重点中学理科实验班高一招生数学试题

1、重点中学理科实验班高一招生数学试题试题卷部分考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题 5分，满分40分。以下每小题均给出了代号为 A, B, C, D的四个 选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分。）1、已知实数a、b、c满足a b c ，bA、 0B、 162、如图，DDEFG内接于 ABC,已知4 J5 2a 0 ,那么ab bc的值为（）C、 16D、 32KADE、EFC、D/ 1 EDBG的面积为A、273B、C、33、在物理实验课上， 直至铁块元仝露出水回起的高度x （单位cmf =s 三逅1Aw第3题图1、3、1

2、,那么 DDEFG 的面积为（：/3GFC2D、4小明用弹簧称将铁块 A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，T高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N）与铁块被提】）之间的函数关系的大致图象是（）三jF（cm） *1（5）-*l（cm）-*1 （cm）AB CD4、已知四边形Si的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结&各边中点得四边形 S2,顺次连结S2各边中点得四边形S3,以此类推，则S2006为（A.是矩形但不是菱形;B.形但不是矩形;C.既是菱形又是矩形;D.既非矩形又非菱形5、方程（x2x 1）x 3 1的所有整数解的个数是（D. 2个6、如图，已知等边 ABC外有一点P,

3、P落在 ABC内，设P至ij BC、CA、AB的距离分别为h1, h2, h3,满足h1h2h36，那么等边 ABC的面积为（A.4.3B.8点C.9.3D.12.37、若且有7x22009x 13一 20 及 13y第6题图 x2009 y 7 0 ,则一 y的值是13A.17B.13C.20092009D.138、x、y为实数，则使(x2xy)/ 2 c(x2y）成立的最大常数B.2二、填空题（每小题C.D.-1共36分）对于正数x,规定f (x)x -，例如f (3)1 x(-)=3131 13计算f2006)+ f( 2005)+ f( 2004)+-f (-) + f3f (2)f

4、(3) + + f (2004 ) + f (2005 ) + f (2006 )=2、函数y= Vx24x5 xx 4x 8的最小值是3、如图，在 RtzXABC 中，/C 90°, AC 4, BC 2,分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积.（结果保留 ）24、已知二次函数 y a（a 1）x（2a 1）x 1 （a 0）的图像顶点为A,与x轴交点为B、C,则tan /ABC5、如图，4ABC 内接于。O, BC = a, CA = b, ZA-ZB =则。O的半径为o6、如果三位数abc (表示百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c的三位数，且满足b <a

5、或bvc,则称这个三位数为 “凹数”。那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数” 的概率是三、解答题(共 6 题，10+10+13+13+15+15=74 分)15、已知关于x的方程x2 x a a2 0和x2 (3a 1)x (2a 1)(a 2) 0。问是否存在这样的 a值，使得第一个方程的两实根的平方和等于第二个方程的一个整数根？若 存在，求出这样的a值；若不存在，请说明理由。16、已知：在矩形 AOBC中，OB 4, OA 3.分别以OB, OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个动点(不与 B, C重合)，过Fk点的反比例函数 y (k 0)的图

6、象与 AC边交于点E . x(1)求证：zAOE与ABOF的面积相等;(2)记S SAoef Saecf ,求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少?第16题图1 2217、已知抛物线 y x 3mx 18m m与 x 轴交于 A(x,0), B(x2,0) (x1 x2) 8两点，与y轴交于点C (0, b), O为原点.(1 )求m的取值范围；41 一一一(2)若m 且OA+OB=3OC ,求抛物线的解析式及 A、B、C的坐标.18(3)在(2)的情形下，点 P、Q分别从A、O两点同时出发以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，联结PQ与BC交于M ,设AP=k ,问是否存在 k,使以P、B

7、、M为顶点的三角形与/ ABC相似.若存在，求所有的k值，若不存在说明理由.18、如图，凸四边形 ABCD内接于。O, AD=BC=90求证：四边形ABCD面积为一完全平方数。,AB+CD为一偶数。第5题图19、若干个 1 与 2 排成一行：1, 2, 1 , 2, 2, 1 , 2, 2, 2, 1 , 2,-,规则是：第1个数是1 ,第2个数是2,第3个数是1, 一般地，先写一行1 ,再在第k个1与第k+1个1之间插入k个2 (k=1,23-).试问：(1)第2006个数是1还是2?(2)前2006个数的和是多少？前 2006个数的平方和是多少？(3)前2006个数两两乘积的和是多少？22

8、0、已知二次函数 y x 2mx 1。记当x c时，函数值为yc,那么，是否存在实数m,使得对于满足 0 x 1的任意实数a, b ,总有 yyb 1 o数学素质测试试题参考答案及评分标准一、选择题1、（C）a b c 0,b 4 0,5 2a 0.5 .，,、a -,b4, b(a c).2-1 ab bc b(a c) 16.2、（D）如图，过点A作AO / DG交于BC于点O,则 S DBGS AOBS EFCS EFCS DGBS AOCS AOBS AOC有 S AOB1sS ABC43s, S ABC4S AOCDEBCFC BGOC OB即 SEFC,S AOC由+得 S DBG

9、S AOBFC BGBCv'S EFC3S一4 S ABCS DBG.1 11 S；4S ABC于是 Sa ABC = 9 ,故 S 口 DEFG =9 -3、(C)4、(B)5、(C)6、(D)7、(A)(1+3+1) = 48、(A)令 x=y=1 ,贝U122 时，(x2xy)22(X y )2y 2xy=(xy)2 0故使原不等式成立的最大常数为二、填空题1、20062、3、4、5.54212如图，设二次函数的图像与x轴交于两点，B(Xi,0),C(X2,0)因 a(a 1)x2(2a1)x 1即(ax 1)( a1)x1a>0,故 x11-7,x2所以BC二?BD12a

10、(a 1)又顶点A(2a2a(a 1)4a(a 1),即 AD4a(a 1)1故 tan ABC tan ABD4a(a 1)1122a(a 1)5、La2 b22如图，连结CO交。于D. / ABD=90° +/ B而/A=90° +/BABD=/A即 C DBA CD ' A CB D故 AC BD b,CD J0F2OO 的半径为 1JO"一26、1960三、解答题22_ 一,15、第一个方程x x a a 0,即有(x a)(x 1 a) 0x1a,x2 a 1.故 x12 x2 a2 (a 1)2 2a2 2a 1由第二方 x2 (3a 1)x

11、(2a 1)(a 2) 0,得x (2a 1)x (a 2) 0x3 2a 1, x4 a 22若x3为整数，则2a 2a 1 2a 1 ,解得a 0或2,此时x3 1或5若x4为整数，则2a2 2a 1 a 2 ,即2a2 3a 3 0 ,此方程无有理根综上可知，当a 0或2时，第一个方程的两个实数根的平方和等于第二个方程的一个 整数根。16、解：(1)设 e(Xi, Vi)， F(x2, y2), AOE与AFOB的面积分别为S2,由题意得y1, y2区.x1X2_11 ,1S-x1y1-k , S2 -X2V2222 2Si S2,即AAOE与AFOB的面积相等.（2）由题意知：E, F

12、两点坐标分别为kE _,33c1 1SA ECFEC gCF -224 1k31k 4SA EOFS矩形AOBC& AOE SA BOF12SSAOEFSA ECF12k2Saecf121k 21 k3k44S112k2 k .当 k1212S有最大值Smin11217、解：（1）利用判别式0解得m（2）注意条件1-m. 一 可得18m18从而218m0,所有XX2218m m218(18m8m)0,x1X23m 24m 01X1x20所以满足条件的抛物线图象如图所示依题意(x1 x2) 3b 24m3b,而218mb,所以有_ 218m2m 8m,解得m 0（舍去）从而y-X183

13、x23x 4为所求的抛物线解析式24 0得 A (-8 , 0)、B (-4 , 0)、C (0, 4) (8 分)(3) NPBMWNABCffi似有两种情况:1)当 PQ/ AG AP=OQ=k 由AOPOCOQO '得-8- 4,解得k 88 k k32）当PQ与AC不平行，设有/过B作AC的垂线，垂足为 D,ACB=/ MPBQAB0利用sin a BD CO ,求得BD=4叵AB AC由 RtCDBs Rt 力 POQBD则有E上OQ4.5PC，即1. ：8 k)2 '化简得.2k 2k 8 0,解得k 4或k 2,但由CQ=4-k,知0<k<4,所以只有

14、k=2 ,综上81) 2)所求的k值是k 一或k=2.318、证法1 :=，=AB / DC, ABCD为梯形。过 O作MN，AB于M交CD于N,易知MNLCD于N,由垂径定理知 M为AB中点，N为CD中点，连结 OA、OD。. /AOD=90° , . AOM=90-Z DON=/ODN,从而有1八一1Rt AOM Rt ODN OM DNCD.ON AM AB2一 一 1， 一MN OM ON -(AB CD) 2-1- Sabcd -(AB CD)MN1 八1 八-(AB CD)-(AB CD)122(AB CD)2.AB+CD为偶数，SAbcd必是完全平方数。证法2:连结OA

15、、OB、OC、OD,设。O半径为R,/COD=a,易知/ AOB=180° a。于是SABCDS AODA BOC S COD S AOB1 _21 _21_21_2a)-R2 -R2 R2sina R2sin(1802222_2_ 2RR sin a延长AO交。于K,连结BK易证 BOK COD BK CD, BOK COD a ,在 RtAABK 中，22222222122 一AB2 BK2 AK2 4R2 即 AB2 CD2 4R2,R2 -(AB2 CD2)又 AB?BK 2Sabk AK?BOsina 2R2sin a1即 AB?CD 2R2sin a, R2 sin a

16、- AB?CD2将、代入c1221- SABCD -(AB2 CD2) - AB?CD122-(AB2 CD2 2AB?CD)12-(AB CD)、当对称轴x m, 0 m 1时，由图像可知 x m时，y最小且y最小1 m ,这12/AB CD)2.AB+CD为一偶数证法?国-1 SABCD必是完全平方数(1)19、把该列数如下分组:1第1组2 1第2组22 1第3组2221第4组22221第5组易得，第2006个数为第(2)前2006个数的和为62+194463组，第53个数，为2 =3950,2；前2006个数的平方和是:62 121950_ 227862(3)记这2006个数为a1, a2,L, a2006a12a1a2a2 L2a2006a262200639502-_2:11950 27862ai %L aa2006a2a3a2a4a2 a2006L a2005 a20062S (a1 a2 La2006 )(a2