解三角形实际应用

1、解三角形的实际应用参考答案与试题解析1如图，从气球A测得正前方的济南全运会东荷、西柳两个场馆B、C的俯角分别为、，此时气球的高度为h，则两个场馆B、C间的距离为（）ABCD1、解：过A作垂线AD交CB于D，则在RtADB中，ABD=，AB= 又在ACB中，ACB=，BAC=，由正弦定理，得BC=即两个场馆B、C间的距离为故选：B2一张1.4m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8m，问观察者应站在距离墙多少米处看图，才能最清新（即视角最大，视角是指观察图片上底的视线与下底的视线所夹的角）（）A1.0B1.6C2.0D2.42、解：由题意，设观察者距离画的距离为xm，视角为，如图则ta

2、n=tan（BAD）=， 当且仅当x=时，即x=2.4m时，tan有最大值，因此有最大值，所以观察者应站在距离墙2.4米处看图，才能最清新；故选D3已知A、B两岛相距100km，B在A的北偏东30°，甲船自A以40km/h的速度向B航行，同时乙船自B以30km/h的速度沿方位角150°（即东偏南60°）方向航行，当两船之间的距离最小时，两船合计航行距离（）A等于kmB小于100kmC大于100kmD等于100km3、解：由题意得，两船航行方向所在直线的夹角为60°，令航行时间为t小时，此时两船之间的距离为skm，则甲船到B的距离为（10040t）km，乙

3、船离B的距离为30tkm，由余弦定理可得s2=（1004t）2+（30t）22×30t×（10040t）cos60°=3700t211000t+10000t=时，s2取得最小值，即s取得最小值，此时两船合计航行距离为40t+30t=km100km，故选：C4如图，在RtABC中，C=90°，D为BC上一点，DAC=30°，BD=2，AB=，则AC的长为（）AB3CD4、设AC=x，则BC=2+xAC2+BC2=AB2x2+（2+x）2=12解得x=或2（舍去）故选C6在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到C

4、点的距离AC=BC=2km，且ACB=120°，则A，B两点间的距离为（）AkmB2kmC2kmD2km考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：解三角形分析：直接利用与余弦定理求出AB的数值解答：解：根据余弦定理 AB2=a2+b22abcos，AB=2（km）故选：B点评：本题是基础题，考查余弦定理的应用，考查计算能力7（2009武汉模拟）轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是（）A35海里B35海里C35海里D70海里考点：解三角形的实际应用菁

5、优网版权所有专题：应用题分析：题意可得，AC=50，BC=30，ACB=120°，作出示意图，由余弦定理可得AB2=AC2+BC22ACBCcosBCA可求AB，即两轮船的距离解答：解：由题意可得，AC=50，BC=30，ACB=120°由余弦定理可得，AB2=AC2+BC22ACBCcosBCA=4900AB=70海里故选：D点评：本题主要考查了余弦定理在解决实际问题中的应用，解答此类问题的关键是要把实际问题转化为数学问题并能利用数学知识进行解答8如图甲、乙二人同时从A点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30°方向走，当乙走了2千米到达B点时，甲走到了C点，两

6、人距离BC=千米，那么这时甲走的距离AC为（）A2千米B2千米C千米D1千米考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：解三角形分析：直接利用余弦定理求出AC的距离即可解答：解：由题意可知：BC2=AB2+AC22ABACcosBAC，AB=2，BC=，BAC=60°3=4+AC22×2ACcos60°解得AC=1千米故选：D点评：本题是基础题，考查余弦定理的应用，考查计算能力10在20米高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度是（）A20（1+）B20（+）C10（+）D20（1+）考点：解三角形的实际

7、应用菁优网版权所有专题：计算题分析：由题意，AB=20米，DAE=60°，DAC=45°，可先在直角三角形ABC中求出BC，再由ADCE，得出DC，AD的长度，再求出DE即可得出塔吊的高度解答：解：由题意，AB=20米，DAE=60°，DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米再由，DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=，AD=20塔高为DE+CD=20+20 =20（+1）故选D点评：本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般

8、是求距离（长度问题，高度问题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角11（2011安徽模拟）如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高PQ为（）ABCD考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题；应用题分析：PAB中，由正弦定理可得 PB=，根据PQ=PC+CQ=PBsin+asin 通分化简可得结果解答：解：PAB中，PAB=，BPA=（）（）=，=，即PB=PQ=PC+CQ=PBsin+asin=，故选 B点评：本题考查正弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，求出 PB=，是解题的关键12如图，

9、当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往B处救援，则sin的值等于（）ABCD考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：应用题分析：先根据题意做出图象，在ABC中，利用 余弦定理求得BC，然后根据正弦定理求得sinACB，则cosACB可得，进而利用sin=sin（30°+ACB）根据正弦函数的两角和公式解决解答：解：根据题目条件可作图如图：在ABC中，AB=20，AC=10，CAB=120°，由余弦定理有BC2=A

10、C2+AB22ACABcosCAB=202+1022×20×10cos120°=700，BC=10，再由正弦定理得=，sinACB=，cosACB=所以sin=sin（30°+ACB）=sin30°cosACB+cos30°sinACB=×+×=故选D点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力13（2009温州一模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°

11、，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A（米/秒）B（米/秒）C（米/秒）D（米/秒）考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题；应用题分析：先根据题意可知DAB，ABD和ADB，AB，然后在ABD利用正弦定理求得BD，进而在RtBCD求得CD，最后利用路程除以时间求得旗手升旗的速度解答：解：由条件得ABD中，DAB=45°，ABD=105°，ADB=30°，AB=10，由正弦定理得BD=AB=20则在RtBCD中，CD=20×sin60°=30所

12、以速度V=米/秒故选A点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生分析问题和基本的推理能力，运算能力14（2009韶关二模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A10米B30米C10米D米考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题；数形结合分析：先画出示意图，根据题意可求得AEC和ACE，则EAC可求，然后利用正弦定理求得AC，最后在RtABC中利用AB=ACsinACB求得答案解答：解：如图所

13、示，依题意可知AEC=45°，ACE=180°60°15°=105°EAC=180°45°105°=30°由正弦定理可知=，AC=sinCEA=20米在RtABC中，AB=ACsinACB=20×=30米答：旗杆的高度为30米故选B点评：本题主要考查了解三角形的实际应用此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决15（2010武汉模拟）飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，

14、那么丙地距甲地距离为（）A1400kmB700kmC700kmD1400km考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题；数形结合分析：设A，B，C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D，则BAD和DBC可知，进而求得ABC=60°判断出三角形为正三角形，进而求得AC解答：解：依题意，设A，B，C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D，则BAD=75°，DBC=75°ABC=75°15°=60°AB=BC=1400ABC为正三角形AC=1400千米故选A点评：本题主要考查了解三角形的应用要注意特殊三角形的运用

15、16（2011大连二模）已知A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15o且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（）A5kmBkmC4kmDkm考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题分析：先画出简图求出角A的值，再由余弦定理可得到AB的值解答：解：依题意可得简图，可知A=150°，根据余弦定理可得，AB2=BC2+AC22BC×ACcosC=16，AB=4故选C点评：本题主要考查余弦定理的应用属基础题主要在于能够准确的画出图形来17如图，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船在方位角45&

16、#176;方向，相距10海里的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的速度行驶，救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救，则救生艇与呼救船在B处相遇所需的最短时间为（）A小时B小时C小时D小时考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题分析：设所需时间为t小时，在点B处相遇则可求得AB和BC，进而利用余弦定理建立等式求得t解答：解：设所需时间为t小时，在点B处相遇在ABC中，ÐACB=120°，AC=100，AB=21t，BC=9t，由余弦定理：（21t）2=102+（9t）22×10×9t×cos120

17、6;整理得：36t29t10=0 解得：t=或（舍负）故救生艇与呼救船在B处相遇所需的最短时间为故选D点评：本题主要考查了解三角形的实际应用解题的关键是利用了余弦定理，利用已知的边和角建立方程求得时间18（2010江门一模）海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是（）A100海里B200海里C100海里或200海里D海里考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题分析：先根据正弦定理求得sinB的值，进而确定B的值，最后根据B的值，求得AB解答：解：设基地为与O处，根据正弦定理可

18、知=sinB=OA=B=60°或120°当B=60°，BOA=90°，A=30°BA=2OB=200当B=120°，A=B=30°OB=AB=100故渔船B与救护船A的距离是100或200海里故选C点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生转化和化归思想和逻辑思维的能力19甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A分钟B分钟C21、5分钟D2、15分钟考点：解三角形的

19、实际应用菁优网版权所有专题：计算题分析：设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案解答：解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC=104x，BD=6X，CBD=120°CD2=BC2+BD22BC×BD×cosCBD=（104x）2+36x2+2×（104x）×6x×=28x220x+100当x=小时即分钟时距离最小故选A点评：本题主要考查余弦定理的应用，关键在于画出图象属基础题20一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西7

20、5°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A海里/时B34海里/时C海里/时D34海里/时考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：应用题分析：根据题意可求得MPN和，PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案解答：解：由题意知MPN=75°+45°=120°，PNM=45°在PMN中，由正弦定理，得=，MN=68×=34又由M到N所用时间为1410=4（小时），船的航行速度v=（海里/时）；故选A点评：本题主要考查了解三角形的实际应

21、用考查了学生分析问题和解决问题的能力21一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）A5海里B5海里C10海里D10海里考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题分析：如图，依题意有BAC=60°，BAD=75°，所以CAD=CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，由此能求出这艘船的速度解答：解：如图，依题意有BAC=60°，BAD=75°，所以CAD=C

22、DA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是=10（海里/小时）故选C点评：本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用23一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（）A10海里B10海里C20海里D20海里考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先根据题意画出图象确定BAC、ABC的值，进而可得到A

23、CB的值，最后根据正弦定理可得到BC的值解答：解：如图，由已知可得，BAC=30°，ABC=105°，AB=20，从而ACB=45°在ABC中，由正弦定理，得故选A点评：本题主要考查正弦定理的应用考查对基础知识的掌握程度24（2010武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（）A2或B2CD3考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求得x的值解答：解：如图，AB=x，BC=3，AC=，AB

24、C=30°由余弦定理得3=x2+92×3×x×cos30°解得x=2或x=故选A点评：考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形根据数据特点选择合适的定理建立方程求解25如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是，（），则A点离地面的高度AB等于（）ABCD考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题分析：设AB=x，在直角三角形ABC中表示出BC，进而求得BD，同时在RtABD中，可用x和表示出BD，二者相等求得x，即AB解答：解：设AB=x，则在RtABC中，CB=BD=a+在RtABD中，B

25、D=a+=，求得x=故选A点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生分析问题和解决问题的能力26在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（）AmBmCmDm考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题分析：先画出简图，然后从塔顶向山引一条垂线CM，根据根据直角三角形的正切关系得到AB=BD×tan60°，AM=CM×tan30°，进而可得到AM的长，再相减即可解答：解：依题意可得图象，从塔顶向山引一条垂线CM则AB=BD×tan60°，AM=CM×ta

26、n30°，BD=CMAM=所以塔高 CD=200=m故选A点评：本题主要考查构造三角形求解实际问题属基础题27如图，C、B、D三点在地面同一直线上，A点在D点的正上方，AD=h，从A处测得河流的两岸B、C的俯角分别是、，则河流的宽度BC等于（）ABCD考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：计算题；解三角形分析：在直角三角形ABD和直角三角形ACD中，求得BD，CD，再由BC=CDBD，运用同角公式和两角差的正弦公式，化简即可得到解答：解：在直角三角形ABD中，ABD=，AD=h，则BD=，在直角三角形ACD中，ACD=，AD=h，则CD=，故BC=h（）=h=故选C点评：本题考查解三角形的实际应用，考查运用直角三角形的正切函数的定义，考查两角差的正弦公式和同角的商数关系，属于中档题29A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西6