八年级轴对称专题课讲义

1、轴对称【知识梳理】一、轴对称与轴对称图形的区别与联系: 二、轴对称的性质:1. 关于某条直线对称的两个图形是 _。(全等图形一定轴对称吗?2. 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的 _。3. 两个图形关于某直线对称, 如果它们的对应线段或延长线相交, 那么交点在 _上。【典型题型】轴对称、中心对称题型的识别:例 1、 (2010 兰州观察下列银行标志,从图案看既是轴对称图形也是中心对称图形的有 (个. A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个练习 1、写出以下轴对称图形的对称轴条数: (1直线 _ (2线段 _ (3角 _ (4圆 _(5等腰三角形 _ (6等边三

2、角形 _作已知图形的轴对称图形例 2、 (2009 四川眉山, 19 在 33 的正方形格点图中, 有格点 ABC 和 DEF , 且 ABC 和 DEF 关于某直线成轴对称,请在右面的备用图中画出所有这样的 DEF 。 练习 2、画出以下图形的轴对称图形 : 轴对称的概念和性质应用例 3、下列命题中 , 说法正确的是 ( A 两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形 C 关于某直线对称的两个三角形全等D 关于某直线对称的两个三角形不一定全等练习 3、 1、下列说法中 , 正确的有( (1 . 两个关于某直线对称的图形是全等形 ;(2两个图

3、形关于某直线对称 , 对称点一定在直线两旁 ;(3两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 ; (4平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称 . A 0个 B 1个 C 2个 D 3个图形的“折叠”问题例 4、 (2009 江苏, 26将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的 点 F 处,折痕为 BE (如图 ;再沿过点 E 的直线折叠,使点 D 落在 BE 上的点 D '处,折 痕为 E G (如图 ;再展平纸片(如图 .求图中 的大小.练习 4、 矩形纸片 ABCD 的边长 AB =4, AD =2.将矩形纸片沿 EF 折叠,使点 A

4、与点 C 重合, 折叠后在其一面着色 (如图 ,则着色部分的面积为( B (A 8 (B112(C 4 (D52E D C F B A图 D C A B F 'A D E C 图 图 AE(第 11题利用对称轴解决几何最值问题例 5、在一平直河岸 l 同侧有 A , B 两个村庄, A , B 到 l 的距离分别是 3 km和 2 km, AB= a km(a >1 .现计划在河岸 l 上建一抽水站 P ,用输水管向两个村庄供水.方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图 13-1是方案一的示意图,设该方案中管道 长度为 d1,且 d1=PB+BA(km (其中 BP l

5、于点 P ;图 13-2是方案二的示意图,设该方 案中管道长度为 d2 ,且 d2=PA+PB(km (其中点与点 A 关于 l 对称, B 与 l 交于点 P . 观察计算(1在方案一中, d1= _km(用含 a 的式子表示 ;(2在方案二中,组长小宇为了计算 d2的长,作了如图 13-3所示的辅助线,请你按小宇 同学的思路计算, d2=_km(用含 a 的式子表示 .练习 5、如图 , 正方形 ABCD 的边长为 8, M 在 DC 上,且 DM=2, N 是 AC 上的一动点, DN+MN的最小值为 _。 全等三角形解题能力提升1. 全等三角形的性质(1全等三角形中,对应边相等,对应角

6、相等。2全等三角形的对应线段(对应边上的中线,对应边上的高,对应角的平分线相等。 (3全等三角形的周长相等,面积相等。 2. 全等三角形的五种判定公理:(1三边对应相等的两个三角形全等, “边边边” (SSS ;(2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等, “边角边” (SAS ; (3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等, “角边角” (ASA ; (4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等, “角角边” (AAS ; (5斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等, “斜边,直角边” (HL 一、挖掘“隐含条件”判全等 【 提示 】 :公共边,公共角,对顶角这些都是隐含的

7、边,角相等的条件 1.如图(1, AB=CD, AC=BD,则 ABC DCB 吗 ? 说说理由二、添条件判全等 【 提示 】 :添加条件的题目 . 首先要找到已具备的条件 , 这些条件有些是 题目已知条件 , 有些是图中隐含条件 . 如图,已知 AD 平分 BAC , 要使 ABD ACD ,需要哪些条件?三、熟练转化“间接条件”判全等如图(4 AE=CF, AFD= CEB , DF=BE, AFD 与 CEB 全等吗?为什么? 四、条件比较隐蔽时,可通过添加辅助线如图 3, AB=AC, 1= 2. 求证:AO 平分 BAC21COB A图 3构造全等三角形的主要方法 常见的构造三角形全

8、等的方法有以下三种： 涉及三角形的中线问题时，采用延长中线一倍来构造一对全等三角形； 涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线来构造一对全等三角形； 证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法来构造一对全等三角形； （1）利用中点（中线）构造全等 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利 用的思维模式是全等变换中的“旋转” 。 例 1：如图，已知 ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上 的中线。求证： ABC 是等腰三角形。 （2）利用角平分线构造全等 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三 角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 例 2：已知，如图，AC 平分BAD，CD=CB，AB>AD。 求证：B+ADC=180°。 （3）用“截长补短”法构造全等 证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形。 具体作法是在某条线段上截取一