 11c + d= 1370-1111 = 259,推知 b=2;进而推知

9、 c=3, d=4 所以 abcd =1234。【巩固】(2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008,则所有这样的四位数之和为多少.【解析】设这样的四位数为 abcd ,贝U abcd abcd 2008,即1001a 101b 11c 2d 2008 ,则a 1 或2.若 a 2,贝 U 101b 11c 2d 6,得 b c 0, d 3, abcd 2003;若 a 1 ,则 101b 11c 2d 1007 , 由于 11c 2d 11 9 2 9 117 ,所以 101b 1007 117 890 ,所以 b 8,故 b为 9, 11c 2d 1007

10、909 98 ,则 c 为偶数，且 11c 98 2 9 80 ,故 c 7 ,由 c 为偶数知 c 8 , d 5 , abcd 1985 ； 所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：2003 1985 3988.【例6】 有一个两位数，如果把数码 3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3,则可得到一个四位数.将这两个三位数和一个四位数相加等于3600 .求原来的两位数.【解析】设原来的两位数是0b ,则得到的两个三位数分别为通和藐，四位数为 藐3 ,由题知ab3 3ab 3ab3 3600,即 10 ab

11、 3 300 ab 3003 10 ab 3600 , 21 ab 294,故瓦 14.【巩固】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加 A1111,这里A表示一个看不清的数码，求这 个数和A。【解析】 设这个数为x,则10x+5-x= A1111,化简得9x= A1106 ,等号右边是9的倍数，试验可得A=1,x=1234。【巩固】 某八位数形如2abcdefg ,它与3的乘积形如abcdefg4 ,则七位数abcdefg应是多少?【解析】 设 abcdefg x,则 2abcdefg 2 107 x, abcdefg4 10x 4,根据题意，有 2 107 x 3 10x 4, 得 7

12、x 6 107 4 59999996,所以 x 8571428.模块二、数的进制【例 7 】 (101)2 (1011)2 (11011)2 ；(11000111) 2 (10101)2 (1。2() 2 ；(3021)4 (605)7()10；(63121)8 (1247)8 (16034)8 (26531)8 (1744)8 ; 若(1030)n 140,则 n .【解析】 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制：(101)2 (1011)2 (11011)2 (5)10 (11)0 (27)10(28)10 (11100)10；可转化成十进制来计算

13、：(11000111)2 (10101) 2 (1。2 (199)10 (21)10 (3)10 (192)10 (11000000)2；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对(10101) 2 (11) 2进行除法计算，只是每次借位都是 2,可得(11000111 2 (10101 2 (11) 2 (1100011。2 (111) 2 (11000000) 2； 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下.统一到十进制比较适宜： 32(3021)4 (605)7 (3 42 4 1)10 (6 75)1。 (500)1°十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互

14、补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n .原式(63121)8 (1247)8 (26531)8 (16034)8 (1744)8(63121)8 (30000)8 (20000)8(13121)8 ；若(1030)n 140,则n3 3n 140,经试验可得n 5.【巩固】567 () 8() 5() 2 ；在八进制中，1234 456 322 ;在九进制中，14438 3123 7120 11770 5766 .【解析】本题是进制的直接转化：567 (1067” (4232) 5 (1000110111) 2；原式 1234 (456 322

15、) 1234 1000 234;原式 14438 (3123 5766) (7120 11770) 14438 10000 20000 4438 .【例8】在几进制中有4 13 100?【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于(4)10 (3)10 (12)10,由于式中为100,尾数为0,也就是说已经将12全部进到上一位.所以说进位制n为12的约数，也就是12, 6, 4, 3, 2中的一个.但是式子中出现了 4,所以n要比4大，不可能是4, 3, 2进制.另外，由于(4)10 (13)10 (52)10 ,因为52 100,也就是说不到10就已经进位，才能是100,于是知道n 10,那么n

16、不能是12.所以，n只能是6.【巩固】在几进制中有125 125 16324 ?【解析】 注意(125)10 (125)10 (15625)10 ,因为15625 16324 ,所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324,所以 n 10 .再注意尾数分析，(5)10 (5)10 (25)10 ,而16324的末位为4,于是25 4 21进到上一位.所以说进位制n为21的约数，又小于10,也就是可能为 7或3.因为出现了 6,所以n只能是7.分解质因数本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另 一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。

17、质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难 点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前 的一些知识点结合运用。分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运 用。日twi里 知识点拨1 .质数与合数一个数除了 1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了 1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、7

18、9、83、89、97,共计25个；除了 2其余的质数都是奇数；除了 2和5,其余的质数个位数 字只能是1, 3, 7或9.考点：值得注意的是很多题都会以质数 2的特殊性为考点. 除了 2和5,其余质数个位数字只能是1, 3, 7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意 .2 .质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数互质数：公约数只有 1的两个自然数，叫做互质数 .分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数例如：30 2 3 5.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12 2 2 3 22 3, 2、3者B叫做12的质因 数，其

19、中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标 准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征3 .唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积， 即：n p：1 p；2 p；3 L p；k其中为质数，aa? L L ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.分析：210=2X3X5X7, 可知这三个数是 5、6和7.4 .部分特殊数的分解111 3 37; 1001 7 11 13; 11111 41 271; 10001 73 137; 1

20、995 3 5 7 19; 1998 2 3 3 3 37; 2007 3 3 223; 2008 2 2 2 251; 10101 3 7 13 37.5 .判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q能够整除p,那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于 p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p,我们可以先 找一个大于且接近 p的平方数K2,再列出所有不大于 K的质数，用这些质数去除p,如没有能够除尽的那 么p就为质数.例如：149很接近144 12 12 ,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数. 且

21、业睢例题精讲模块一、质数合数的基本概念的应用【例1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌.请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为156号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话.【解析】按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

22、25 26 27 28九天九霄志凌云，九七共庆手相握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌.43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山.【巩固】（2004年全国小学奥林匹克）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【解析】 这样的自然数有4个：23, 37, 53, 73.【例2】两个质数之和为39,求这两个质数的乘积是多少 .【解析】因为和为奇数，所以这两个数必

23、为一奇一偶，所以其中一个是2,另一个是37,乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。【巩固】已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？【解析】 最小的合数是4,其平方为16.我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3个质数中必然有 2,那么其余2个的和是14,只能一个是3一个是11,因此这3个质数的乘积是2 3 11 66.【巩固】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数.同时，她感到这个号码很容易 记住，因为它的形式为 薪，其中a b ,而且ab和ba都是质数（a和b是两个数字）.具有这种 形式的数共有多少个？【巩固】 若两位数ab、ba均为质数，则

24、a、b均为奇数且不为5,故有1331, 3113, 1771, 7117, 7337, 3773, 9779, 7997 共 8 个数.【巩固】（俄罗斯数学奥林匹克）万尼亚想了一个三位质数， 各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【解析】因为是质数所以个位数不可能为偶数0,2,4,6,8也不可能是奇数5.如果末位数字是3或9,那么数字和就将是 3或9的两倍，因而能被它们整除， 这就不是质数了.所以个位数只能是 7.这 个三位质数可以是 167, 257, 347, 527或617中间的任一个.【巩固】【解析】（全国小学数学奥林匹克）从19中选出8个数排成一个圆圈，使

25、得相邻的两数之和都是质数. 排 好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？由于质数除了 2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列.切开后的数仍然具 有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件， 最高位选9,第二位选8,第三位最大可以选 7,但7与8之和不是质数，再改选 5, 8与5之和 是质数，符合要求.第四位可选剩余的最大数字6,如此类推十位可选 3,个位选2.所以，可以读到的最大数是 98567432.数字排列如下图.【巩固】【解析】【例3】 【解析】【巩固】 【解析】例4 【解析】例5 【

26、解析】（保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）用L表示所有被3除余1的全体正整数.如果 L中的数（1不算）除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L质数”.问：第8个“L质数” 是什么？“L 数”为 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34,."L质数”应为上列数中去掉 1, 16, 28,，即为 4, 7, 10, 13, 19, 22, 25, 31, 34,.所以，第 8 个 “ L质数” 是31.9个连续的自然数，每个数都大于80,那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组我们知道任意连续9个自然数中最多有 4个质数，本题考

27、察对100以外的质数的熟练情况，有101, 103, 107, 109 是 4个质数。从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12.这样的数有几组？考虑到质数中除了 2以外其余都是奇数，因此这 5个质数中不可能有 2;又质数中除了 2和5, 其余质数的个位数字只能是1、3、7、9.若这5个质数中最小的数其个位数字为1,则比它大24的数个位即为5,不可能是质数；若最小的数其个位数字为3,则比它大12的数个位即为5,也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9,因此最小的数只能是 5,这5个数依次是5, 17, 29, 41, 53.这样的数只有一组.用1, 2, 3, 4, 5

28、, 6, 7, 8, 9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次， 那么这9个数字最多能组成多少个质数 .要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数， 有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、 6、8、9这5个不是质数的数字未用.有 1、4、8、9可以组成质数41、89,而6可以与7组合 成质数67.所以这9个数字最多可以组成 6个质数。7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么 d是多少？因为7个质数的和是偶数， 所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有 2,因此 这7个质数中必有一个是 2.又因为2是最小的质数，并且这7个

29、连续质数是从大到小排列的，所以g 2 .其他6个数从大到小依次是 17、13、11、7、5、3.这样d 7.例6 【解析】【解析】模块二、【例7】 【解析】【例8】【解析】将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少最大的质数必大于 5,否则10个质数之和将不大于 50,又60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8个7与2个2的和为60,故其中最大的质数是 7.分解质因数两个连续奇数的乘积是 111555,这两个奇数之和是多少 ？111555分解质因数：111555 3 3 5 37 67 ( 3 3 37) ( 5 67) 333 335,所以和为 668

30、.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111 3 37。在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少 ？如下图，设长、宽、高依次为a、b、c,有正面和上面的和为ac+ab=209.ac+ab=a x (c+b)=209 ,而 209=11 X 19.2,则 c+b=2+17;当a=11时，c+b=19,当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数 当a=19时，c+b=11,则c+b=2+9, b为9不是质数，所以不满足题意.所以它们的乘积为11X 2X 17=374.【巩固】【解析】一个长方体

31、的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是 39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米 ？39270=2X3X 5X 7X 11 X 17,为三个连续自然数的乘积，而 34X 34X34最接近39270 , 39270的 约数中接近或等于 34的有35、34、33,有33X 34X35=39270.所以33、34、35为满足题意的 长、宽、高.则长方体的表面积为：2X(长 X 宽+宽 X 高 +高 X 长)=2 X (33 X 34+34 X 35+35 X 33)=6934(平方厘米).方法二：39270=2X 3X 5X 7X 11 X 17,为三个连续自然数的乘积，考虑质因

32、数 17,如果17作为 长、宽或高显然不满足.当 17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质 因数7,与34接近的数3236中，只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长 度.而39270的质因数中只剩下了 3和11 ,所以这个长方体的大小为33X 34X 35.长方体的表面积为 2X( 39270+39270 +39270 )=2 二(1190+1155+1122)=2 X 3467=6934(平方厘米).333435例9 【解析】甲数比乙数大5,乙数比丙数大5,三个数的乘积是 6384,求这三个数？将6384分解质因数，6384 2 2 2 2 3 7 19,则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算， 19 5 14 2 7, 19 5 24 2 2 2 3,恰好 14 19 24 6384,所以这三个数即为 14,19, 24. 一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑38,再下一个该考虑 57,依此类推.模块三、质数合数综合型题目例10 P是质数，P 10, P 14, P【解析由题意知P是一个奇数，因为102 .10都是质数.求P是多少？3 3L 1 , 14 3 4L 2,所以P是3的倍数，所以P【巩固】1已知P是质数，P2 1也是质数，求P5 1997是多少