利用轴对称求最短问题的变式探究

1、利用轴对称求最短问题的变式探究案例背景：每年中考将至时，我们都在思考这样一个问题：在这短暂的时间里，如何打开学生的解题思路，提高学生的解题能力？我认为：加强变式探究是一个行之有效的办法。 所谓“变式探究”,实质是根据学生的身心特点在设计问题的过程中，创设认知和技能的最近发展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动，发展能力。“变式” 已经成为中学数学教学中的热点，每年的中考试题中都有一些“似曾相识题”，这种“似曾相识题”实际上就是“变式”。在复习利用轴对称求最短问题时,我做了如下尝试:首先出示一道利用轴对称求最短问题的中考题,结果大部分学生束手无策.习题如下:（2008年南通）如图，四边形ABCD

2、中，ADCD，DABACB90°，过点D作DEAC，垂足为F，DE与AB相交于点E. （1）略 （2）已知AB15cm，BC9cm，P是射线DE上的动点.设DPxcm（x0），四边形BCDP的面积为ycm2.略；当x为何值时，PBC的周长最小，并求出此时y的值. 点评:本题是初一所学习的轴对称知识中一道练习题演化而来,学生忘记了这一知识点就会无从下手。为了唤起学生对知识点的回忆，让学生能做到举一反三、应对自如，不因考察的知识点的背景改变而焦头烂额，我带领学生一起回忆了这么一道基础题。基本题:如图（1），要在公路道a上修建一个加油站，有，两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，

3、可使两人到加油站的总路程最短？你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?a·A·B图1·A·Ba·AM图2·A·Ba·AMN图3思路分析：如图2，我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点M，使AM与BM的和最小。设A是A的对称点，本问题也就是要使AM与BM的和最小。在连接AB的线中，线段AB最短。因此，线段AB与直线a的交点C的位置即为所求。如图3，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N，连接AN、BN、AN。因为直线a是A，A的对称轴，点M,N在a上，所以AM= AM,AN

4、= AN。AM+BM= AM+BM= AB在ABN中，ABAN+BNAM+BMAN+BN即AM+BM最小。点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：BC9（定值），PBC的周长最小，就是PBPC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PBPA最小.此时DPDE，PBPAAB.由ADFFAE，DFAACB90°，得DAFABC. EFBC，得AEBEAB，EF.AFBCADAB，即69AD15.AD10. RtADF中，AD10，AF6，DF8.DEDFFE8.当x时，PBC的周长最小， y值

5、略。数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。一、 两条直线间的对称题目1 如图，在旷野上，一个人骑马从A出发，他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水，然后返回A地，问他应该怎样走才能使总路程最短。ACBEDBCa1a2AAA点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A作a1的对称点A，作

6、a2的对称点A,连接AA交a1、a2于B、C,连接BC.所经过路线如图5： A-B-C-A,所走的总路程为AA。第1题图第2题图二、三角形中的对称题目2 如图,在ABC中,AC=BC=2,ACB=90°,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是_点评：本题只要把点C、D看成基本题中的、两镇，把线段AB看成燃气管道a，问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。三、四边形中的对称题目3 如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊

7、性质，点D关于直线AC的对称点正好是点B，最小值为MB10。MADBCN第3题图第4题图四、圆中的对称题目4 已知：如图，已知点A是O上的一个六等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若O的半径长为1，求AP+BP的最小值。EFGBAC·BH点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B的对称点B在圆上，AB交ON于点p,由AON60°, BON30°，AOB90°，半径长为1可得AB。当点P运动到点p时，此时AP+BP有最小值为 hAB第5题图1第5题图2 五、立体图形中的对称题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A处，它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物，已知盒高h10cm，底面圆的周长为32cm，A距离下底面3cm请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm点评：如图2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B关于EH的对称点B,作ACGH于点C,连接A B。在RtA BC中，AC16, BC12,求得A B20，则蚂蚁爬行的最短路程为20cm。通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题时学生就不会不知所措。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生的应变能力。综上所述，引