初二数学辅助线专题

1、辅助线专题常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的 “平移”或“翻转折叠”5) 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用

2、三角形面积的知识解答作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转 180度，得到全等形， ，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角 的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度， 就可以得到全等形， 这时辅助线的做

3、法仍会应运而生。 其对称中心， 因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四：面积找底高，多边变三边。如遇求面积， （在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积） ，往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。五、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目构造全等三角形几种方法一、延长中线构造全等三角形例1.如图1, AD是4ABC的中线，求证：AB+ AG2AD二、

4、沿角平分线翻折构造全等三角形例 2.如图 3,在 ABC中，/1 = /2, Z ABC 2/。求证：AB+ BA AG三、作平行线构造全等三角形例3.如图5, ZXABC中，AB= AG E是AB上异于A、8的任意一点，延长 AC到D,使CD= BE,连接DE交BC于F。求证：EF= FD=四、作垂线构造全等三角形例4.如图7,在4ABC中，ZBAC= 90 , AB= AG M是AC边的中点。ADLBM交BC于D,交 BMT E。求证：/ AMB= / DMC五、沿高线翻折构造全等三角形例 5.如图 9,在 4ABC 中，ADL BC于 D, / BAA / CAD 求证：AB AC六、绕

5、点旋转构造全等三角形例6.如图11,正方形ABCDfr, /1 = /2, Q在DC上，P在BC上。求证：PA= PB+ DQ例7.如图，四边形 ABCDt, / BADW BCD=90AB=AD若四边形ABCD勺面积是24cm.则AC长是cm.8.如图，两个边长相等的两个正方形 ABC前OEFG若将正方形OEFGg点。按逆时针方向旋转150 ,两个正方形的重叠部分四边形 OMCNJ面积（）A.不变B .先增大再减小 C .先减小再增大 D .不断增大ADGMC七、截长法与补短法，例 7:如图甲，AD/ BQ 点 E在线段 AB上，/ADE=/CDR / DC=/ ECB求证：CDAD+BG练

6、习12. (4分)如图，已知 ABC, /ABC=90 , AB=BC三角形的顶点在相互平行的三条直线l i, 12, 13上，且li, 12之间的距离为1, 12, 13之间的距离为3,则点B至IJAC的距离是( )A. 5B.C.D.考 全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形.点 八、专计算题.题：分 过A作ADL %于D,过B作BF, AC于F,过C作CEL %于E,则BF的长就析：是点BU AC的距离，根据AAS证ADABizEBC求出BE=3根据勾股定理求出BG AR AG根据三角形的面积即可求出答案.解:过A作ADL %于D,过B作BF AC于F,过C作CEL %于E,则

7、BF的长就是点B到AC的距离,.ADL I3, CE! I3, ./ADBW ABCW CEB=90 , /DAB廿 ABD=90 , / ABD廿 CBE=90 , ./ DABW CBE在ADA出口 zEBC中/DAB :/EEC，ZADB=ZBEC , lAB=BC. .DA军 AEBC .AD=BE=3 ，CE=3+1=4在 CEB中，由勾股定理得：AB=BC=5 AC=52,由三角形的面积公式得：SaabcU；ABX BC亍ACX BF,即 5X5=5 . BF,即BF考,故选C.点 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰直角三角形,评：勾股定理等知识点的应用，关键是正

8、确作辅助线后能求出的长，主要考查了学生的推理能力和计算能力.BE AB BG AC18. （4分）如图，过边长为1的等边 ABC勺边AB上一点P,彳PH AC于E, Q为BC延 长线上一点，当PA=CQ寸，连P AC边于D,则DE的长为.-2-考等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.点 八、专压轴题.题：分 过P作PF/ BC交AC于F,得出等边三角形 APF5推出AP=PF=QC根据等析： 腰三角形性质求出EF=AE证APFtDzQCD推出FD=CD推出DE=AC即可.解 解：过P作PF/ BC交AC于F.答： . PF/ BG ABC是等边三角形， / PFDW QCD APF是

9、等边三角形，.ap=pf=a f,.PEI AG .AE=EF.AP=PF AP=CQ.PF=CQ 在 4PFD 和QCg,Npfd/cd ZPDF=ZQDC, tPF=CQ .PFD AQCD( AAS , .FD=CD.AE=EFEF+FD=AE+CD,AE+CD=DE=C,二. AC=1 DE%故答案为:12,18.如图，在AABC中,BC=2/, /ABC=45 =2/ ECB BDLCD M (2BD 2= 16-8/2【考点】勾股定理.【分析】延长BD至F,使得DF=BD连结CF交AB于G根据中垂线的性质和等腰直角三 角形的判定和性质得到 CF=2/1, BG=CG=2根据线段的和

10、差求得FG=2-2,在RQBGF中，根据勾股定理即可求解.【解答】解：延长BD至F,使得DF=BD连结CF交AB于G.,. BDL CD DF=BD.CF=CB=22, /DCFW ecbvZ ABC=45 =2/ ECB丁. / BCG=45 , . BCGg等腰直角三角形, ,.BC=2/2,k/2BG=CG= BC=Z . FG=2/2-2,在 RtzXBGF中，(2BD 2=B=bG+fG=22+ (2/2-2) 2=16-8a.故答案为：16-8.【点评】考查了勾股定理，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，本题关键是作 出辅助线构造直角三角形，难度较大.24 .正方形ABCm，

11、E点为BC中点，连接AE,过B点作BFAE,交CD于F点，交AE于G点，连结GD过A点作AHLGD交GDT H点.(1)求证： AB陷ABCF（2）若正方形边长为4, AH=16,求AGD勺面积.525 .证明：（1）正方形 ABCDK /ABE=90 ,/1+/ 2=90 ,又 AE! BF,. /3+/ 2=90 ,贝U/1=/3（2 分）又二四边形ABC时正方形，丁 / ABEW B CF=90 , AB=BC在4ABE和4BCF中，13AB BC.AB昭 BCF（ASA）（5 分）ABE BCF（2）延长BF交AD延长线于M点，MDF=90（6分）由（1）知4AB草ABCF -CF=B

12、EVE 点是 BC中点，. BE=1BG 即 CF=1CD=FD22在BCFffi AMD叶，BCF MDFCF DF.BC/ AMDF（ASA）BFCM FDBC=DM 即 DM=AD D是 AMfr 点（8分）又AGLGM即 AG岫直角三角形，一1- .GD!AM=AD 2又正方形边长为4, a GD=4八1 116 32S AAG=一 GD- AH=1 X4X =32 22551、在 ABC中，AB=AC D为射线BC上一点，DB=DA E为射线AD上一点，且 AE=C瞳接BE (1)如图2,若BE=2CD连接CE并延长，交AB于点F,求证：CE=2EF.(2)如图3, 若BE!AR垂足

13、为点E,求证：AE2 1 BE2 1AD2 4424.如图 1, ABCt, BE!AC于点 E, ADLBC于点 D,连接(1)若 AB=BC DE=1 BE=3 求 ABC的周长；(2)如图2,若AB=BC AD=BD / ADB的角平分线DF交BE于点F,求证：BF吏DE(3)如图3,若AABG AD=BD将ADC&着AC翻折得到 AGC连接DG EG请猜想 线段AE、BE DG之间的数量关系，并证明你的结论.【分析】(1)由直角三角形斜边上的中线性质得出 DE=AC=AE AC=2DE=2 AE=1,由勾股定理求出AB,得出BC,即可得出结果;(2)连接AF,由等腰三角形的性质得出/

14、3=/4,证出4AB皿等腰直角三角形，得出/ DABW DBA=45 , 7 3=22.5 ,由 ASAffi明4AD图 BDF 得出 AF=BF Z 2=7 3=22.5 , 证出AH是等腰直角三角形，得出AF=AE,即可得出结论；(3)彳DHL DE交BE于H,先证明 AD隼 BDH得出DH=DE AE=BH证出 DH式等腰 直角三角形，得出/ DEH=45, / 3=45 ,由翻折的性质得出 DE=GE / 3=/ 4=45 ,证 出DH=GE DH/ GE证出四边形DHEG1平行四边形，得出DG=EH即可得出结论.【解答】(1)解：如图1所示：VAB=BC BE! AGAE=CE /A

15、EB=90 ,v ADI BC,丁. / ADC=90 ,DE=AC=AEAC=2DE= 2 AE=1,AB=/i24-32=/10, BC匹， .ABC的周 =AB+BC+AC=2 +2;(2)证明：连接AF,如图2所示： vAB=BC BE! AG/ 3=/ 4,vZ ADC=90 , AD=BD . AB皿等腰直角三角形,丁 / DABW DBA=45 ,.Z 3=22.5 ,./1+/ C=Z 3+Z C=90 , /1=/ 3=22.5 ,v DF平分 / ABD ./ADFWBDF在AADF和ABDF中，产BDZadf=Zbdf ,. .AD/ABDI3(SAS , AF=BF Z

16、 2=7 3=22.5 :.二/EAF玄 1+/ 2=45 , .AEF是等腰直角三角形,AF= =AE,v DE=AE. BF= :DE;(3)解：BE=DG+AE理由如下:作DHL DEX BE于H,如图3所示:. BE!AC, ADL BC,. / 1+/ ACD=2+/ACD=90 ,/ 1=/2,丁. / ADE=90 - / ADH= BDH在 AADE和BDHfr,Z1=Z2止BD,Zade=Zbdh. .AD陷ABDH(ASA ，DH=DE AE=BH.DHE等腰直角三角形,丁. / DEH=45 , / 3=90 - / DEH=45 ,.ACDS 折至 ACG . DE=GE/3=/4