一、函数在无限远处极限

1、YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限一、函数在无限远处的极限一、函数在无限远处的极限函数极限数列极限 离散增加）离散增加）（数列数列,01 nnxn连连续续增增加加）（函函数数,0), 0(1)(xxxxfxxyyoo1111xy1.ny1YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限Axfx)(limorAf )(or)()(xAxf”法”法“X , 0),()( 是是实实数数。若若对对上上有有定定义义，在在设设Aaxf在在是是则则称称时时，有有当当)(,)(, 0 xfAAxfXxX 时时）存存在在（当当称称正正无无限限远远处处的的极极限限，或或xxf)(

2、:，记记为为极极限限ADefYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限定定义义比比较较与与注注axAxfnnx lim)(lim. 1axnn limAxfx )(lim函数函数定义域定义域自变量变化趋势自变量变化趋势函数值变化趋势函数值变化趋势nxy )(xfy N）（ , a n xaxnAxf)(AxfXxX)(0, 0有有时时，当当, 0axNnNn有有时，时，当，当定义定义YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限的几何解释注Axfx)(lim. 2 Axf)(由由 AxfA)(.)(），（AOxfxyoX)(xfy AAAYunnanUniversi

3、ty2. 函数的极限函数的极限为为边边界界的的带带形形区区域域，表表明明：对对任任意意以以两两直直线线 Ay之之右右侧侧）时时，相相位位于于点点（即即点点，当当点点总总XxXxX 域域之之内内。的的图图象象位位于于这这个个带带形形区区应应的的曲曲线线)(xfy 时时，有有，当当，邻邻域域XxXAOAxfx0),()(lim).,()(AOxf邻邻域域法法情情形形：相相仿仿地地，可可定定义义 xx,YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限:Def Axfx)(lim限限函函数数在在负负无无限限远远处处的的极极.)(, 0, 0 AxfXxX时时，有有当当）上上有有定定义义，记记

4、号号可可为为，在在（注注：设设axf )(Af )(or).()( xAxf:Def Axfx)(lim函函数数在在无无限限远远处处的的极极限限.)(, 0, 0 AxfXxX时时，有有当当YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限时时有有定定义义，记记号号可可为为当当注注：设设axxf )(Af )(or).()( xAxf。由由定定义义易易证证注注意意比比较较上上述述三三个个定定义义.)(lim)(lim)(lim:AxfxfAxfThxxx 定定义义的的邻邻域域叙叙述述及及否否定定写写出出本本节节三三个个函函数数极极限限:ex叙叙述述。,00)(lim00XxXAxfx

5、某某个个，对对ts.)(00 AxfYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限xxxx1lim.1例) 10(0lim.2aaxx例，解解得得由由证证明明：xxaa0, 0.0lnln.0ln, 1lnlnaXaax取取）（不不妨妨设设. 0YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限) 1(0lim. 3aaxx例.0log, 1log, 0）（不不妨妨设设得得由由证证明明：aaxxa.0log aX取取.2arctanlim.4xx例例得得证证明明：由由xxarctan22arctan,2(2tan2tan不不妨妨设设x. 02tan.02tanX取取）则则Y

6、unnanUniversity2. 函数的极限函数的极限22lim. 522xxxx例2424222,202222xxxxxxxx时时，当当证证明明：），（0221422121222 xxxxxx xxxx42122)4(当当.4 x得得).4, 4max( X取取. 2YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限二、函数在一点的极限二、函数在一点的极限速速度度问问题题.1.21)(02的（瞬时）速度，求落体在时刻自由落体运动tgtts时时的的平平均均速速度度到到从从tt0).(212121)(00202ttgttgtgttv .000时的速度在，这个数值定义为落体）（时，当tg

7、ttvtt”即指：）无限趋近于（时，无限趋近于“当.00gttvtt.00意小就能任意小，并保持任）（，差充分接近只要gttvttYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限:Def,)(00点点本本身身）有有定定义义的的附附近近（可可能能除除去去在在点点设设xxxf时时，有有当当是是实实数数。若若对对 00, 0, 0 xxA记记为为点点的的极极限限在在是是则则称称,)(,)(0 xxfAAxf Axfxx )(lim0or.)(0）（xxAxf”法法“ 解解：关关于于极极限限定定义义的的几几点点理理. 2充充分分”表表明明只只要要时时总总有有）“（xAxfxx )(010.)

8、(0能任意小并保持任意小能任意小并保持任意小，就保证了，就保证了接近接近AxfxYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限”的的含含义义。）理理解解“（ 002xx0000,0 xxxxxxxi且且）（去去心心邻邻域域）00 xxOx），（的的情情况况无无关关。在在点点的的极极限限与与在在点点）它它说说明明（00)()(xxfxxfii其其二二，的的定定义义域域，如如可可以以不不属属于于因因为为：其其一一，.1)(0 xfx的的关关系系与与的的定定义义域域，此此时时，极极限限可可以以属属于于)()(0 xfAxfx).()(afAorafA仅仅有有两两种种：的的函函数数的的附附

9、近近的的在在的的极极限限仅仅与与在在总总之之，xxxfxxf00)()(的的情情况况无无关关。在在的的变变化化有有关关，而而与与值值0)()(xxfxfYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限：的的几几何何解解释释及及邻邻域域叙叙述述Axfxx)(lim. 30).,()()(AOxfAxf由由为为表表明明：对对任任意意以以两两直直线线 Ay时时，当当边边界界的的带带形形区区域域，必必),(000 xxOx区区域域内内，）的的图图象象位位于于这这个个带带形形（相相应应的的曲曲线线xfy 内内。即即矩矩形形abcdxyAAAdcab0 x0 x0 xoYunnanUnivers

10、ity2. 函数的极限函数的极限.311lim.631 xxx例例由由，即即证证明明：先先限限定定,0.2011xx12231123 xxxxxx)422( ,14 xx).4, 1min(.41取取得得 x邻邻域域叙叙述述：，邻邻域域的的，邻邻域域),(),()(lim000 xOxAOAxfxx).,(),(00AOxfxxOx）（时时，有有当当YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限.,lim. 7Nmaxmmax例例由由，即即证证明明：先先限限定定, 0. 11axax121 mmmmmaaxxaxax)121 mmmaaxxax（.) 11 mamax（).) 1(

11、, 1min(.) 1(11 mmamamax取取得得的的右右侧侧在在点点若若仅仅考考虑虑自自变变量量中中在在定定义义0,)(lim0 xxAxfxx 或或左左侧侧，则则YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限三、单侧极限三、单侧极限:Def（可可能能除除去去的的右右近近旁旁（或或左左近近旁旁）在在点点设设0)(xxf, 0, 0,0 是是实实数数。若若对对点点本本身身）有有定定义义Ax，）时时，有有（或或当当 Axfxxxx)(0000。记记为为的的右右极极限限（或或左左极极限限）在在点点是是则则称称0)(xxfAAxfxx )(lim00orAxf )0(0Axfxx )

12、(lim00（或或or）.)0(0Axf YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限).,(),(00AOxfxxx）（时时，有有当当，的的左左邻邻域域，邻邻域域)(),()(lim00000 xxxAOAxfxx).,()(00AOxfxxx）（时时，有有，当当.)(lim)(lim)(lim00000AxfxfAxfxxxxxx邻域叙述，的的右右邻邻域域，邻邻域域),(),()(lim00000 xxxAOAxfxxTh.YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限.)(, 00202 Axfxxx时时，有有当当，得得证证。取取),min(21 当当，对对”由

13、由“证证明明, 00)(lim:0 Axfxx 000.)(0 xxAxfxx而而时时，有有等等价价，故故然然。和和与与0000 xxxxxx ，分分别别有有”由由条条件件，对对“0 ;)(, 01001 Axfxxx时时，有有当当YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限.1)(,0 xfx有有时时.)0()(1)00(0)00(不存在极限，故显然，xxfff，则则当当）（取取）（从从而而0log.log1111aax.1)(lim)(.0)(lim)().1(11)(.800001xfiixfiaaxfxxx例例得得，由由）证证明明：（, 11,110)(011xxaaxf

14、i.0log),111(21(log111111aax取取不不妨妨设设得得，由由）（,1,1111)(011 xxaaxfii,0log),11(21(log111 aax有有不不妨妨设设YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限四、函数极限的性质和运算四、函数极限的性质和运算五种情形。平行地移到其它极限的性质和运算都能讨论之，所有关于函数这里就限相仿的性质和运算，函数极限具有和数列极)(lim0 xfxx当，则且，若, 0,)(lim)(lim. 1Pr00BABxgAxfopxxxx).()(,00 xgxfxx 有有时时时时，有有，当当，证证明明：取取 0002xxBA)

15、.(2)(xgBAxf YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限00, 0,)(lim)(lim. 200 xxBxgAxfpropxxxx当且，若（反证法）则时，有.),()(BAxgxf00, 0),()(lim. 30 xxBABAAxfpropxx当则且若）（取（取时，有时，有BxgBxfBxf )().)()(。时时称称函函数数极极限限的的保保号号性性特特别别，0 B函数极限的保号性函数极限的保号性YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限时，有当若00, 0. 5xxprop).()()(xhxgxf “两边夹法则”“两边夹法则”.)(lim,)(

16、lim)(lim000AxgAxhxfxxxxxx 则则且且由由定定义义易易证证。.1.证证之之由由证证：反反证证法法prop用用另另证证：由由极极限限定定义义，利利2)()(BxfxfABA.BA 的的任任意意性性得得证证及及.,)(lim)(lim. 400BABxfAxfpropxxxx且且，（极极限限唯唯一一性性）若若YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限:Def）也也分分，（，上上、下下界界不不唯唯一一，0 BA,)()(BxfAXxXxf ，有有对对内内有有界界在在称称内内的的下下界界和和上上界界。在在分分别别称称为为，XxfconstBA)(, 别别是是下下界

17、界、上上界界。.,)(constMMxfXx ，有有对对在在使使得得，则则（局局部部有有界界性性）若若)(, 0)(lim. 60 xfAxfpropxx.)()(0000内内有有界界，和和，在在区区间间xxxxYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限时时，有有，当当，则则证证明明：取取0001xx. 1)(1AxfA. 1)(1)()(AxfAxfAxf，得得或或邻邻域域断断定定函函数数在在相相应应的的某某个个注注：由由极极限限存存在在，只只能能在在整整个个定定义义域域内内有有界界，而而不不能能判判定定它它),(00 xxO，由由例例例例如如，内内有有界界（整整体体有有界界

18、）。6,11)(3 xxxf)1 , 1 () 1 ,1 ()(, 0, 63)(lim1 和和在在，由由xfpropxfx和和在在内内有有界界，但但) 1 ,() 1( 111)(23 xxxxxxf内内无无界界。，)1 ( YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限且对任何数列）（,)(lim. 70nxxxAxfHeineThprop.limlim00Axfxxxxnnnnn）（，都有，.系限和数列极限之间的关这个性质表明了函数极）之之定定义义域域内内。（在在注注意意，此此处处要要求求xfxn海涅定理海涅定理YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限有有时

19、时当当，”对对“证证明明,0, 00:0 xx ,lim,)(0 xxxAxfnnn 有有又又已已知知，对对任任意意时时，有有当当故故对对上上述述NnNxxn , 0,0,)(.00AxfNnxxnn时时，有有从从而而，当当.)(limAxfnn 即即, 0, 0,)(lim00 对对则则”反证法。假设”反证法。假设“AxfxxYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限.)(0,00 Axfxxx时时，有有当当某某个个；时时，有有，取取010111)(10 ,1 Axfxxx；时时，有有，取取020222)(210 ,21Axfxxx；时时，有有，取取00)(10 ,1Axfn

20、xxxnnnnn ,lim),(01,0 xxnnxnnnn故故有有因因由由此此得得数数列列与与已已知知矛矛盾盾。但但且且,)(lim,0Axfxxnnn YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限Prop7表明，函数列极限可化为数列极限，反之亦然。并且，表明，函数列极限可化为数列极限，反之亦然。并且， 它给出了函数极限存在的充要条件。因此，有关函数极限定理它给出了函数极限存在的充要条件。因此，有关函数极限定理 的证明可借助已知相应的数列极限定理予以证明。例如的证明可借助已知相应的数列极限定理予以证明。例如 证明证明 Prop 5 :，且且可可不不妨妨设设，对对任任意意00,x

21、xxxxnnn ,)(),()()(),(00AxfxhxgxfxxOxnnnnn以以及及，有有AxgnAxhnn )(,)(由由数数列列极极限限性性质质得得）（)7).()(0propxxAxgn这里两次使用了），因之（Prop 7 的意义的意义(2) 应用应用 Prop 7 可证明某些函数的极限不存在。可证明某些函数的极限不存在。YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限 ，且且某某个个数数列列若若00,lim,.1xxxxxCorollarynnnn 也也不不存存在在极极限限。在在点点不不存存在在极极限限，则则而而0)()(xxfxfn ,lim,.20/xxxxCoro

22、llarynnnn且且与与某某两两个个数数列列若若Bxfxxxxxxnnnnnn)(lim,lim0/0/0，分分别别有有与与不不存存在在极极限限。在在点点则则且且与与0/)(,)(limxxfCBCxfnn两个推论两个推论YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限上上每每在在是是无无理理数数当当，是是有有理理数数，当当函函数数证证明明例例RxxxDDirichlet,0, 1)(. 9一点都不存在极限。一点都不存在极限。 有有且且取取有有理理数数列列证证明明：对对,lim,.000 xrxrrRxnnnn 有有且且取取无无理理数数列列,lim,; 1)(lim00 xsxss

23、rDnnnnnn的的点点的的极极限限不不存存在在。由由在在由由此此，00)(. 0)(limxxxDsDnn。上上每每一一点点都都不不存存在在极极限限在在任任意意性性，RxD)(YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限则则若若运运算算法法则则,)(lim,)(lim. 100BxgAxfxxxx ,)()(lim0BAxgxfxx ,)()(lim0ABxgxfxx .0)()(lim0）（ BBAxgxfxx推推广广至至有有限限多多个个情情形形. 1何何？条条件件不不成成立立时时结结论论如如. 2 ，有有且且，对对任任意意证证明明：由由00,lim,7xxxxxpropnn

24、nn而由数列除法运算有.)(lim,)(limBxgAxfnnnn.7)()(lim得得证证，故故再再由由 propBAxgxfnnn 函数极限的运算法则YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限,)(, 0)(lim. 2000）在在某某区区间间（若若运运算算法法则则xxxgxfxx.0)()(lim,000 xgxfxxxx则则）有有界界（. 0,)()(MMxgxg在在给给定定区区间间内内有有界界，有有证证明明：由由已已知知，101000)(0)(0 xxxxxf，当，当，由，由对对时，时，则当，则当取取时，有时，有*01*0),min(.)( xxxf.)()()()(

25、Mxgxfxgxf 有有YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限,01sinlim.100 xxx例例则则，且且）若若例例如如：（,)(lim,)(limBABxgAxfixx .66.).()(0PxgxfXxX时，有，当）内内有有界界，则则，在在（且且）若若（ axgxfiix)(, 0)(lim. 0)()(lim xgxfx，当当则则或或若若0),()(lim)(00 BABAxfiiixx.)()(00etcBxfBxfxxx）（或时，有.)0lim,1sin(0 xxx有有界界因因YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限都是多项式函数且其中）（）

26、（求例)(),(,lim.11xQxPxQxPax. 0)( aQ.)()(limlimaQaPxQxPaxax ）（）（解解：原原式式YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限.)1 ()1 (lim.1220 xnxmxmnx求例! 3)2)(1(2) 1(lim2320nnxxmxmnnnmnn解解：原原式式! 3)2)(1(2) 1(232mmxnxnmmmnmm.2)()02) 1()02) 1(22mnmnnmmmnn YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限334434lim.13xxx例例. 13141lim3344xxx11lim.141nm

27、xxx例)1(1)1(1lim21211 nnmmxxxxxxx）（）（.nm YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限五、函数值趋于无穷大五、函数值趋于无穷大, 0, 0,)()(lim000 xxxaAxfax（定定数数前前面面已已定定义义)(0axxfA时时，称称函函数数），特特别别，当当，易易证证是是无无穷穷小小（量量）.0)(lim)(lim ）（AxfAxfaxax），其中），其中（）（可表为可表为xAxfxf )(）是是无无穷穷小小。）（axxYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限,0,0,0)(lim00时时当当xxGxfxx).()(.)

28、(0或发散到无穷大趋于无穷大在点称有xxfGxf等等不不同同过过程程，类类似似可可定定义义 , 0, 000 xxx种种）的的无无穷穷大大。如如（共共 18.)(, 0, 0)(limGxfXxXGxfx 时时，有有当当Def时时，当当00, 0, 0)(lim0 xxGxfxx.)(Gxf有有正无穷大时时，当当00, 0, 0)(lim0 xxGxfxx.)(Gxf有有负无穷大YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限的某的某反之，若在反之，若在，则，则若若0. 0)(1lim)(lim. 800 xxfxfpropxxxx），且且）（）无无零零点点（本本身身除除外外）个个邻

29、邻域域内内（0.,.0 xfeixfx.)(1lim0)(lim00 xfxfxxxx，则则由由定定义义立立证证。讨讨论论）对对无无穷穷大大的的一一些些性性质质（仅仅0 xx YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限时时）满足：当）满足：当（，而，而若若00)(lim. 90 xxxgxfpropxx.)()(lim00 xgxfCxgxx，则，则）（有有1010, 0)(lim, 00 xxxfGxx当当，由由证证明明：时时，有有则则当当取取时时*01*0),min(.)(,xxGxf.)()(CGxgxfYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限0lim)

30、(lim.00BxgxfCorollaryxxxx）（，).43.()()(lim0pxgxfxx)()()(lim.10000本本身身除除外外的的某某个个邻邻域域内内在在，而而若若xxxgxfpropxx.)()(lim0 xgxfxx有有界界，则则差差可可能能不不是是无无穷穷大大。注注：两两个个无无穷穷大大之之和和或或)( ,)(, 1)( xxxgxxf)0( ,1)(,1)( xxxgxxf大大。商商则则不不然然。两两个个无无穷穷大大之之积积是是无无穷穷YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限).1(lim.1510aaxx例) 1(lnln,log1, 01GGax

31、xGaGGax不不防防设设得得由由.,0, 0lnln1GaxGax有有时时则则当当取取证明：证明：YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限.11lim.161xxx例由由即即证证明明：先先限限定定, 0. 10, 110Gxx.11,11.,.,1111GxGxeiGxxx得得时时当当取取)11 (10).1, 1min(xxG得得即即另另证证：,121,12111xGGxxx.12.121GGx取取YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限), 0, 0(lim.1700110110Nnmbabxbxbaxaxammmnnnx例., 0,lim001010

32、时时时nmnmnmbaxbxbbxaxaaxmmnnmnxYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限六、两个常用的不等式和两个重要的极限六、两个常用的不等式和两个重要的极限.sin,. 1xxRx有对.0.tan,22时时成成立立等等号号仅仅当当有有时时当当xxxx如如图图，单单位位圆圆中中,AOCOABAOBSSS扇扇形形xyoBCAx11YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限时时，故故当当20.tan2121sin21.,.xxxxei时时，；当当有有02tansinxxxx.tan)tan(sinsin20 xxxxxx）（时时，得得有有.0.tans

33、in2时时成成立立等等号号仅仅当当时时，故故当当xxxxx.21sin2证证毕毕时时，又又xxxYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限1sinlim.20 xxx除除之之得得用用时时且且当当xxxxxxsin.tansin,02xxxcos1sin1 orxxxcossin1 . 0212sin2cos1sin1022xxxxx从从而而.1sinlim0 xxx由由此此可可得得.1tanlim0 xxxYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限.)11 (lim. 3exxx 故故因因为为情情形形先先讨讨论论, 1.xxxx .1111111xxx .)11

34、 ()11 ()111 (1xxxxxx从从而而YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限 ,)111 ()111 (lim1exxxx 又又 .)11 ()11 (lim得证得证exxxx，则则作作代代换换情情形形其其次次讨讨论论yxx.yyyyxxyyx)111 (lim)11 (lim)11 (lim .)111 ()111 (lim1证证毕毕eyyyy则则令令,1yx .)1(lim10eyyyYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限.2122sin21lim2sin2lim20220 xxxxxxxxxsinsinlim0nxmxxsinsinlim

35、020cos1lim.18xxx例例. 1sinsinsinsinlim0 xxxxx)0,(.sinsinlim0nmnmnxnxmxmxnmxYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限，有有除除证证明明：用用xxfxsin)(0 xnxaxxaxxaxxfnsin2sinsin)(21. 1sinxx. 1sin2sin2sin121 xnxnaxxaxxan即即.12021 nnaaax，得得令令,sin2sinsin)(.192121aanxaxaxaxfn其其中中设设例例证证明明有有为为常常数数，且且.sin)(,xxfRxan. 1221nnaaaYunnanUni

36、versity2. 函数的极限函数的极限2)11(lim22xxxx.2eee 2120)31 (iml.20 xxx例.)31(lim3331202exxx22222221111lim1111limxxxxxxxxxYunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限七、数列的子列的极限七、数列的子列的极限子子列列.1.121211是是两两子子列列和和数数列列nnn，561052,xxxx项项，如如往往右右任任意意选选取取无无穷穷多多个个中中，保保持持原原来来次次序序自自左左,21nxxx的的子子列列，表表示示为为：所所组组成成的的数数列列称称为为nx，knnnxxx,21:nx在在数数列列YunnanUniversity2. 函数的极限函数的极限.knki