第4章 连续时间信号与系统的复频域分析

1、第第4章章 连续时间信号连续时间信号与系统的复频域分析与系统的复频域分析傅立叶变换分析法在信号的分析处理方面，傅立叶变换分析法在信号的分析处理方面，尤其是在分析谐波成分、系统的频率响应、尤其是在分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、抽取、滤波等方面十分有效。波形失真、抽取、滤波等方面十分有效。但傅立叶变换分析法也存在着一些缺点但傅立叶变换分析法也存在着一些缺点傅立叶变换分析法缺点：傅立叶变换分析法缺点：(1)(1)信号信号f(t)f(t)必须满足狄里赫勒条件。必须满足狄里赫勒条件。对于一些信号如阶跃信号对于一些信号如阶跃信号(t)(t)、斜坡信号、斜坡信号t(t)t(t)、单边正弦信号、单边

2、正弦信号sint(t)sint(t)等，它们不等，它们不满足绝对可积条件，因而不能从定义导出其傅满足绝对可积条件，因而不能从定义导出其傅氏变换。氏变换。虽然可以通过求极限的方法求出其傅氏变换，虽然可以通过求极限的方法求出其傅氏变换，但变换式中常有冲激函数，不利于分析计算。但变换式中常有冲激函数，不利于分析计算。对于一些信号如单边指数信号对于一些信号如单边指数信号e e-at-at(t)(a0)(t)(at-或或t-t-时，时，f(t)f(t)不趋于零。如果用一个实指数函不趋于零。如果用一个实指数函数数e e-t-t去乘去乘f(t)f(t)，只要，只要的数值选择适当，就可以的数值选择适当，就可以

3、克服这个问题。克服这个问题。例如，对于信号例如，对于信号傅里叶变换存在。傅里叶变换存在。满足绝对可积条件，其满足绝对可积条件，其即信号即信号，就可以得到，就可以得到，并满足，并满足乘以乘以若若ttttatetfetfaetfatetf )(0)(lim)()0()()()()1( )( ) ( )( )( ),()( )()1( )()()2,1( )ttttj tjtjttj ttf tef t ef t ef t eedtf t edtjFjf t edtFjf t eFjFjedef t FF乘乘以以收收敛敛因因子子后后的的信信号号的的傅傅立立叶叶变变换换为为它它是是的的函函数数 可可写

4、写成成的的傅傅氏氏反反变变换换为为将将上上式式两两边边乘乘以以便便得得到到()2tj tFje ed -1( )( )1( )( )2( )( )( ) ( )( )( )( )( ),(,)stjstjF sf t edtf tF s e df tF sf tf tF sf tsjdsjdsjsjF sfF sF st LLL第第一一个个式式子子是是的的双双边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换，称称是是的的令令从从而而当当时时于于是是上上式式变变为为上上两两式式是是一一对对拉拉普普拉拉斯斯变变象象函函数数，记记为为。第第二二个个式式子子是是的的拉拉普普拉拉斯斯反反变变换换，称称是是的的原原换换式式函

5、函数数，。即即记记。为为而而-1)( )( )( )( )(f tf tF sf tF sF s L也也可可用用双双箭箭头头表表示示和和是是一一对对拉拉普普拉拉斯斯变变换换和和可以看出傅立叶变换是时间域函数可以看出傅立叶变换是时间域函数f(t)f(t)和和频率域函数频率域函数F()F()之间的变换，其中时域变之间的变换，其中时域变量量t t和频域变量和频域变量都是实数。傅氏变换建立都是实数。傅氏变换建立了了时域和频域（时域和频域（域）域）间的联系。间的联系。而拉普拉斯变换是时间域函数而拉普拉斯变换是时间域函数f(t)f(t)和复频和复频率域函数率域函数F(s)F(s)之间的变换，其中时域变量之

6、间的变换，其中时域变量t t是实数，复频域变量是实数，复频域变量s s是复数。拉普拉斯变是复数。拉普拉斯变换建立了换建立了时域和复频域（时域和复频域（S S域）域）间的联系。间的联系。信号信号f(t)f(t)可分解为复指数函数可分解为复指数函数e estst=e=ette ejtjt的线性组合。在这里由于的线性组合。在这里由于可正、可负，可正、可负，也可为零，因此这些复指数函数可以是增也可为零，因此这些复指数函数可以是增幅的、减幅的或等幅的振荡信号，这与傅幅的、减幅的或等幅的振荡信号，这与傅里叶分析中作为基本信号的等幅振荡信号里叶分析中作为基本信号的等幅振荡信号e ejtjt相比，具有更普遍的

7、意义。相比，具有更普遍的意义。复频率函数复频率函数F(s)F(s)与傅里叶变换与傅里叶变换F(j)F(j)相似，相似，是一个频谱密度函数，它反映了信号的基是一个频谱密度函数，它反映了信号的基本特征，因此可以利用拉普拉斯变换在复本特征，因此可以利用拉普拉斯变换在复频域对信号进行分析。频域对信号进行分析。在实际中，信号是有始在实际中，信号是有始( (因果因果) )信号，即信号，即t0t0 0，根据，根据0 0的值可将的值可将S S平面划平面划分为两个区域。分为两个区域。0 0称为收敛横坐标称为收敛横坐标。经过。经过0 0的的垂直线是收敛边界，或称为垂直线是收敛边界，或称为收敛轴收敛轴。 dtetf

8、t|)(| 例例平平面面上上画画出出其其收收敛敛域域。在在双双边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换，并并的的和和反反因因果果信信号号求求因因果果信信号号S)()()()(21tetftetfatat asasFtfaaseassFsFadtedteeasdteedtetfsFtastatatstatst Re)()(1|1)()(|Re)()(110)(110)(0011，或或的的收收敛敛域域为为的的双双边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换存存在在，因因此此时时，积积分分收收敛敛，即即当当时时，有有当当 。，或，或的收敛域为的收敛域为的双边拉普拉斯变换的双边拉普拉斯变换存在，因此存在，因此时，积分收敛，时，积

9、分收敛，即当即当时，有时，有当当asasFtfaaseassFsFadtedteeasdtedteedtetfsFtastatattasstatst Re)()(1|1)()(|Re)()()(220)(220)(00)(022 应应的的。域域才才是是一一一一对对普普拉拉斯斯变变换换连连同同其其收收敛敛任任一一信信号号和和它它的的双双边边拉拉收收敛敛域域。，要要同同时时给给出出解解双双边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换时时但但收收敛敛不不同同，因因此此，求求，的的双双边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换和和从从中中可可以以看看出出，)()()()(2121sFsFtftf 例例平平面面上上画画出出其其收收敛

10、敛域域。并并在在的的双双边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换，求求双双边边信信号号S)()()(3tetetftt sssFdteedteedtetfsFsttsttst11)()()(30033根根据据上上例例，可可得得双边拉普拉斯变换的特点：双边拉普拉斯变换的特点：(1)(1)对于因果信号，双边拉普拉斯变换的收对于因果信号，双边拉普拉斯变换的收敛域是以收敛轴为边界的敛域是以收敛轴为边界的S S平面的右边区域。平面的右边区域。(2)(2)对于反因果信号，双边拉普拉斯变换的对于反因果信号，双边拉普拉斯变换的收敛域是以收敛轴为边界的收敛域是以收敛轴为边界的S S平面的左边区平面的左边区域。域。(3)(3

11、)对于双边信号，双边拉普拉斯变换的收对于双边信号，双边拉普拉斯变换的收敛域是敛域是S S平面的一个带状区域。平面的一个带状区域。4.1.34.1.3单边拉普拉斯变换的收敛域单边拉普拉斯变换的收敛域若满足若满足则则f(t)f(t)的单边拉普拉斯变换的单边拉普拉斯变换F(s)F(s)存在。使存在。使F(s)F(s)存在存在的的取值范围，称为取值范围，称为f(t)f(t)的单边拉普拉斯变换的单边拉普拉斯变换F(s)F(s)的的收敛域收敛域。单边拉普拉斯变换收敛域与因果信号双边拉普拉斯单边拉普拉斯变换收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域是相同的，即单边拉普拉斯变换的收变换的收敛域是相同的，即单边拉

12、普拉斯变换的收敛域为敛域为Res=Res=0 0(0 0为某一确定的实数为某一确定的实数) )它是以收敛轴它是以收敛轴Res=Res=0 0为收敛边界的为收敛边界的S S平面的右边平面的右边区域。区域。0 0与信号与信号f(t)f(t)在在t0t0时的特性有关，信号时的特性有关，信号一经给定，则一经给定，则0 0就是确定的。就是确定的。 0|)(|dtetft 例例 试求下图所示试求下图所示4个信号的单边拉普拉斯变个信号的单边拉普拉斯变换及其收敛域。换及其收敛域。 单边拉普拉斯变换对时间的积分区间为单边拉普拉斯变换对时间的积分区间为00- -, ), )，由，由于图中于图中4 4个信号在个信号

13、在t0t0时的变换规律完全相同，因此，时的变换规律完全相同，因此，这这4 4个信号具有完全相同的单边拉普拉斯变换。个信号具有完全相同的单边拉普拉斯变换。其收敛域为其收敛域为Res-2Res-2或写为或写为-2-2。21)()(020 sdteedtetfsFsttst对于单边拉氏变换收敛域是由对于单边拉氏变换收敛域是由Re(s)Re(s)0 0的的半平面组成，故一般情况下不用注明其收半平面组成，故一般情况下不用注明其收敛域。敛域。在实际应用中，我们一般用因果信号，单在实际应用中，我们一般用因果信号，单边拉普拉斯变换的使用更为普遍。边拉普拉斯变换的使用更为普遍。下面我们重点讨论单边拉普拉斯变换，

14、并下面我们重点讨论单边拉普拉斯变换，并且在不加以特殊说明的情况下，拉普拉斯且在不加以特殊说明的情况下，拉普拉斯变换变换F(s)F(s)均指的是单边拉普拉斯变换。均指的是单边拉普拉斯变换。而双边拉普拉斯变换常用符号而双边拉普拉斯变换常用符号F Fb b(s)(s)来表示。来表示。4.1.44.1.4常用信号的单边拉普拉斯变换常用信号的单边拉普拉斯变换0Re1)(0Re11)(0Re)()()()()(3000 sstssesdtesFsdtettsFttfststst 即即得得时，上式的积分收敛，时，上式的积分收敛，当当、单位阶跃信号、单位阶跃信号L LReRe11)(0Re)()()()(40

15、00)(00000000ssssesssFssdteedtetesFtetftsssttssttsts 得得时，上式的积分收敛，时，上式的积分收敛，当当、单边复指数信号、单边复指数信号 0Re1)(0Re1)()()(Re1)(Re1)()()(00000000 sjstesjstetetfjsasasteasassFtetfastjtjtjatat 的象函数为的象函数为号号为虚数，则得虚指数信为虚数，则得虚指数信若若即即的象函数为的象函数为号号为实数，则得实指数信为实数，则得实指数信若若0Re)(cos0Re)(sin0Re)11(21)(cos0Re)11(21)(sin)()(21)(c

16、os)()(21)(sin)(cos)()(sin)(5202020200202000202000000000000 sssttssttsssjsjsttssjsjsjttteettteejtttttftttftjtjtjtj 即即拉拉斯斯变变换换，得得根根据据虚虚指指数数信信号号的的拉拉普普因因为为、正正弦弦、余余弦弦信信号号L LL L Re1)2(Re11)(Re1)()()()()()2/()(6000ssetgsseessFsdtedtettsFtttgtfssststst 即即收收敛敛，得得为为任任意意值值，上上式式的的积积分分、矩矩形形脉脉冲冲信信号号上面是利用拉普拉斯的定义求出

17、了几种常上面是利用拉普拉斯的定义求出了几种常用信号的象函数。用信号的象函数。下一节介绍拉普拉斯变换的性质时，利用下一节介绍拉普拉斯变换的性质时，利用性质还会求出一些常用信号的象函数。性质还会求出一些常用信号的象函数。这些常用信号和他们的象函数常称作基本这些常用信号和他们的象函数常称作基本变换对。变换对。基本变换对是求解复杂信号的拉普拉斯变基本变换对是求解复杂信号的拉普拉斯变换和利用部分分式法求解拉普拉斯逆变换换和利用部分分式法求解拉普拉斯逆变换的基本，因此应熟练掌握这些基本变换对。的基本，因此应熟练掌握这些基本变换对。拉普拉斯变换建立了信号的时域特性与复频域特拉普拉斯变换建立了信号的时域特性与

18、复频域特性之间的内在关系。当信号在一个域中发生变化性之间的内在关系。当信号在一个域中发生变化时，必然会引起在另一个域中相应的变化。时，必然会引起在另一个域中相应的变化。拉普拉斯变换的性质真实地反映了这些变化之间拉普拉斯变换的性质真实地反映了这些变化之间的对应规律。的对应规律。利用这些性质并结合常用信号的拉普拉斯变换对利用这些性质并结合常用信号的拉普拉斯变换对是求解单边拉普拉斯变换和逆变换的重要方法。是求解单边拉普拉斯变换和逆变换的重要方法。单边拉普拉斯的性质也是分析线性系统的重要基单边拉普拉斯的性质也是分析线性系统的重要基础。础。拉氏变换的性质与傅氏变换类似，某些性拉氏变换的性质与傅氏变换类似

19、，某些性质，只要把傅氏变换的质，只要把傅氏变换的jj变为变为s s即可。即可。但由于傅氏变换是双边的，而拉氏变换是但由于傅氏变换是双边的，而拉氏变换是单边的，所以某些性质又有所区别。单边的，所以某些性质又有所区别。 例例)()()1()(2sFtetft的象函数的象函数求信号求信号 0Re)2(2211)(2Re21)(0Re1)(2 ssssssFsstesstt质质，得得根根据据拉拉普普拉拉斯斯的的线线性性性性因因为为 注：注：如果是两个函数之差，其收敛域有可如果是两个函数之差，其收敛域有可能扩大。能扩大。 如果两个函数经过线性运算后得到的是一如果两个函数经过线性运算后得到的是一个时限信号

20、，则其收敛域将扩大到整个个时限信号，则其收敛域将扩大到整个S平平面。面。 Re)()()2/(0Re1)()(0Re1)(|0stttgssesedtedtettLsstsststst敛域敛域象函数的收象函数的收但但如如 例例)()()3();3()()2();3()()1()3(2122)3(21tetftetftetfttt 斯斯变变换换：求求下下列列信信号号单单边边拉拉普普拉拉2Re21)3()(2Re21)()1(3)3(212 sestetfsstestt 质质，得得根根据据拉拉普普拉拉斯斯的的时时移移性性因因为为2Re22)3()()()3()3()()2()2(336221)3(

21、2622 sseesetetftfteetetfssttt 的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换，得得利利用用因因为为2Re2)()()()()()3(6)3(2226)3(23 ssetetfteetetfttt 所以所以因为因为 22211111ssssssF ( )2cos,( )4f tttF s 已已知知求求。 tttttfsincos4sinsin24coscos2 【例】【例】时移性的一个重要应用是可以方便的求取单边时移性的一个重要应用是可以方便的求取单边周期信号的拉氏变化。周期信号的拉氏变化。因为单边周期信号因为单边周期信号f fT T(t)(t)可表示为可表示为号。号。在第一周期内的

22、脉冲信在第一周期内的脉冲信表示表示式中式中)()()()2()()()(000000tftfnTtfTtfTtftftfTnT 平面。平面。平面的右半平面的右半是以虚轴为收敛边界的是以虚轴为收敛边界的的重复周期，其收敛域的重复周期，其收敛域是周期信号是周期信号，其中，其中除以除以内的脉冲信号象函数内的脉冲信号象函数在第一周期在第一周期号的拉普拉斯变换是它号的拉普拉斯变换是它上式表明，单边周期信上式表明，单边周期信收敛，因此可得收敛，因此可得，上式等比级数，上式等比级数时，时，当当移性质，得移性质，得则根据拉普拉斯变换时则根据拉普拉斯变换时若若S)1()(0Re11)()()1(1|0Re)1)

23、()()(Re)()(002200000TesFsesFtfeeeseesFesFtfssFtfsTsTTsTsTsTsTsTnsnTT L LL L例例 试求信号试求信号 的象函数的象函数F(s)F(s)。00( )( )11( )Re 011()Re 01sTsTnf ttF ssetnTse 由由于于因因此此即即 0)()(nnTttf 例例 试求图周期矩形脉冲信号试求图周期矩形脉冲信号f(t)f(t)的象函数的象函数F(s)F(s)。0Re)1(1111)(1)()1()()(200 sesesesFsesFtttfssss普拉斯变换，可得普拉斯变换，可得根据单边周期信号的拉根据单边周

24、期信号的拉其象函数其象函数由于由于 例例 试求图试求图(a)(a)中所示的正弦半波周期信号的拉中所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。氏变换。考虑单个正弦半波脉冲考虑单个正弦半波脉冲1( )( )( )22sin() ( )sin() ()22abf tftftTTEttEttTT2212222222122222222()()()( )(1)222()()()2()( )1( ) ( )211()2()12()1TsTsTsTsTsTsEEETTTF seesssTTTEF seTF sf teesTETseT L其其拉拉氏氏变变换换因因此此例例0ecos( ) t tt 求求收敛域的公共部分。收

25、敛域的公共部分。和和至少是至少是式中，式中，)()(Re210sFsFs 例例 求图中所示三角脉冲信号求图中所示三角脉冲信号f(t)f(t)的象函数的象函数F(s)F(s)。 Re)1()()()(Re1)()()()()()(*)()(221111000ssesFsFsFssesFsFtttftftftfss 域卷积定理，可得域卷积定理，可得应用拉普拉斯变换的时应用拉普拉斯变换的时为为变换变换，且其拉普拉斯，且其拉普拉斯式中，式中，000( )( )( )( )( )|()( )( )(0 )( )(0 )(0 )(0 )(0 )0( )( )stststnnndf tdf tedtdtdt

26、ef ts ef t dtsF sff tfffffts F s 证证明明同同理理可可得得求求n阶n阶导导数数的的拉拉氏氏变变换换。若若为为因因果果信信号号，即即，因因此此L0( 1)( 2)222( 1)( 2)()1( )()( )( )(0 )(0 )()( )( )(0 )(0 )(0 )()( )tnntntnnnnF sfdsF sfffdsssF sffffdssss 推推广广可可得得例例的的像像函函数数。积积分分性性质质，求求和和拉拉氏氏变变换换的的时时域域利利用用基基本本变变换换对对)()(1)(tttfstn 110111!)(!)(!)()()( !)()(!)()( n

27、nnnntnnnnnnnnsnttsntsnttdntttnttdtdnttdtd 即即质质根根据据拉拉氏氏变变换换的的积积分分性性所所以以由由于于L LL L【例】【例】sss e112( )(1)(1) (1)(1)F sttttt L LL L例例 求图中三个信号求图中三个信号f f1 1(t)(t)、f f2 2(t)(t)、f f3 3(t)(t)的的单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换(1)(1)求求F F1 1(s)(s)由于由于f f4 4(t)(t)是是f f1 1(t)(t)的一阶导数，有的一阶导数，有( 1)444114411( )(0 )( )(0 )( )( )1( )2

28、 (1)( )2(0 )2222(1)( )sssF sfF sfF ssssstfttF sefeeF ssss 利利用用，得得，且且得得(2)(2)求求F F2 2(s)(s)由于由于f f5 5(t)(t)是是f f2 2(t)(t)的一阶导数，的一阶导数，且且f f5 5(-1)(-1)（0 0- -）=f=f2 2(0(0- -)=0)=0，有，有52552( )( )( )2 ( )2 (1)( )222(1)( )ssF sF ssftttF seeF ss 得得(3)(3)求求F F3 3(s)(s)由于由于f f6 6(t)(t)是是f f3 3(t)(t)的一阶导数，有的一

29、阶导数，有6336633( )(0 )( )( )2 ( )2 (1)( )22(0 )12(1)112( )sssF sfF sssftttF sefeeF ssss ，且且得得从结果可以看出，虽然从结果可以看出，虽然f1(t)f1(t)与与f2(t)f2(t)求导求导后的波形不同，但他们却有完全相同的象后的波形不同，但他们却有完全相同的象函数，这是由于在函数，这是由于在t0t0时，时， f1(t)f1(t)与与f2(t) f2(t) 的波形完全相同，所以它们具有相同的单的波形完全相同，所以它们具有相同的单边拉普拉斯变换。边拉普拉斯变换。虽然虽然f1(t)f1(t)与与f2(t)f2(t)求

30、导后的波形相同，但求导后的波形相同，但由于由于f1(t)f1(t)与与f2(t)f2(t)的初始值不同，所以它的初始值不同，所以它们的单边拉普拉斯变换不同。们的单边拉普拉斯变换不同。例例 求图中三角脉冲信号求图中三角脉冲信号f(t)f(t)的象函数的象函数F(s)F(s)22)(1)()(11)(1)()()(astteasasdsdtteastettetfatatatat 即即有有根据复频域微分性质，根据复频域微分性质，因为因为的单边拉氏变换。的单边拉氏变换。求求例例的的重重叠叠部部分分。和和域域是是其其象象函函数数的的收收敛敛应应满满足足绝绝对对可可积积条条件件，式式中中，则则若若、复复频

31、频域域积积分分性性质质0ReRe)()()(Re)()(1000 ssttfdFttfssFtfs )0( )0()(lim)( lim)0( )0()(lim)( lim)0( )(lim)(lim)0(Re)()()()()(11120000)( fsfsFsstfffssFstffssFtffssFtftttfstststn则则，并并且且及及其其各各阶阶导导数数不不包包含含冲冲激激函函数数若若信信号号）初初值值定定理理（、初初值值定定理理和和终终值值定定理理 0000000|1( )( )(0 )( ) |( )( )(0 )lim( )(0 )sttststsedf tsF sff t

32、edtdtdf tsF sfedtdtssF sf 上上式式中中第第一一项项积积分分限限为为到到，整整个个积积分分区区间间内内，所所以以故故上上式式两两边边取取极极限限，令令，则则右右边边积积分分部部分分变变为为零零，故故有有f(t)f(t)不含有冲激及其导数，对应的不含有冲激及其导数，对应的F(s)F(s)是是真分式。真分式。若若F(s)F(s)不是真分式，要将其化为不是真分式，要将其化为F(s)=kF(s)=km ms sm m+k+km-1m-1s sm-1m-1+s+s0 0+F+F0 0(s)(s)其中其中F F0 0(s)(s)为真分式。为真分式。这时这时这是因为这是因为s sm

33、m的反变换为冲激函数及其导数，的反变换为冲激函数及其导数，他们在他们在0 0+ +时刻全为零，不影响时刻全为零，不影响f(0f(0+ +) )的值。的值。0(0 )lim( )sfsFs 022( ) ( ),(0 )34( )( )2,34(0 )lim( )lim43(0 )sssF sf tfsF sF ssfsF sssf L已已知知试试求求初初值值。由由于于不不是是真真分分式式，首首先先将将其其化化为为则则注注意意，如如果果不不详详加加分分析析，将将得得到到的的错错例例误误结结果果。不不存存在在。的的终终值值除除外外），否否则则上上不不存存在在极极点点（原原点点轴轴平平面面在在右右半

34、半平平面面或或在在在在，要要满满足足的的终终值值为为则则，存存在在，且且时时的的极极限限在在若若终终值值定定理理)(lim)(0S)(0)(lim)(lim)()(0Re)()()()()2(0000tffsjssFssFtfftfssFtffttftst 0000000000|1( )limlim( )(0 )( )( )limlimlim ( )(0 )lim ( )(0 )lim( )(0 )( )lim( )lim(sttstssstssttstsedf tedtsF sfdtdf tdf tedtdtf tfdtdtf tfsF sfff tsF s 上上式式两两边边取取s趋s趋于于

35、零零的的极极限限，此此时时，因因为为于于是是即即)例例的的终终值值。求求的的象象函函数数已已知知某某信信号号)(,42)()(2tfsssFtf 042lim)(lim)(2200 ssssFfss直接用公式直接用公式终值不存在。终值不存在。是随时间等幅振荡，其是随时间等幅振荡，其由此可见由此可见的原函数的原函数，实际上根据基本变换对实际上根据基本变换对用。用。所以终值定理不能应所以终值定理不能应轴上有极点轴上有极点在在因为因为该结果是错误的。该结果是错误的。)(),(2cos2)(42)(),2(42)(22, 12tftttfsssFjsjsssF 例例初初值值和和终终值值。的的求求的的象

36、象函函数数已已知知某某信信号号)(,)3)(1(6)()(2tfssssFtf 32)3)(1(6lim)(lim)(0)3)(1(6lim)(lim)0(2002 ssssFfssssFfssss对于简单的拉普拉斯反变换可以通过基本对于简单的拉普拉斯反变换可以通过基本的拉普拉斯变换对与拉普拉斯变换的性质的拉普拉斯变换对与拉普拉斯变换的性质求解。求解。但当象函数但当象函数F(s)F(s)较为复杂时，在工程上，较为复杂时，在工程上，通常使用部分分式展开法来求解。通常使用部分分式展开法来求解。由于单边拉普拉斯变换由于单边拉普拉斯变换F(s)F(s)与它的原函数与它的原函数f(t)f(t)具有一一对

37、应的关系，所以，在分析具有一一对应的关系，所以，在分析单边拉普拉斯时，对收敛域不再强调。单边拉普拉斯时，对收敛域不再强调。但是对于双边拉普拉斯变换，必须强调其但是对于双边拉普拉斯变换，必须强调其收敛域。收敛域。例例22( ),( )69sF sf tss 已已知知求求。22( )(3)sF ss 100112()( )()tb sbbbtb ets 附录附录C中中2-13变换对为变换对为得得3( )(1)( )tf tt et 4.3.14.3.1查表法查表法例例222( ),( )48sF sf tss 已已知知求求。222( )2(2)2sF ss 22cos( )()tsetts 附录附

38、录C中中2-6变换对为变换对为得得2( )2cos2( )tf tett 4.3.24.3.2部分分式展开法部分分式展开法函数。函数。的原的原质可得到整个质可得到整个反变换，再根据线性性反变换，再根据线性性先求出这些简单分式的先求出这些简单分式的简单分式之和的形式，简单分式之和的形式，展开为一系列展开为一系列函数函数部分分式展开法是将象部分分式展开法是将象)()(sFsF例例)()2()()(2)(11)(,1)(112)1(2)()(tetettfstestssssssFsFttt 性性质，得性性质，得根据拉普拉斯变换的线根据拉普拉斯变换的线由基本变换对，可知由基本变换对，可知进行部分分式展

39、开进行部分分式展开将将。的原函数的原函数，试求，试求已知已知)()()1(2)(tfsFssssF 。的的原原函函数数，求求已已知知)()(34743)(2234tfsFsssssssF 例例)()2()(2)()( )(1)()3(2112)3)(1(1234743)(3222234teettttfastessssssssssssssssFttat ，得得根根据据基基本本变变换换对对因因为为1 1、极点为实数单根、极点为实数单根322( )43sF ssss 例例 求求32( )43(1)(3)( )0, 1, 3A sssss ssA s 的的根根为为312( )0( 1)( 3)cccF

40、 ssss 10213321( ),(1)( ),321(3)( )6211362( )0( 1)( 3)ssscsF scsF scsF sF ssss 所所以以(1)找极点找极点(2)展成部分分式展成部分分式求系数求系数拉氏反变换拉氏反变换3211( )() ( )326ttf teet (3)反变换反变换326( )56sF ssss 例例 求求32( )56(2)(3)( )0, 2, 3A sssss ssA s的的根根312( )23cccF ssss 1002233236( )1,(2)(3)66(2)( )2,(3)( )1(3)(2)121( )23|ssssssscsF s

41、sssscsF scsF ss ss sF ssss 所所以以(1)找极点找极点(2)展成部分分式展成部分分式求系数求系数拉氏反变换拉氏反变换23( )(22) ( )ttf teet (3)反变换反变换)()cos(|2)(|)(|)(|)(|)()(0)(,)()(21)()(1)(1)(1111211*12212,1tteKteeeKteeKeeKtfjseKjseKsFeKKeKKKKjsKjsKsFsFjpsAsFsFttjtjttjjtjjjjjj 取取反反变变换换，得得，于于是是有有，。令令式式中中，可可展展开开为为，则则有有一一对对复复数数根根设设复复数数。数数也也是是成成对对

42、出出现现的的共共轭轭而而且且部部分分分分式式的的相相应应留留轭轭复复数数出出现现的的共共该该复复数数极极点点必必定定是是成成对对的的单单极极点点中中有有复复数数时时，当当有有共共轭轭单单极极点点、例例。的的反反变变换换求求)()54)(1(2)(2tfsssssF j2j21321 sKsKsKsF21|542| )()1(1211 ssssssFsK其其中中4322242)1(41|j)2)(1(2| )(j)2( jjsjsejssssFsK 334412( )2(1)42j2jjjeeF ssss 所所以以)()43cos(2221)(2tteetftt 求求反反变变换换可用待定系数法求

43、得。可用待定系数法求得。、其中其中可展开为可展开为所以所以因为因为共轭极点共轭极点个单极点，其中有一对个单极点，其中有一对有有若若求反变换求反变换还可利用下列的变换对还可利用下列的变换对有共轭单极点的情况，有共轭单极点的情况，对于对于213221213222122212, 122222222)()()()()()()()()()()()()cos()()()sin()()cos()()sin()(KKssKsaKKsKssKsKsKsFsFsjsjsssssjsnsFssttesttessttsttsFniiiniiitt 例例。的反变换的反变换求求)(641)(2tfssssF )()2si

44、n(21)2cos()()2sin(21)()2cos()()2()2(221)2()2(22)2(122)2(16412222222222tttettettetfsssssssssssFttt 根据基本变换对，求得根据基本变换对，求得例例。的的反反变变换换求求)(8426)(23tfsssssF )()2sin()2cos(2121)(222212214221221)(221216)2)()4(42)4)(2(68426)(22222232132212321223tttetfssssssssFKKKssKsKsKsKsKsKssssssssFt 变变换换，得得根根据据基基本本变变换换对对，求

45、求反反）（）（所所以以，得得利利用用待待定定系系数数法法例例 求象函数求象函数 的原函数的原函数f(t)f(t)。325( )(1)(2)sF sss 31242322312222322233224112( )2(2)(2)11125(2)( )322125(2)( )3125(2)( )1125(1)( )3(1)ssssssssccccF sssssddscsF sdsdssddscsF sdsdssscsF ssscsF ss 其其中中23223313( )2(2)(2)11( )(33)3 ( )2ttF sssssf ttteet 即即因因此此1122121111,21( )1(1)

46、251(1)(2)2(2)(1)51(1)(4)( 23)1sccF sssssc ssssscscscc 为为避避免免对对 求求微微分分可可以以通通过过分分式式展展开开来来计计算算所所以以同同样样可可以以求求出出。的原函数的原函数，求，求已知函数已知函数解。解。质和基本变换来进行求质和基本变换来进行求这就需要采用适当的性这就需要采用适当的性，无法进行部分分式展开无法进行部分分式展开不是有理分式时，由于不是有理分式时，由于当当)()()1()()(222tfsFsesFsFs 例例)2()()sin(1)2()2(sin1)()sin(1)()2()2(sin)()sin(1)()(22222

47、22222 ttttttttfsettsttsessFsFss 所以所以，性质，有性质，有根据基本变换对和时移根据基本变换对和时移改写为改写为将将。的的单单边边拉拉普普拉拉斯斯反反变变换换求求)(1)(2tfsesFs 例例)2()2()1()1(2)()(*)()()1()()(1)(11)()()()()(111111 tttttttftftftttfstsessesFsFsFsFsFss 卷卷积积定定理理，得得根根据据拉拉普普拉拉斯斯变变换换时时域域及及时时移移性性质质，可可得得根根据据基基本本变变换换对对。其其中中，表表示示为为将将。的的单单边边拉拉普普拉拉斯斯反反变变换换求求)(11

48、)(tfesFs 例例 000000002)21()2()2()()1()()(1)(1)()(2)(1)(1)()()1()1()1)(1()1(11)(nnsssTssssssntntntftftttftesFtfTsFesFesFsFeeeeeesF 则则及及时时移移性性，得得根根据据拉拉普普拉拉斯斯变变换换对对的的周周期期函函数数的的原原函函数数是是一一个个时时，当当设设对对于于单单边边周周期期信信号号，系统的复频域分析，就是利用拉普拉斯变系统的复频域分析，就是利用拉普拉斯变换将系统的时域特性变换到换将系统的时域特性变换到S S域，在域，在S S域中域中求解系统的响应或分析系统的特性。

49、求解系统的响应或分析系统的特性。它是分析线性系统常用的且较简便的方法。它是分析线性系统常用的且较简便的方法。4.1.14.1.1系统微分方程的复频域解系统微分方程的复频域解线性时不变系统常用线性常系数微分方程作为系统模型。线性时不变系统常用线性常系数微分方程作为系统模型。利用拉普拉斯变换的时域微分性，可将系统的微分方程变利用拉普拉斯变换的时域微分性，可将系统的微分方程变换为换为s s域的代数方程。域的代数方程。解此代数方程可得到系统响应的象函数解此代数方程可得到系统响应的象函数Y(s)Y(s)，再经过拉普，再经过拉普拉斯反变换，可得到系统的时域解拉斯反变换，可得到系统的时域解y(t)y(t)。

50、系统微分方程复频域求解的依据是拉普拉系统微分方程复频域求解的依据是拉普拉斯变换的时域微分性质。斯变换的时域微分性质。若应用此微分性质对系统的微分方程两边若应用此微分性质对系统的微分方程两边取拉普拉斯变换，他能将取拉普拉斯变换，他能将t=0t=0- -时刻的初始时刻的初始状态考虑在内，因此，系统的复频域求解状态考虑在内，因此，系统的复频域求解不但能够求解零状态响应不但能够求解零状态响应y yzszs(t)(t)，还能够，还能够求解零输入响应求解零输入响应y yzizi(t)(t)以及全响应以及全响应y(t)y(t)。( )12(1)( )( )(0 )(0 )(0 )nnnnnfts F ssf

51、sff 对于一个二阶线性时不变系统，系统的微分方程为对于一个二阶线性时不变系统，系统的微分方程为y(t)+ay(t)+a1 1y(t)+ay(t)+a0 0y(t)=by(t)=b2 2e(t)+be(t)+b1 1e(t)+be(t)+b0 0e e(t)(t)由于由于e(t)e(t)是在是在t=0t=0时刻加入系统的，因此其为因果信号，时刻加入系统的，因此其为因果信号，e(0e(0- -)=e(0)=e(0- -)=0)=0。方程右侧取拉普拉斯变换，得方程右侧取拉普拉斯变换，得b b2 2e(t)+be(t)+b1 1e(t)+be(t)+b0 0e(t) e(t) b b2 2s s2

52、2E(s)+bE(s)+b1 1sE(s)+bsE(s)+b0 0E(s)E(s)设系统的初始状态为设系统的初始状态为y(0y(0- -) )、y(0y(0- -) ) 方程左侧取拉普拉斯变换，得方程左侧取拉普拉斯变换，得L L y(t)+ay(t)+a1 1y(t)+ay(t)+a0 0y(t)y(t) =s =s2 2Y(s)-sy(0Y(s)-sy(0- -)-y(0)-y(0- -)+a)+a1 1sY(s)-y(0sY(s)-y(0- -)+ a)+ a0 0Y(s)Y(s) =(s =(s2 2+a+a1 1s+ as+ a0 0)Y(s)-(s+a)Y(s)-(s+a1 1)y(

53、0)y(0- -)+y(0)+y(0- -)221012102210122101021022101) ( )() (0 )(0 )() ( )() (0 )(0 )( )( )( )( )( )() (0 )(0 )( )( )( )( )( )( )sa sa Y ssayyb sb sb E sb sb sbsayyY sE ssa sasa saA ssa saB sb sb sbM ssayyM sB sY sE sA sA s （整整理理，得得令令得得其中其中A(s)A(s)和和B(s)B(s)仅与系统的微分方程有关，其中仅与系统的微分方程有关，其中A(s)A(s)又称为又称为系统的

54、特征多项式系统的特征多项式，A(s)=0A(s)=0称为称为系统系统的特征方程的特征方程，A(s)=0A(s)=0的根称为的根称为特征根特征根。M(s)M(s)不仅与系统微分方程有关，还与系统的初始不仅与系统微分方程有关，还与系统的初始状态有关。状态有关。等式右边第一项与激励信号等式右边第一项与激励信号e(t)e(t)无关，只与系统无关，只与系统微分方程和系统的初始状态微分方程和系统的初始状态y(0y(0- -) )、y(0y(0- -) )有关，有关，因此是系统零输入响应因此是系统零输入响应y yzizi(t)(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换Y Yzizi(s)(s)，即，即1210()

55、(0 )(0 )( )( )( )zisayyM sYsA ssa sa 等式右边第二项与系统的初始状态无关，只与等式右边第二项与系统的初始状态无关，只与系统微分方程和激励信号系统微分方程和激励信号e(t)e(t)有关，因此是系有关，因此是系统状态响应统状态响应y yzszs(t)(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换Y Yzszs(s)(s)，即，即对其求拉普拉斯反变换可得系统响应对其求拉普拉斯反变换可得系统响应2210210( )( )( )( )( )zsb sb sbB sYsE sE sA ssa sa1( )( )( )( )( )( )( )( )zizsM sB sy tLE sy

56、tytA sA s 例例 一个线性时不变系统的微分方程为一个线性时不变系统的微分方程为 y(t)+4y(t)+3y(t)=2e(t)+e(t)已知激励信号已知激励信号e(t)=(t)，系统的初始状态为，系统的初始状态为y(0-)=1、y(0-)=-2。求系统的零输入响应、零状态响应及全。求系统的零输入响应、零状态响应及全响应。响应。222( )(0 )(0 )4( )(0 )3 ( )2( )( )21(4) (0 )(0 )( )( )( )( )4343zszis Y ssyysY syY ssE sE sssyyY sE sYsYsssss 得得对系统微分方程两边取拉普拉斯变换。得对系统

57、微分方程两边取拉普拉斯变换。得zs213zszs1( ) ( ), (0 )1,(0 )221121115( )43(1)(3)32(1)6(3)115( )( )() ( )326ttE styysssYsssss sssssytYseet 代代入入，得得故故LLzi213zizi211( )432(1)2(3)1( )( )() ( )2ttsYsssssytYseet 故故L3zszi11( )( )( )() ( )33tty tytyteet ( )5 ( )6 ( )2 ( )8 ( )( )( ),(0 )3,(0 )2,( )tyty ty tx tx tx tetyyy t

58、系系统统的的微微分分方方程程为为激激励励初初始始状状态态求求响响应应例例。222( )(0 )(0 )5( )(0 )6 ( )2( )8( )28(5) (0 )(0 )( )( )( )( )5656zszis Y ssyysY syY ssX sX sssyyY sX sYsYsssss 对对微微分分方方程程取取拉拉氏氏变变换换，得得zs2123zszs1( )( ), (0 )3,(0 )21281341( )561123( )( )(34) ( )ttttX setyyssYsssssssytYseeet 零零状状态态响响将将代代入入，得得应应故故LL对于对于n n阶线性时不变连续系

59、统分析方法同上。阶线性时不变连续系统分析方法同上。如果系统的如果系统的n n个初始状态为个初始状态为y(0y(0- -) )、y(0y(0- -) )、y y(n-1)(n-1)(0(0- -) )，则根据拉普拉斯变换的时域微分性质，则根据拉普拉斯变换的时域微分性质，有有( )(1)110()(1)110( )( )00( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnmmmmnmijijijytayta y ta y tb etbetb e tb e ta ytb et 或或( )12(1)11( )0( )( )(0 )(0 )(0 )( )(0 )iiiiiiiikkkL

60、 yts Y ssysyys Y ssy 由于激励信号为因果信号，即由于激励信号为因果信号，即e(0e(0- -)=e(0)=e(0- -)=e)=e(m-1)(m-1)(0(0- -)=0)=0，因此，有因此，有于是微分方程的拉普拉斯变换为于是微分方程的拉普拉斯变换为11( )00011( )00000( )(0 )( )(0 )( )( )nimiikkjijikjmnijikkjijiknniiiiiia s Y ssyb s E sb sasyY sE sa sa s 整整理理得得( )( )( )jjL ets E s 将上式表示为将上式表示为对其求拉普拉斯反变换，即可得到对其求拉普