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1、第3章 复变函数的积分3.1 复变函数积分、柯西积分定理与解析函数的导数复变函数的积分本质上是二元函数的第二类线积分. 积分时用到3-1 设是，从到的一周，则（ ）. （A） （B） （C） （D） 解 故 选（D）. 3-2 （ ）. （A） （B） （C） （D） 解 原式 选（D）. 这些题均可用留数做，在这里是为了熟悉柯西积分公式及复合闭路定理. 3-3 （ ）. （A）0 （B） （C） （D）解 ，在内被积函数有2个奇点：和，故原式 选（B）. 3-5 （ ）.（A）0 （B） （C） （D） 解 和都是奇点，故 原式. 选（C）. 高阶导数公式. 3-6 （ ）.（A） （B）

2、（C） （D） 解 原式 选（C）.用二阶导数算. 3-7 （ ）. （A）0 （B） （C） （D） 解 原式 选（D）. 二阶导数公式及3-8 设，试求及的值. 解 又 ，故 ,故将化为再做积分. 3-9 计算，其中是常数. 解 设，则于是 若 时，原式当 时，原式3.2 解析函数与调和函数 3-11 如果是解析函数，试证：（1）也是解析函数.（2）是的共轭调和函数. 证 （1）是解析函数. （2）为解析函数，故是的共轭调和函数. 注意解析函数与调和函数的关系. 3-12 求的共轭调和函数.解 ，故，故是调和函数，以下求.由C-R条件得可用以下三种方程求. 1.（凑全微分法）故 2.（偏积

3、分法） 故 因此 3.（线积分法）由于是全微分表示式，故 3-13 设是上半平面的解析函数，求 解 ，求，用偏积分法：，故故 是实常数）或 ，其中，是实常数. 这里有两个待定的函数.首先要是调和函数，而是的共轭调和函数.3-14 若解析且，求实函数及.解 ，调和，故由C-R条件，而 因此 由得由得，故，； 3-15 设解析，且，求 解 故解析函数的虚部为0，从而有 是实常数，于是由此 （是复常数） 通过做这些题，熟悉解析函数与调和函数之间的关系.3-16 设在内解析，在上连续，且在上，证明 证 （） 用关于解析函数的柯西积分公式来证明调和函数的平均值公式，使证明过程简单. 3-17 如果是区域

4、内的调和函数，为内以为圆心的正向圆周：，它的内部全含于，试证：（1）即调和函数在任一点的值，等于它在圆周上的平均值.（2） 证 （1）由柯西公式：在上，故由于即的实部，故有 (2) 这个积分实际是在圆域：上的平均值. 3-18 如果在区域内解析，为内的正向圆周：，它的内部全含于，设为内一点，证明 证 被积函数为，由于，表示是圆外一点，故在圆内处处解析，因此至此，得出的一种积分表示式.3-19 条件如上题，证明 证 由及 ，得 便是所要证明的结论. 泊松积分公式作为圆内调和函数，在圆上满足已知条件的泊松问题的解即的已知的）的解.3-20 证明泊松（Poisson）积分公式：这里，是调和函数，这个公式表示：调和函数在圆内（）任一点的值

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