2020年高二数学上册课时综合调研检测题24

1、第三章章末总结知识点一导数与曲线的切线利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是 切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程，那么此 点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点 为Q(xi ,y，那么切线方程为y yi = f (xj(x Xi)，再由切线过点P(x, yo)得yo yi= f (xi)(xo xi)又 yi = f(xi)由求出xi, yi的值.即求出了过点P(xo, yo)的切线方程.例1曲线f(x) = x3 3x,过点A(o,16)作曲线f(x)的切线，求 曲线的切线方程.

2、知识点二导数与函数的单调性利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤 为：(1) 求导数f (x)；(2) 解不等式 f (x)>o 或 f (x)<o；(3) 确定并指出函数的单调增区间、减区间.特别要注意写单调区间时，区间之间用“和或“，隔开，绝 对不能用“U连接.例2求以下函数的单调区间：x(1)f(x) = 2 +sin x;(2)f(x) = x(x a)2.知识点三导数与函数的极值、最值利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用.1. 应用导数求函数极值的一般步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 解方程f(x) = 0的根；检验f (x) =

3、 0的根的两侧f (x)的符号.假设左正右负，那么f(x)在此根处取得极大值；假设左负右正，那么f(x)在此根处取得极小值；否那么，此根不是f(x)的极值点.2. 求函数f(x)在闭区间a, b上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a, b)内的极值；将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比拟，其中最大的一个值为最 大值，最小的一个值为最小值；特别地，当f(x)在(a, b)上单调时，其最小值、最大值在区间 端点处取得，当f(x)在(a, b)内只有一个极值点时，假设在这一点处 f(x)有极大(小)值，贝何以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a, b)也可以是(一x,

4、+x ).23例 3 设3<a<1，函数 f(x) = x3 2ax2 + b (-1< x< 1)的最大值为 1,最小值为中，求常数a, b.知识点四导数与参数的范围函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法.利用导数法更为简捷.在 解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f (x)>0(或f (x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要 条件是：f (x)>0(或f(x)<0)，且f(x)不恒为零.利用导数法解 决取值范围问题时可以有两个根本思路：一是将问题转化为不

5、等式在某区间上的恒成立问题，即f (x) >0或f (x)< 0恒成立，用别离参 数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“时是否满足题 意；另一思路是先令f (x)>0(或 f (x)<0)，求出参数的取值范围后， 再令参数取“ = ，看此时f(x)是否满足题意.a例4 函数f(x)= x2 + - (xm 0,常数a R).假设函数f(x)在x 2,+乂)上是单调递增的，求a的取值范围.1例 5 f(x) = x3 qx2 2x+5,当 x 1,2时，f(x)<m 恒成 立，求实数m的取值范围.章末总结答案重点解读例1解设切点为(Xo, yo),那么由导数定义

6、得切线的斜率k= f' (x0)= 3滋3,二切线方程为y= (3x0 3)x +16,又切点(xo, y°)在切线上，y0= 3(x2 1)x0 +16,即 x0 3xo = 3(x§ 1)x + 16,解得x0 = 2,二切线方程为9x y+ 16= 0.例2解(1)函数的定义域是R, 1 1 f(x) = 2+ COS x，令 2+ cos x>0,2 n2 n解得 2k n- -3"<x<2k n+ (k Z),1令 2+ cos x<0,2 n4 n解得 2kn+3<xv2kn+3 (k Z),2 n2kn+&

7、; (k Z)，单调减2 n因此，f(x)的单调增区间是2k n 3 ,区间是2 n 4 n2kn+"3, 2kn+"3 (k Z).(2)函数 f(x) = x(x a)2= x3 2ax2 + a2x 的定义域为 R, 由 f(x) = 3x2 4ax + a2 = 0,得 X1 = 3, X2 = a. 当a>0时，刘<血.a二函数f(x)的单调递增区间为 一x, 3 ,(a,+x), 单调递减区间为3, a. 当a<0时，刘>血,二函数f(x)的单调递增区间为(一I a), 3，+ ,单调递减区间为a, 3. 当a = 0时，f (x) =

8、3护?0,二函数f(x)的单调区间为(x, + x), 即f(x)在R上是增加的.例 3 解令 f (x)= 3x2 3ax= 0,得 X1 = 0, X2 = a.当x变化时，f (x)与f(x)的变化情况如下表:x1(1,0)0(0, a)a(a,1)1f (x)+00+f(x)1 3?a + bb一 2 + b/1 器 + b从上表可知，当x = 0时，f(x)取得极大值b,而f(O)>f(a), f(1)>f( 31),故需比拟f(0)与f(1)的大小.因为f(0) f(1) = 2a1>0,所以f(x) 的最大值为f(0) = b.所以b= 1.1 2又 f( 1)

9、 f(a) =2(a + 1) (a 2)<0,33所以 f(x)的最小值为 f( 1) = 1 2a + b= 2a, 所以一|a=中，所以a =扌.a 2X3 a例 4 解 f (x)= 2x X2=X2 .要使f(x)在2 ,+ 乂)上是单调递增的，那么f (x) >0在x 2 ,+x)上恒成立，2x3 a 即一2 > 0在x 2 ,+x)上恒成立.x.x2>0,. Qx3 a?0,/a< 2x3在 x 2，+ s)上恒成立. aW (2x3)min.vx 2,+s), y= 2x"是单调递增的， .(2x3)min = 16,. .aW 16.2x3 16当 a= 16 时，f (x)= > 0 (x 2 ,+s)有且只有 f =0,a的取值范围是a<16.1例 5 解Tf(x) = x3 qx2 2x + 5,f (x)= 3x2 x 2.令 f (x) = 0,即卩 3x2 x 2= 0,1 或 x=23.2当 x 1, 3 时，F (x)>0, f(x)为增函数;2当 x 3, 1 时，f (x)<0, f(x)为减函数；当 x (1,2)时，f(x)>0, f(x)为增函数.15727 ；2 2所以