高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数

1、号函数【知识梳理】（1） 函数的概念般地，函数y= x叫做哥函数.其中x是自变量，”是常数.2.常见募函数的图象与性质解析式y= x2y= x3y = x1y=一 x x1y= x2图象*w生定义域RRRx|x W00 , 十0°L值域R0 , +8：)_Ry|y w。0 , 十0°L奇偶性电！数画函数电！数直函数非奇非偶函数单调性在（一0°, 十°°）上单调;iJL在（一00, 0 上单调递减, 在（0 , +°° 上单调递增)在（一0°, 十°°）上单调整 增在（00,（ 上单调递减, 在（

2、0 , +°° 上单调递减)在0 , + 0c上单调递增)定点(1,1)3.募函数的性质（1）所有的哥函数在区间（0, +00）上都有定义，并且图象都过点（1,1）.（2） a>0时，哥函数的图象通过原点，并且在区间0, +8）上是增函数.特别地，当”>1时，哥函数的图象下凸；当0<a<1时，哥函数的图象上凸.（3） a <0时，哥函数的图象在区间（0, +8）上是减函数.在第一象限内，当 X从右边趋向 原点时，图象在 y轴右方无限地逼近 y轴正半轴；当x趋于+ 8时，图象在 x轴上方无限地逼 近x轴正半轴.【常考题型】题型一、幕函数的概念x（

3、4） 】下列函数：y= x3;、= -;y= 4x2;y= x5+1;y=（x1）2;2丫:*;y= ax（a>1）.其中哥函数的个数为（B. 2A. 1C. 3D. 42(2)已知哥函数y= m2 m 1 xm 2m3,求此募函数的解析式，并指出定义域.(1)解析为指数函数，中系数不是1,中解析式为多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是哥函数，故选 B.答案B2(2)解-y= m m 1 x为募函数，2 m- 1 = 1,解得 m= 2 或 m= 1.当 m= 2 时，m2 2m- 3= 3,则 y= x 3*,且有 xw0;当 m= 1 时，n2 2m- 3 = 0,则 y=x,

4、且有 xw0.故所求募函数的解析式为 y = x 3, x|x w。或y=x°, x|x w。.【类题通法】判断一个函数是否为募函数的方法判断一个函数是否为募函数的依据是该函数是否为y=x (“为常数)的形式，即函数的解析式为一个哥的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为募函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件.【对点训练】2函数f(x) = m m 1 x是募函数，且当xe(。，)时，f(x)是增函数，求f(x) 的解析式.解：根据哥函数的定义得2m m 1 = 1.解得 m= 2 或 m= 1.当m= 2时，

5、f(x) = x3在(0 , 十0°)上是增函数；当m= - 1时，f(x) = x 3在(0 ,+8)上是减函数，不符合要求.故 f(x) = x3.题型二、幕函数的图象【例2】(1)如图，图中曲线是募函数y= x在第一象限的大致图象，已知 a取一2,的a的值依次为(1 1 一“ c 11 CA. 2，2，21B. 2, 2,2 ,2四个值，则相应于曲线 G, G, G, Gd. 2, -, - 2,-2''2(2)如图是备函数y= xm与y= xn在第一象限内的图象，则 (A. 1<n<0<m<1B. n< 1,0<m<1

6、C. 1<n<0, m>1D. n< 1, m>1解析(1)令 x=2,贝U 22>21>2-1>2 2,11故相应于曲线 C, G, G, G的a值依次为2, 2, 2, 2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决办法,在(0,1)内取X0,作直线x = X0,与各图象有交点，则“点低指数大”.如图，0Vm<1, n<1.答案(1)B(2)B【类题通法】解决哥函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断哥指数大小，相关结论为：在 (0,1)上，指数越大，哥函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1, +8)上，指数越大，哥函数图

7、象越远离x轴(简记为指大图)(2)依据图象确定哥指数 ”与0,1的大小关系，即根据哥函数在第一象限内的图象(类似于1y = x 1或y= x2或 y=x3)来判断.【对点训练】abcB. a<b<c已知函数y= x , y= x , y= x的图象如图所不，则 a, b, c的大小关系为()A. c<b<aC. b<c<aD. c<a<b解析：选A 由募函数的图象特征知，c<0, a>0, b>0.由哥函数的性质知，当x>1,哥指数大的募函数的函数值就大， 则a>b.综上所述，可知c<b<a.题型三、利用

8、幕函数的性质比较大小【例3】比较下列各组数中两个数的大小.0.50.513(2)解y=x0.5在(0, +8 )上是单调递增的,2 1又5>3， 一0.51 0.53(2) 哥函数1在(00, 0)上是单调递减的,(3)二函数yi =为R上的减函数，又3>|,4 322.>3又函数y2=2x3 在(0 , +83 2)上是增函数，且4>3,23 3 >4【类题通法】比较骞值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑哥函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数;(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同, 指数与另一个

9、数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小.【对点训练】比较下列各题中两个哥的值的大小：33(1) 2.37, 2.44 ；_3_3(2)应 2,33 2；660.31 5, 0.355.3解：(1) =丫= X4为0, +°° )上的增函数，且<,332.34<2.44.3(2) -. y= x万为(0, 十°°)上的减函数，且 J2<J3,666/= X5 为 R 上的偶函数，0.31 5= 0.315.6又函数y = x5为0 , +°° )上的增函数，且<,0.315 <0.35

10、5,即 0.31 5<0.355.【练习反馈】1 .下列函数是募函数的是 ()A. y = 2XB. y = 2x 1C. y = (x + 1)2D. y=取2解析：选D由哥函数的概念可知 D正确.2 .下列命题：哥函数的图象都经过点 (1,1)和点(0,0);哥函数的图象不可能在第四象限；n=0,函数y= xn的图象是一条直线；塞函数y=xn当n>0时，是增函数；哥函数y=xn当n<0时，在第一象限内函数值随 x值的增大而减小.正确的命题为()A.C.B.D.解析：选D y = x 1不过(0,0)点，错误，排除 A;当n = 0时，y=xn的图象为两条射 线，错误，排除

11、 C; y = x2不是增函数，错误，排除 B;因此答案选D.3 .已知哥函数f(x)的图象过点(4,2)，则f 1 =.81斛析：设 f(x) = X，则 4=2, .a=2,1即 f(x) = x2 ,答案：424 .函数f(x) = m m 1 xm m是募函数，且在 xe(o, +8 )时是减函数，则实数解析：由 m2 m+ 1 = 1,得01= 0 或 m= 1,2再把 m= 0和m= 1分别代入 m+ 2m- 3<0检验，得 m= 0.答案：05 .比较下列各题中两个哥的值的大小:11113(1) 1.12, 0.92 ; (2) 1.1 2 , 0.9 2； (3) 3 '1解：(1) =丫=