线代复习终极资料PPT课件

1、时间时间: 14周星期五周星期五16:00 18:00(7-8节节) (2019年年12月月2日日)地点地点: 南教南教300石工石工1010-13; 考试安排答疑安排答疑安排时间时间: 14周周 星期二星期二15:00 16:30 星期三星期三15:00 16:30 星期四星期四15:00 16:30 星期五星期五8:00 10:00地点地点: 南堂南堂112复 习 要 点第一章 逆序数的计算、行列式的性质及计算第二章 解矩阵方程、伴随矩阵的性质第三章 向量的线性相关性讨论、用矩阵的初等变 换解题、矩阵及向量组的秩的讨论第四章 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、 齐次或非齐次解的构造的讨论第

2、五章 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交 矩阵化实对称阵为对角阵或用正交变换 化二次型为规范形、正定性判别第六章 子空间，基，维数与坐标，基变换与坐标 变换，线性变换及其矩阵表示线性代数中的线性代数中的 “一、二、三、四、五、六一、二、三、四、五、六一种根本运算：一种根本运算： 矩阵的初等变换。矩阵的初等变换。两大主线：两大主线： 向量与矩阵。向量与矩阵。三种矩阵关系：三种矩阵关系： 等价、类似、合同。等价、类似、合同。四个难点：四个难点： 1. 矩阵和向量组的秩矩阵和向量组的秩; 2. 伴随矩阵；伴随矩阵； 3. 类似变换类似变换; 4. 特征值和特征向量的讨论特征值和特征向量的讨论.五大

3、板块：五大板块： 行列式、矩阵、向量、方程组、二次型行列式、矩阵、向量、方程组、二次型 。六个重要知识点：六个重要知识点： 1. 行列式的性质与计算行列式的性质与计算; 2. 矩阵可逆的各种等价条件矩阵可逆的各种等价条件; 3. 矩阵秩与向量组的秩的讨论矩阵秩与向量组的秩的讨论; 4. 向量组的相关性讨论向量组的相关性讨论; 5. 线性方程组的解的讨论线性方程组的解的讨论; 6. 二次型化简或对称阵化二次型化简或对称阵化 为对角阵。为对角阵。一、填空一、填空1、6 阶行列式中项阶行列式中项645216354123aaaaaa的符号为的符号为 。+2、知向量组、知向量组 002,112121ta

4、a 25403 a线性相关。那么线性相关。那么t= 。33、设、设A，B同为同为 n 阶矩阵，阶矩阵，, 3, 2 BA 1*2BA则则 。12231 n4、设、设1, 0 AbcaddcbaA则则且且= 。 acbdbcad15、设向量组、设向量组tr,2121与与等价，且等价，且t,21线性无关，那么线性无关，那么 r 与与 t 间满足间满足 。tr 的的值值则则相相似似与与设设方方阵阵yxyxA,4512422421 . 65, 4 yx 。7、设、设A是是3阶矩阵，其特征值为阶矩阵，其特征值为1，-1，2，那么，那么 A2+3A-2E的特征值为的特征值为 。2，- 4，89、假设二次型

5、、假设二次型322123222132122),(xtxxxxxxxxxf 是正定的，那么是正定的，那么t的取值范围是的取值范围是 。22 t10、假设、假设n阶可逆矩阵阶可逆矩阵 A的每行元素之和均为的每行元素之和均为a, 那么数那么数 一一 定是矩阵定是矩阵 的特征值。的特征值。 23a 123AE 1 11 212 12 2212nnnnn na ba ba ba ba ba bAa ba ba b ，1 .8、设、设0,0 (1,2, )iiabin ，那么矩阵那么矩阵A的秩的秩R(A)=05年考研题年考研题 .记记矩矩阵阵维维向向量量均均为为设设,3,321 ),(321 A)93,4

6、2,(321321321 B |, 1|BA那那么么如如果果2例例 1|5,3,|32323211223 ccccB解解32123233|,3,2|cc |,|232321 |,|2321 . 2|2 A04年考研题年考研题 . |,*,*2*,100021012 BEAEBAABABA则则是是单单位位矩矩阵阵为为的的伴伴随随矩矩阵阵其其中中满满足足矩矩阵阵设设矩矩阵阵 1/9例例 2EBAEA *)2( 将将原原式式化化为为解解1|*|2| EABEA, 1100001010|2| EA.91| B所所以以2|*| |9,AA 2000 1000021001210012 nA解解例例3 设设

7、 An 为为 n 阶行列式阶行列式, 证明证明 A1 ,A2， An , 是是一一 个等差数列，并由此求出个等差数列，并由此求出 An .112000 1000021001200011)1(2000 10000210012100122 nnnA212000 1000021001210012)1(2 nnnAA212 nnAA即即211 nnnnAAAA.,21是是一一个个等等差差数数列列所所以以nAAA.132112 ,2 121 AAA又又因因为为所以等差数列的首项为所以等差数列的首项为2，公差为，公差为1，由此可得，由此可得.1 nAn证证|BA 且且, 1|1| BA，由由条条件件知知.

8、 0|, 0|, , 22 BABAEBEAnBA证证明明：阶阶方方阵阵，且且都都是是设设例例 41| BA| EBAEBA |22BAAB |BABA |AB . 0| AB5 设有方程组设有方程组 4243212321321xxxxxxxxx问问为何值时，该方程组有独一解，无解，无穷多个为何值时，该方程组有独一解，无解，无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。解？并在有无穷多个解时求其通解。解解 增广矩阵增广矩阵 4211114112B 8-44 220110112行行 4)-(284 )4)(1(0022011行行 4243212321321xxxxxxxxx当当= 4时，时， 0000

9、411003014211161414411行行B由于由于R(A)=R(B)=2，故此时有无穷多个解。，故此时有无穷多个解。同解方同解方程组为：程组为： 33323143xxxxxx通解通解为：为：)(040113Rkkx 故当故当4且且1时，方程组有独一解。时，方程组有独一解。 4243212321321xxxxxxxxx当当= 1时，时， 421150004111421111114111行行B由于由于R(A)=2，而，而R(B)=3，故此时无解。，故此时无解。综上：综上： . ,1; ,4; ,41方方程程组组无无解解时时方方程程组组有有无无穷穷多多解解时时方方程程组组有有唯唯一一解解时时且

10、且当当 6 1设设*,3104252373AA 是其伴随矩阵，计算是其伴随矩阵，计算.*AA解解 13*1EEAAAA 故向量组的秩故向量组的秩 解解2 41003-0102001531312314342行行A为为3，且，且321,为一个最大无关组为一个最大无关组3214432 2求向量组求向量组的秩和一个最大无关组且将其他向量用此最大无关的秩和一个最大无关组且将其他向量用此最大无关组线性表示。组线性表示。 1514,323,134,31243217 设设 ,312321rr 证明证明r,21 ,121 rr与与r,21有一样的秩。有一样的秩。证证 只需证只需证r,21与与等价。等价。r,21

11、r,21一方面由题设一方面由题设r,21可由可由线性线性表示，另方面将题中等式全部加起来，得表示，另方面将题中等式全部加起来，得）（* )(1111rrr r,21故故r,21也可由也可由线性表示，线性表示，r,21从而从而r,21与与等价。等价。再分别用再分别用*减去题中每一个等式，可得减去题中每一个等式，可得riirrr11)111(111 7 设设 ,312321rr 证明证明r,21 ,121 rr与与r,21有一样的秩。有一样的秩。 证：由题设证：由题设线性无关，而线性无关，而线性相关，从而线性相关，从而线性表示。故可设线性表示。故可设321,321321, 可可由由332211 现

12、设现设0)(4332211 kkkk8 设向量组设向量组 的秩皆为的秩皆为3，向量组，向量组321,A: :的秩为的秩为 4。线性无关。线性无关。与与B,321: :C,321: : ,321试证，向量组试证，向量组 00004433422411kkkkkkk04321 kkkk即即线性无关。线性无关。0)()()(4343324221411 kkkkkkk由由线性无关，知线性无关，知,321 ,3210)(3322114332211 kkkk 9. 设设 为线性方程组为线性方程组 的的一个根底解系，一个根底解系，s ,21OAX 1213221222111, ttttttss 其中其中 为实

13、常数。试问满足什么关系时，为实常数。试问满足什么关系时，s ,2121,tt21,ttOAX 也为也为的一个根底解系。的一个根底解系。2019年考研题年考研题 解由于解由于), 2 , 1(sii 为为s ,21的线性的线性组合，所以组合，所以), 2 , 1(sii 均为均为OAX 的解。的解。设设02211 sskkk 由于线性无关，因此有由于线性无关，因此有s ,21Oktktktktktktssss )()()(1122211212111 122112211 0, 0, 0.ssst kt kt kt kt kt k 1221212100000000sstttttttt 所以当所以当0

14、) 1(211 ssstt;21tt 当当s为奇数，为奇数，.21tt 时，方程组只需零解时，方程组只需零解，即当，即当s为偶数，为偶数，ssstt211)1( 021 skkk从而从而s ,21线性无关。线性无关。此时，此时，s ,21也为方程组的一个根底解系。也为方程组的一个根底解系。为为对对角角阵阵。，使使）求求矩矩阵阵（，试试求求的的一一个个特特征征值值为为已已知知)()(2. 3 (1)/APAPPyA，所所以以的的一一个个特特征征值值为为因因为为解解3 (1)A01100130000310013|3| yAE. 2 y例例10 210010000010010 yA设矩阵设矩阵,)(

15、)( 22/PAPAPAPAA 知知）由由（对对于于矩矩阵阵,5400450000100001 2 A而而 5445B易求得正交阵易求得正交阵11221122T ，于是于是使使,9001/ BTT,21210021210000100001 P令令.9000010000100001)()( / APAP则则有有。答答：应应填填 2 ，征征值值为为所所对对应应的的实实对对称称阵阵的的特特故故知知0 0 6 f,621yf 经经正正交交变变换换化化成成标标准准形形例例 11323121332221321444)(),( xxxxxxxxxaxxxf 已已知知实实二二次次型型 ayfPyx则则可可化化

16、成成标标准准形形经经正正交交变变换换,621 .02年考研题年考研题 aaaA232222 由由相相似似，知知与与 006 . 2, 63 aa2由于正交变换坚持向量的长度不变，故由于正交变换坚持向量的长度不变，故证证 设设A 的特征值为的特征值为由定理由定理10知，存在正交变换知，存在正交变换.1,1 yx时时当当例例 12 证明：二次型证明：二次型1 x时的最大值为方阵时的最大值为方阵 A A 的最大特征值。的最大特征值。AxxfT 在在n ,21使使,Pyx 2222211)()(nnyyyPyfxf 设设,max1nk 2221 122nnfyyy 那么那么故故 )( 维维单单位位坐坐

17、标标向向量量又又取取nek且且有有满满足足则则对对, 1,00 kkexPexkkPefxf )()(0.kf 最大最大证毕证毕例例 12 证明：二次型证明：二次型1 x时的最大值为方阵时的最大值为方阵 A A 的最大特征值。的最大特征值。AxxfT 在在221()knkyy 1211211. , .nnnna aaata aa a 设设排排列列的的逆逆序序数数为为试试求求排排列列的的逆逆序序数数(教材教材P2第第3题题),)1( , 121iiiiinntiataaaaaa 小的元素个数为小的元素个数为则比则比素的个数为素的个数为大的元大的元前且比前且比中排在中排在设在排列设在排列解解.,

18、2 , 1 ,)1( 121nitiaaaaaaiiinn 素素的的个个数数为为小小的的元元后后且且比比中中排排在在于于是是在在排排列列故故逆逆序序数数 niiniti11)1( niitnn12)1(.2)1(tnn 1(1)niiit 121 ()nnt a aa a 作作 业业 题题 讲讲 解解2P11第第3题题2计算行列式计算行列式解法解法 1 递推法按最后一行拆项，建立递推公式递推法按最后一行拆项，建立递推公式. 0;1111111112121 nnnaaaaaaD其其中中nnaaaaaD001111111111111112121 1121 nnnDaaaa1121 nnnnDaaa

19、aD)11 (121 niinnaaaaD)(21221121 nnnnnDaaaaaaaa)1 ( 12121121aaaaaaaaaannnnn 解法解法 2 加边法加边法nnaaaD 111011101110111121naaa001001001111121 nniiaaaa00000000011111211 )11(11 niinaaa 解法解法 3 提取公因子提取公因子)11(11 niinaaa nnnnnaaaaaaaaaaaaD11111111111122211121 此为典型字此为典型字母行列式。母行列式。nnnniinaaaaaaaaaa111111111111122212

20、1 解解0321301221011210 nnnnnnDn11111111111112101 ,11 nnirrii1000120012201111, 1 nnnnniccni212)1()1( nnn.),(jiaaDijijn 其其中中 P10第第3题题(3)3 计算计算P17第第2(2)题题1221100 000010001axaaaaxxxDnnnn 解法解法1 递推法按第一列展开，建立递推公式递推法按第一列展开，建立递推公式100 0001001) 1(10 000111221 xxaaxaaaxxxDnnnnnnnnnaxaxax 1114 证明证明nnnnnnaxaDxaxDD

21、1221 .)(12122nnnaxaaxaxx .11122nnnaxaaxaxx .111nnnnaxaxax .122nnnaxaDx 解法解法2 消元法消元法.,0等等式式显显然然成成立立时时 x.,0用用消消元元法法时时 x 0000000000111121211, 1/1 niiinnnnnnnixccnxaaxxaxaaxaaaxxDii)(11111 niiinnxaaxxD.111nnnnaxaxax 1221100 000010001axaaaaxxxDnnnn 证证 记记/( )( )( )( )( )( )0.( )( )( )f ag ah af bg bh bfgh

22、 ( )( )( )( )( )( )( ) , , ( )( )( )f ag ah aF xf bg bh bxa bf xg xh x易知易知 F(x)在在a, b上延续，在上延续，在(a, b)内可导，内可导， ( )( ) 0F aF b 且且 设设 为为a, b上的延续可导函数，试证明上的延续可导函数，试证明存在一点存在一点 使得行列式使得行列式( ), ( ), ( )f xg x h x( , )a b 设设 为为a, b上的延续可导函数，试证明上的延续可导函数，试证明存在一点存在一点 使得行列式使得行列式( ), ( ), ( )f xg x h x( , )a b /( )

23、( )( )( )( )( )0.( )( )( )f ag ah af bg bh bfgh /( ) 0.F 由罗尔定理知由罗尔定理知 ，存在一点，存在一点 使得使得( , ),a b 留意到留意到/( )( )( )( )( )( )( ) ,( )( )( )f ag ah aFxf bg bh bfxgxh x 故得所欲证。故得所欲证。证证 设设( ),( ),R Ar R Bs教材教材P59例例21 试证试证0( )( ).0ARR AR BB 那么那么A，B的规范形分别为的规范形分别为00,0000rsEEAB即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 使使1122,P Q P Q于是于是11

24、2200,0000rsEEP AQP BQ1122000000PQAPQB 教材教材P59例例21 试证试证0( )( ).0ARR AR BB 0000000,0000000rsEE 112200P AQP BQ 由于由于都是可逆矩阵，都是可逆矩阵，11220000PQPQ ，00000000000000rsEE00AB与与等价，等价， 于是于是0( )( ).0ARrsR AR BB 证证 将方程组记为将方程组记为,AXB 教材教材P46习题习题 2(1)解矩阵方程解矩阵方程2546.1321X 由由A可逆，故有可逆，故有125461321 1,XA B 于是于是1XA B 3546122

25、1 21308 留意留意 只能左乘，只能左乘， 的求法。的求法。1A 1A 1 设设 ，且，且AB=A+2B，求，求 B 。 321011324A 见见P71习题习题4解解 由由 AB=A+2B，得，得AEAB1)2( 1210113222EA 9122692683321011324461351341B 461351341)2(1EA (2) 设设A是是3 阶方阵，阶方阵，A*是是A的伴随矩阵，的伴随矩阵， 求行列式求行列式 的值。的值。( P65第第1题题 ),21 A*2)3(1AA 4 (1)设设A，B同为同为 n 阶矩阵，阶矩阵，, 3, 2 BA 1*2BA则则 。12231 n解解

26、*2)3(1AA *2311AA *)34(A 2716412764 *)232(*2*31AAAA *343A (2) 设设A是是3 阶方阵，阶方阵，A*是是A的伴随矩阵，的伴随矩阵， 求行列式求行列式 的值。的值。,21 A*2)3(1AA 22764A 2. (P59习题习题4) 设方阵设方阵A满足满足 ， 证明证明 A 及及A+2E都可逆都可逆,并求并求 。0 0 EAA2211)2( EAA及及要证要证A可逆，只需证存在矩阵可逆，只需证存在矩阵B，使，使AB=E即可。即可。分析：分析：设方阵设方阵A满足满足 ，证明，证明 A 及及A+2E都可逆都可逆,并求并求 。0 0 EAA221

27、1)2( EAA及及0 0 EAA22由由,2,22可可逆逆故故又又EAAEA EEAAEEAA )(21(2)()(21,1EAAA 且且可可逆逆故故知知21121)()()2( AAEA且且)3(41)2(41)(21(22AEEAAEA EAA22 证证P79第第4题题).()( BRARBAnmBA 等等价价的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵与与矩矩阵阵，证证明明矩矩阵阵都都是是与与设设解解 必要性由定理必要性由定理7初等变换不改动矩阵的秩立得。初等变换不改动矩阵的秩立得。 作作 业业 题题 讲讲 解解矩矩阵阵，皆皆为为因因为为nmBA ,nmBRBnmARAOOOEIBOOOE

28、IA )()(, 设设. BAII 可可见见充分性充分性 设设R(A)=R(B). 由等价关系的传送姓，知由等价关系的传送姓，知A与与B等价。等价。 P92第第3题题线线性性相相关关。，足足什什么么条条件件满满线线性性无无关关，问问，设设向向量量组组312312321, , mlml解解 设有设有Okmklk )()()(313232121 作作 业业 题题 讲讲 解解Okmkklkkk 332221113)()()( 得得线线性性无无关关由由,321 000322113kmkklkkk1001101 ml01 ml.,1,312312线性相关线性相关时时当当所以所以 mlml 0 321，不

29、不全全为为，由由kkk证证 设有设有 12,r 教材教材P75第第 2 题题设向量组设向量组线性无关，证明向量组线性无关，证明向量组112211,rrrrrrr 线性无关。线性无关。112211rrrrkkkkO 即即 11221111()rrrrrkkkkkkO 12,r 由由线性无关，得线性无关，得121110,0,0,0rrrkkkkkk1210rrkkkk 12,r 所以所以线性无关。线性无关。 作作 业业 题题 讲讲 解解(P99第第 1题题)线线性性无无关关。表表示示，证证明明能能由由它它们们线线性性维维单单位位坐坐标标向向量量维维向向量量，已已知知是是一一组组设设nnneeenn

30、 , , 212121证法证法 1线线性性表表示示，可可由由由由题题知知向向量量组组nneee ,2121线线性性表表示示，也也可可由由显显然然向向量量组组nneee,2121 等等价价，与与向向量量组组故故nneee, 2121 ，秩秩从从而而，秩秩neeenn ),(),(2121 ,21线线性性无无关关。于于是是知知，n 证法证法 2 (矩阵方式矩阵方式)(无妨设为列向量的情形无妨设为列向量的情形)线线性性表表示示，可可由由由由题题向向量量组组nneee ,2121，记：记：),(),( 2121nneeeEA ,21线线性性无无关关。于于是是知知，n ,AKEK 使使故故存存在在矩矩阵

31、阵0 A证法证法 3 ),(21nn 秩秩 ),(2121nneee 秩秩 neeen ),(21秩秩1 EKAAK ,21线线性性无无关关。故故n 用到了用到了题设条题设条件。件。(P99第第 2题题)示示。向向量量都都可可由由它它们们线线性性表表维维条条件件是是：任任一一们们线线性性无无关关的的充充分分必必要要维维向向量量，证证明明它它是是一一组组设设 , 21nnn 证证充分性：充分性： 由第由第 1 题即知；题即知； 必要性：必要性：线线性性无无关关此此时时，n , 21维维向向量量必必相相关关，个个维维向向量量，由由是是任任一一设设nnn1 线性相关，线性相关，知：知：n , 21线

32、线性性表表示示。可可由由，知知：由由定定理理n , 2 21证证 由于由于A组、组、B组皆可由组皆可由C 组线性表示，故有组线性表示，故有 例例8 (P104第第1题题) 设向量组设向量组A： 的秩为的秩为 r1 ，向量组，向量组B： 的秩为的秩为 r2 ，向量组，向量组 C： 的秩为的秩为 r3，证明：，证明：t ,21s ,21ts ,1121321,maxrrrrr ,3231rrrr 下证下证213rrr 当当 r1=0，r2=0时，结论显然成立。时，结论显然成立。.,max321rrr 从而，从而，于是于是C组中任一向量可由组中任一向量可由1,21r 2,21r 21,11rr 21

33、3rrr 在在 r10，r20时，可无妨设：时，可无妨设：是是A组的最大无关组组的最大无关组是是B组的最大无关组组的最大无关组线性表示，从而线性表示，从而例例8 (P104第第1题题) 设向量组设向量组A： 的秩为的秩为 r1 ，向量组，向量组B： 的秩为的秩为 r2 ，向量组，向量组 C： 的秩为的秩为 r3，证明：，证明：t ,21s ,21ts ,1121321,maxrrrrr ; ) 不不存存在在A答答 应选应选 B). ; ) 仅仅含含一一个个非非零零解解向向量量B的的基基础础解解系系则则对对应应齐齐次次线线性性方方程程组组的的解解的的互互不不相相等等是是非非齐齐次次线线性性方方程

34、程组组若若的的伴伴随随矩矩阵阵阶阶矩矩阵阵设设,* 4321bAxOAAn ; )向向量量含含有有两两个个线线性性无无关关的的解解C. )向向量量含含有有三三个个线线性性无无关关的的解解D例例 9, 1,)(,* nnArOA或或知知由由, 1)(, nArbAx从从而而的的解解不不唯唯一一又又由由题题知知04年考研题年考研题.)( ,正正确确向向量量故故基基础础解解系系仅仅含含一一个个解解BP104第第4题题 ,21, 3, 3, 1, 2,0, 1, 1321 设设有有向向量量组组为为 R3 的一个基的一个基, 并把并把用这个基线性表示。用这个基线性表示。解解 构造矩阵构造矩阵 A且作初等

35、且作初等 行变换行变换 211003301032001行行故知故知的一个基，且的一个基，且321 , 32123211233 ,32 作作 业业 题题 讲讲 解解 13, 8, 9,7, 0, 521 3R为为 1372308011195321A 9. 设设 为线性方程组为线性方程组 的的一个根底解系，一个根底解系，s ,21OAX 1213221222111, ttttttss 其中其中 为实常数。试问满足什么关系时，为实常数。试问满足什么关系时，s ,2121,tt21,ttOAX 也为也为的一个根底解系。的一个根底解系。2019年考研题年考研题 解由于解由于), 2 , 1(sii 为为

36、s ,21的线性的线性组合，所以组合，所以), 2 , 1(sii 均为均为OAX 的解。的解。设设02211 sskkk 由于线性无关，因此有由于线性无关，因此有s ,21Oktktktktktktssss )()()(1122211212111 122112211 0, 0, 0.ssst kt kt kt kt kt k 1221212100000000tttttttt 所以当所以当0) 1(211 ssstt;21tt 当当s为奇数，为奇数，.21tt 时，方程组只需零解时，方程组只需零解，即当，即当s为偶数，为偶数，ssstt211)1( 021 skkk从而从而s ,21线性无关。

37、线性无关。此时，此时，s ,21也为方程组的一个根底解系。也为方程组的一个根底解系。教材教材P113 第第2题证明与根底解系等价的线性无关的向题证明与根底解系等价的线性无关的向量组也是根底解系。量组也是根底解系。ssrOAx , 212121线线性性无无关关，且且基基础础解解系系的的是是齐齐次次线线性性方方程程组组设设 证证.,等等价价与与r 21),(sRs 21 由等价组等秩以及由等价组等秩以及 线性无关，知线性无关，知s ,2112,ir 由由 每每 一一 个个皆皆 可可 由由线线 性性 表表 示示 ， 知知.,的的解解都都是是OAxr 21.)( ,也也是是基基础础解解系系注注意意于于

38、是是知知rss 21rRr ),( 2112 ,sAXO 显显然然的的每每一一个个解解也也都都可可由由线线性性表表示示，教材教材P113 第第2题证明与根底解系等价的线性无关的向题证明与根底解系等价的线性无关的向量组也是根底解系。量组也是根底解系。ssrOAx , 212121线线性性无无关关，且且基基础础解解系系的的是是齐齐次次线线性性方方程程组组设设 证证.,等等价价与与r 21),(sRs 21 由等价组等秩以及由等价组等秩以及 线性无关，知线性无关，知s ,2112,ir 由由 每每 一一 个个皆皆 可可 由由线线 性性 表表 示示 ， 知知.,的的解解都都是是OAxr 21.)( ,

39、也也是是基基础础解解系系注注意意于于是是知知rss 21rRr ),( 2112 ,sAXO 显显然然的的每每一一个个解解也也都都可可由由线线性性表表示示，根底解系，向量根底解系，向量 不是方程组不是方程组 Ax=0 的解，即的解，即试证明向量组试证明向量组 线性无关。线性无关。设向量设向量 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax=0 的一个的一个教材教材P95 第第4题题0A 12,t 证：证：12,t 设有设有 011122()(*)tttkkkkkkO 01122()()()ttkkkkO 两边用两边用 A 左乘，留意到左乘，留意到 ，得，得0iA 01()0tkkk A 120,tkk

40、k 1122ttkkkO 由由12,t 是根底解系，因此线性无关，便知是根底解系，因此线性无关，便知00k ，于是知于是知故向量组故向量组 线性无关。线性无关。12,t 由于由于0A ，010tkkk ，代回代回(*)中，得中，得根底解系，向量根底解系，向量 不是方程组不是方程组 Ax=0 的解，即的解，即试证明向量组试证明向量组 线性无关。线性无关。设向量设向量 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax=0 的一个的一个0A 12,t 12,t 设设 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组*的一个解，的一个解， 是对应齐次线性方程组的一个根底是对应齐次线性方程组的一个根底教材教材P100 第第5

41、题题b bAXrn ,21解系，证明：解系，证明：线性无关；线性无关；证：证：rn ,*, )121rn *,*,*, )221线性无关。线性无关。1反证。假设反证。假设rn ,*, 21线性相关，线性相关，* 由于由于rn ,21线性无关，那么线性无关，那么可由可由线性表出线性表出rn ,21rnrnkkk 2211*由由(1)知：知：2设有设有0 0 rnrnrnkkkkkk 221110*)(0 0 )*()*()*(*22110rnrnkkkk 000110rnrnkkkkk010 rnkkkrn *,*,*, 21即即线性无关。线性无关。从而，从而，*是齐次方程组的解，与题设矛盾。是

42、齐次方程组的解，与题设矛盾。1 设设 ,312321rr 证明证明r,21 ,121 rr与与r,21有一样的秩。有一样的秩。证证 只需证只需证r,21与与等价。等价。r,21r,21一方面由题设一方面由题设r,21可由可由线性线性表示，另方面将题中等式全部加起来，得表示，另方面将题中等式全部加起来，得）（* )(1111rrr r,21故故r,21也可由也可由线性表示，线性表示，r,21从而从而r,21与与等价。等价。再分别用再分别用*减去题中每一个等式，可得减去题中每一个等式，可得riirrr11)111(111 1 设设 ,312321rr 证明证明r,21 ,121 rr与与r,21有一样的秩。有一样的秩。 证：由题设证：由题设线性无关，而线性无关，而线性相关，从而线性相关，从而线性表示。故可设线性表示。故可设321,321321, 可可由由332211