第4章 数学文化中的符号语言(20070306)

1、 拟用大马、中马和小马若干匹，搬运100袋粮食。已知：一匹大马、中马、小马每次可驮粮的袋数分别为3袋、2袋、1袋。问要驮运100袋粮食，共需大马、中马和小马各几匹？ 设大马、中马和小马各有x、y和z（匹），于是有方程： 3x+2y+z=100 这是一个不定方程的求解问题，运用方程的思想会很容易求得全部可能的解。若用算术的方法则要花不少的力气，才能勉强“凑出”几个解。 在此，我们所做的工作正是把用自然语言表达的事件，转化为一种数学符号的组合： 3x+2y+z=100 。这个组合也可以看着是“语句”。你要做的便是找出使该语句为“真”的那些x、y和z。 这个“小故事”虽然简单，但却反映了数学思维中很

2、重要的媒介数学中的符号语言。数学最突出的特征之一是其符号语言性质。在人类活动的各个领域中，语言表达也许是使用最广泛的工具了，数学也不例外，也要借助自然语言。数学家们的工作对自然语言的发展产生了影响。数学活动又促使数学家不断地对自然语言进行认真的分析与改造，使之成为适应数学思维表达需要的“数学语言”。 20年前，英国的一个关于数学教育改革的著名报告数学是算数的(Mathematics Counts)提出一个人们都关心的问题：数学在学校的课程中，为什么应当占有特别重要的位置？为什么人人都要学数学？该报告给出的回答是：数学之所以有用，都来自一个重要的事实，即数学提供了一个强大和精确的交流工具。该报告

3、还进一步强调：尽管还有其他关于“人人都要学习数学”的理由，但是“数学是一个强大的交流工具”是最重要的理由。 显然，对数学符号语言的深入讨论不是我们课程的目的，我们同意H . Freudenthal 的观点：从教育的角度看，也许更重要的是学习数学化，即经历并体验数学过程。同样，比学习数学的形式语言更重要的也许是了解人类是如何进行数学符号化与形式化的。还应当指出，很难把数学符号和数学语言分开研究，因此这里从关于数学符号开始我们的讨论。 符号也许是再普通不过的东西。从语言交流，到日常起居，到建筑、艺术、文学、军事等领域，我们每天都要和它打交道。可以说：我们生活在一个充满符号的世界里。符号，这个看似简

4、单的东西，在人类文明的发展中起着十分重要的作用。德国哲学家卡西勒曾说：与其说人是理性动物，不如说人是符号动物。他还指出：人与动物的根本区别在于，动物只能对信息符号做出条件反射，而人却可以把信号改造成为具有意义的符号。 一、符号的涵义一、符号的涵义 我们首先考察英语symbol一词的词义。韦氏词典对symbol(符号)的解释是：表示或代表另一事物的事物,尤其是那些用于表示抽象对象的事物。“symbol”较狭义的意义是：出现在数学，化学及音乐等中的书写或印刷标记、字母或缩写等等，用于表示物体、质量、过程或数量等。本章关于数学符号的讨论主要限于后面的意义。鉴于我们关心的是数学文化这一领域的问题，因此

5、也不妨对较广义上的“符号”也做一些简单的介绍。 从“辞源学的角度追溯“符号” 一词的来源，也有助于我们把握“符号”一词的含义。英语中的“符号”（symbol）一词来源于希腊语symbolon。这源于古希腊的习俗：人们往往把烧过的黏土版分解成为若干块，然后各自分别保存。这样，当他们以后再相逢时，通过拼合复原，便可以确认彼此是否属于同一团体(symbollein)。 无独有偶，在遥远的东方也有类似的文化。例如，根据辞海关于“符”的解释：所谓“符”，是古代的一种凭证，双方各持一半，合之以验真假。这些都强调了“两物相契合”的意思。“两物相契合”也自然会对我们有所启示：可用它们来表示或代表另一些事物，尤

6、其是那些用于表示抽象对象的事物。 二、符号的种类二、符号的种类 从远古居民手势到自然语言的产生发展，从“语音”和其他形式到结绳记事，到书写系统的产生，人类创造了各种符号，以形成概念、保留信息、进行交流和表达复杂的思想。这些都是广义上的“用某种事物代表或表示另一事物，尤其是那些抽象事物”。 即符号包括“语音”形式的、书面形式的其他形式的三种。 注1：人类创造的各种符号中，语言与神话也许是最原始的，而语言更是最基本的符号形式，是其他一切符号的基础。 注2：还应注意，符号所指的是某种意义关系的整体，是一个形式系统，而不仅仅是个别的记号、字符、音符或其他“指称物”。 三、符号的作用三、符号的作用 如前

7、所述：人类创造了各种符号，以形成概念、保留信息、进行交流和表达复杂的思想。研究指出：人类在创造认识对象的同时，也同时创造了表示它们的各种符号系统，这两者是同时并行发生与发展的。于是，我们有理由认为：人类在一切精神领域中的知识创造都是符号活动的例子！卡西勒曾说：在某种意义上所谓的“概念化”就是符号化。正因如此，符号活动使人能够在抽象意义上考虑各种关系，丰富了人与周围世界的联系。通过符号活动，人就可以进入由符号构成的世界，通向艺术、宗教、建筑、文学与科学等领域，从而进入人类特有的文化世界。 值得注意的是，任何一个符号与符号系统都产生，并专属于某一特定的人群，是该社会文化的一个重要组成部分。正如一些

8、学者所指出的：就像儿童在其成长过程中逐步把数学（符号）表示与运算整合进自己的认知系统一样，人类的符号构造活动也发生于社会活动。符号是人创造的，但又不是主观随意的，而是一种约定。尽管某个具体的符号的发明似乎是一种个人行为。例如就连儿童为了某种（解决问题）的需要，他(或她)会“即席”发明自己的“符号”。但是，要在一个特定的人群中，形成某种稳定的符号系统的过程，又是和相应的认识对象的形成紧密联系在一起的。符号的形成常常会经历一个漫长的过程。由符号所标志的对象和对象间的联系，是在长期实践中产生与完善的。 我们也可以把某个群体所使用的符号系统作为“窗口”，对其所发展的概念和方法进行观察，从而了解该群体所

9、持有的价值与文化传统。由于价值系统是任何一个社会群体的核心“构件”，因此一个群体所使用的概念和方法自然也会反映这些价值。因此，我们也可以通过对某个群体所使用的概念和方法进行观察，从而了解该群体所持的价值。 三、符号的作用三、符号的作用 为了说明符号具有“表示抽象概念”的功能，也许太极图可作一个典范。早在公元前2500年，中国的古代思想家便提出了关于宇宙的本质是“道” 这一深邃的思想。“道”是宇宙的过程，它无所不在，世界处于永恒的变化中。古人们还用两极的对立统一，及其循环变化的运动方式，来说明“道”的结构：“阳极反阴，阴极反阳”。我们古代的圣贤们用有关“阴”、 “ 阳”两极的来表达对立面的这种互

10、补性，并且把它们之间动态的相互作用看成是一切自然现象和一切人类境遇的本质，从而阐述解释许多抽象的哲理，甚至他们思想的基本概念。古代中国思想家所依据的见识是处于两极(或互补)关系中的对立概念。这一思想在古代中国思想中起着重要的作用。这个阴阳图是用符号来表示抽象而复杂的思想的一个典型。中国的圣贤们把抽象、丰富而复杂的思想压缩在一个“双鱼”图形中。 这个符号引起了现代学者的许多研究。最有趣的也许是量子理论的创始人玻尔。为了更好地理解“成对” 这一概念，他引入了“互补”的概念。今天有关互补概念不仅已经成为物理学家对自然界进行思考方式最重要的组成部分，它在物理学的领域之外也是很有用的。玻尔充分地认识到关

11、于互补性的概念与中国思想之间的相似性。1937年对中国的访问，使他对古代中国关于对立两极的概念有了进一步的认识。10年之后，由于在科学上的杰出成绩和对丹麦文化生活的重要贡献，玻尔被封爵。他为自己的礼仪罩袍所选择的 三、符号的作用三、符号的作用图案，恰恰是中国的太极图，其中“阴”“阳”鱼生动的表示了对立两极的互补关系。玻尔还以“对立物是互补的”(Contraia sunt complementa)的题词，来表示他对古代东方的智慧与现代西方的科学之间所存在的和谐一致，的深刻理解。 中国的圣贤们所创造的“八卦”是第二个例子，它表明“符号” 的另一个重要功能：我们可以对某些符号进行操作或变换，以表示某

12、种推理。易经是一部在几千年内不断丰富发展起来的著作，它包含着最重要的中国思想时代产生的许多层次。该书的起点是形状如下的图形，其中每个图形由六条线组成，而每一线又有两种可能：断开的线（- -），称为“阴”；不断开的线（），称为“阳”。 于是总共有 26 = 64个图形。在构造了由 64 个图形所构成的集合之后，人们可能会有许多问题：这些符号都表示什么？ 这些图形符号的含义分别是什么？事实上，我们的古代圣贤不仅对这些图形符号的含义给出了相应的“定义”，而且还把它们作为“抽象概念的载体”，以进行复杂的推理。 三、符号的作用三、符号的作用第二节第二节 数学符号数学符号 关于数学符号，我们自然会问到：都

13、有哪些数学符号？如何把它们组织在一个分类系统中？我们大家可对自己接触过的数学符号作一个简要的回顾，并尝试发现某种规律（或样式），从而将它们组织在一个分类系统中。下面所给的一些例子仅供读者参考。 首先声明，为了避免本章术语的混乱，这里所采用的是关于符号的较狭义的意义，即：“出现在数，化学及音乐等中的书写或印刷标记、字母或缩写等等，用于表示物体、质量、过程或数量等”。 我们大概学过下面这些符号： 1. 1.常见的数学符号常见的数学符号 表示数的符号, 如 0,1,2， ,8,9 这类数字。 表示运算的符号,如 +,-, ,.和 等等。 表示一些特别数的符号，如用e 表示自然对数，和用表示圆周率 3

14、.14159265。 括号,如 ( ) , ,和 等等;通过它，可以对代数符号与符号构成式子（或项），进行组织，使之能形成各种复杂的结构。括号在数学上，特别是代数公式语言的构成上起着十分重要的作用。这是值得特别注意的。 表示关系的符号,如 =, 等等。 表示数或各类变元的字母。在学习中学代数时，我们懂得了关于字母的意义：它不仅可以用字母表示数，未知数，还可以用它来表示其他各种变元。3 表示数或各类变元的字母。在学习中学代数时，我们懂得了关于字母的意义：它不仅可以用字母表示数，未知数，还可以用它来表示其他各种变元。 表示几何对象的符号。平面几何中的、O、，/ 等。 在微积分中，我们还学习了表示微

15、分与积分运算的符号，例如lim，d/dx，dx， 和 /x 等等。而在高等代数中，学生又遇到的一些特别的符号，如表示行列式和矩阵的符号。每学习一门新数学课，或进入一个新的数学分支，我们都会遇到新的符号。 计算机科学使用了许多数学符号（有的形式上略有变化），但也有自己独特的符号，如：, END，DECLEAR，IF 和WHILE 等等。而由于技术或其他原因，一些计算机所使用的数学符号与通常书面形式会略有不同，如：用“*” 表示通常的乘法记号“”或“” ；用“/”或“” 表示通常的“” ；等。 我们还可以问:能否从中发现某些结构呢？以上仅仅罗列了我们遇到的一些数学符号，因此寻求某种分类结构是一种自

16、然的追求。这里仅介绍D.Pimm 等所提出的一种分类尝试。按他的意见数学符号可以分为四类：语标符号; ; 图标符号; 标点符号和字母符号。语标符号 在日常语言，或其他学科中，人们使用特定的符号表示某个专用的词（word），这种语标符号，如 $、&”、和等等。这是一些表示特定的数学对象的符号，其书写形态也是专门为此而“发明”的。大家最熟悉的数字0、1、2、9便是数学上所使用的语标符号的例子。其他，如 +、-、 等等。 图标符号 在日常语言，或其他学科中，人们大量的使用所谓的图标符号。数学也有一些图标符号。这些图标符号的形状与其所表示的数学对象有一定相似，例如用表示角；用表示三角形；用表示

17、圆；用 表示“两直线相互垂直” 关系；等等，不一而足。标点符号 日常语言中的标点符号也广泛的借用于数学，但往往被赋予了新的特殊的意义。，最令人注意的也许应当是，在代数中所使用的括号，如 ( ) 、 、和 等。其次，在数学上也使用“：” 、“；” 、“！”等符号。字母符号 最后，在数学上还使用着各种各样的字母，其中既有罗马字母，a、b、c、 、y、z 、 A、B 、C Y、Z 等，也常常用到希腊字母 、 、（包括大写）。 当然，还可从其他角度讨论数学符号。例如，我们可以考察常用的数学符号的来源，其中某些数学符号的产生与发展还有着一段发人深省的故事。有兴趣的读者可以参考有关数学史的论著（或在网上查

18、到）。其次，我们可以专门考察代数的符号系统或几何中所用符号。但是，从“数学过程”的角度讨论数学符号的形成和功能，也许能帮助我们较深刻揭示。有兴趣的读者不妨尝试一下。 2. 2.数学符号的分类数学符号的分类 3. 3.数学符号的功能数学符号的功能 现在我们会问:数学符号有什么功能?斯坎普开列了如下菜单: (1)传递; (2)记录知识; (3)形成新的概念; (4)简化复杂纷繁的分类系统; (5)解释; (6)使反思活动成为可能; (7)揭示结构; (8)使操作程序自动化; (9)信息的恢复与理解; (10)进行创造性的思考。 下面我们从数学化或数学过程的角度来了解数学符号的形成与发展。这一选择使

19、我们能通过对数学对象的形成、发展和应用的全过程进行考察，从而丰富我们对数学符号作用的认识。这好可以看着是对数学符号作“纵向”的考察，或对数学语言形成过程的认识。 根据弗赖登塔尔的建议，数学化是指用数学的思想方法不断对“实际材料进行组织”的过程。这种“组织”的过程，也就是所谓的数学过程。 数学过程是指存在于所有数学活动中的基本单元：抽象与表示；符号变换 ；应用。 “数学过程”这一提法本身也包含着一个重要的数学思想。这个循环在数学中反复出现，从而使该学科不断提升到更高的概括水平，从而为人类认识世界的提供了一个强有力的工具。 1. 1.数学化与数学过程数学化与数学过程 2. 2.数学化、数学过程的进

20、一步解释数学化、数学过程的进一步解释 一些数学家把数学比喻为“一棵生机勃勃的大树”，或更准确的说像一棵“大榕树”。那么在这棵树的发展历程中，它的最基本的“结构成分” 就是”数学化“。数学化，一方面把现实世界与数学世界紧密联系起来，另一方面也包括数学内容的数学化，即对数学本身不断进行再组织，把数学数学化。而数学化的基本成分就是所谓的数学过程。这个“基本成分”在数学中无处不在，周而复始的贯穿于数学之“树”的发生和发展的全过程。对于数学之“树”而言， “数学过程” 也许是最有活力的成分了。如果说“数学过程” 强调的是用数学的思想方法不断对“实际材料进行组织”，而“数学过程”则是对“数学化”的进一步诠

21、释。因此根据Freudenthal 的观点，“数学过程” 也是“数学化”的过程。 关于数学过程，我国的数学教育工作者有一个形象的比喻（据说是数学家傅种孙先生提出的）：数学过程像一条“鱼”。所谓的“鱼头” 是指现实世界，而这条“鱼”的“中段”便是由各种数学符号及其变换组成的传统意义上的数学，所谓的“鱼尾” 是数学的应用。传统的数学教育的一个弊端是：向我们的学生提供的多是“符号变换”方面的数学知识与技能。我们学生吃到的只是“鱼的中段”（“掐头去尾烧中段”）。而今天的数学教育改革，重要的目的之一正是向我们的学生提供完整的数学经验既要吃“中段”，也要尝尝鱼头和鱼尾的味道。 回忆开始的马驮粮食的小故事。

22、我们对问题情境的数学化开始于“设大马、中马和小马各有x、y和z（匹）”。这就是“抽象与表示”，它不仅是解决“马驮粮食”这个问题的起点，也是其他所有数学过程的起点。下面我们试图从“数学对象”形成的角度，考察数学符号。前面已经指出：“人类在创造认识对象的同时，也创造了表示它们的各种符号系统，这两者是同时并行发生的”。但是考虑到数学本身的特点，数学对象的表示，特别是符号表示就显得特别重要了。 一、抽象一、抽象 有一种说法：“整个数学开始于在对三个苹果的感知时，能脱离具体的苹果，而讨论整数3。” 这不无道理的，因为所有的数学对象“形成于斯，发展于斯”。而与数学抽象过程同时发生的另一个过程就是所谓的“表

23、示” 过程。 数学的抽象过程也是从事物间的相似性开始的，它所关注的是一些事物或情境的某些共同方面，并试图认识这种特征。伴随认识这种特征的同时，我们也在探求具有这种特征的其他事物和情境。前者是所谓的抽象，而后者则是概括。 作为数学抽象的一个例子便是数(也是最基本的数学对象)的概念的形成与发展。数的概念的形成与逐步系统化，是一个漫长的过程。今天的儿童(如今天教学中所做的那样)仍然在重复这一过程：由两个苹果，两个香蕉，两把椅子，等等情境中，舍去所有其他无关因素，关注共同点把“个数2”作为共同特征加以抽象，并特殊的语音来代表它，而保存记录的需要又逐步形成书写记号。由此可见，数学抽象与表示，从一开始就是

24、分不开的一对。 数学抽象有什么特征呢？抽象并不是数学所独有的特征。与其他学科相比，数学抽象的特征也表现在:(1)抽象什么？(2)如何表示抽象的结果？这种不同首先表现在“抽象什么”。数学抽象所关注的是数量关系和空间形式（或更一般些，关注“模式”），因而数学对象是高度抽象的。其二，数学抽象的特点正是其独特的数学符号系统。 我们曾指出：“符号所指的是某种意义关系的整体，是一个形式系统，而不仅仅是个别的记号、字符、音符”。因此，孤立地考察数学对象是远远不够的。我们还要从系统的角度去认识这些数学对象，并尽可能把某个数学对象与其他相关系统联系起来，不断地进行再组织。例如，在数的形成与发展过程中，系统的计数

25、又产生了把计数方法系统化的需要，然后又进一步地被组织。HFreudenthal报告了这样一个例子： 一、抽象一、抽象 “ “自古就有这样一个惯例：一年级教数数，二年级教儿童数到自古就有这样一个惯例：一年级教数数，二年级教儿童数到100100，三年级教他们数到无限。但实际上，儿童在一年级就能无限，三年级教他们数到无限。但实际上，儿童在一年级就能无限数数了。在蒙台梭利的学校里，或幼儿园里，儿童年龄到了一定阶数数了。在蒙台梭利的学校里，或幼儿园里，儿童年龄到了一定阶段时，教师就让他们在长纸条上写出数：段时，教师就让他们在长纸条上写出数：1 1，2 2，3,10,11, 3,10,11, 也也许要写到

26、许要写到1919后后, , 需要教师帮助。等写到需要教师帮助。等写到3939以后，儿童就不需要教师以后，儿童就不需要教师帮助了。等写到帮助了。等写到9999，儿童会要求老师再指点一下。有一个女孩专心，儿童会要求老师再指点一下。有一个女孩专心致志的埋头于这个活动。当她写到致志的埋头于这个活动。当她写到10241024时，不肯再写下去了，而是时，不肯再写下去了，而是说：说：“就这样继续下去就这样继续下去”。 事情常常是：最简单的事物往往是最重要的！这个看似平凡的例子是很深刻的，关键是你如何认识它。从这个小故事，我们可以提出哪些问题呢？例如，我们可以问：女孩为什么不愿意写下去了？她发现了什么？ HF

27、reudenthal 指出“就这样继续下去”给我们一个很好的分析线索：这个女孩从每次往下写的过程中，发现了“后继数”的概念。即，0的后继数是1。1 的后继数是2。数学n 的后继数是n+1。而且这个过程似乎可以一直下去（这启示我们她发现了无限）。 抽象！把抽象与概括不断的发展下去：通过计数，可以（从基数或序数的观点）抽象出自然数，并发明了数的读法和写法；也可由“有限集合的并” 或“接着往下数”，抽象出加法运算；加法运算（例如，刚体所做的两个连续平行运动）本身又可以被抽象，并形成关于运算的一般概念；。 如何从广泛的联系与系统中把握概念？上面H.Freudenthal所做的分析为我们提供了一个很好的

28、范例。这也是数学化的一个极好的范例。 一、抽象一、抽象 二、表示与符号二、表示与符号 与数学抽象过程分不开的另一个过程便是数学表示，特别是符号表示。这里的问题是：如何表示数学对象？数学表示有多种策略：用词汇给其命名；选择符号，或其他恰当的方式来表示它。符号正是数学对象的表示方法之一，在数学过程中具有特别重要的作用。 数学表示对于数学抽象是绝对必要的。这与数学对象的高度抽象也许有关。一些数学家做了如下的解释：在现实世界中，数学对象本身是不存在的。数学对象是一种由人构造的“思想事物”，一种只存在于头脑中的事物。现实有的只有5个手指头，5双袜子，等等, 而“5” 这个数学对象只是思想上的存在。几何的

29、点、直线和平面等也都是思想上的事物。我们要用特殊的语音来称呼它，然后又逐步形成书写记号（其他表示方法），这样，我们就可以集中注意力于“5”这个“思想事物”了，也可以形成关于“5”的稳定的概念了。 D. Hockney 说的得好：“世界上很少有像抽象与表示那样，如此的密不可分。” 对于数学而言，这更为重要。抽象与表示是分不开的一对，是数学对象的两个方面。也许可以仿造P.戴维斯和R.赫斯的做法，用一个图来表示上面的描述。图的右边是经过数学抽象得到的数学对象(思想事物Y)，而左边是被抽象对象的事物。我们可以用手指出的只是某块具体的木板、钢板或用笔画出来的图画，但无法用手指着一个抽象的数学概念（抽象的

30、三边形），但是我们可以用手指出代表这个抽象概念的数学表示(画出的三角形)。 数学抽象Y的表示Y 数学对象(思想事物) 如何认识数学符号在“数学对象”形成过程中的作用？一种可能的回答是：数学符号（或数学表示）本身就是数学抽象过程的一个必不可少的组成部分。在数学家们所发展的丰富多样的数学表示方式(如数学符号、图形、图像、词语等)中，数学符号具有特别重要的作用。数学符号具有精确、清晰和减缩等特点。其作用大体可概括如下： 符号有助于揭示数学结构的本质。 Whitehead对此做了精辟的分析，他说：“一套好的表示系统可以使我们把注意力集中在问题的实质与关键。这样自然也就增加了我们思维的力量。例如，看到符

31、号 5 ，人们便想到它所代表的那个数，而不是其他什么东西。 用符号表示数学概念，这有助于在数学概念、各种有关的具体事物和其他抽象概念之间，建立丰富的联系，从而使我们能深入思考抽象的数学概念。 便于交流。 如果数学符号，没有这种减缩的表达方式，数学交流几乎是不可能。如果回顾自己的数学活动的经验（建议读者不妨做一下本节后面所附的练习思考问题）。对这样做的优点是“减轻我们头脑是烦琐的工作”。 便于学习和记忆。 特别是，许多数学符号具有某种特别的形状，或丰富的“提示” 作用（读者不妨自己举些例子）。而把与某个概念有关的所有信息都压缩到这个符号里，也有助于我们记忆和反思。 回到马驮粮食：在经过抽象与表示

32、后，得到了“3x+2y+z=100”这个“符号串”。接下来我们便可根据“约定的规则”对这个“符号串”进行各种变换，即进入“数学过程”这条“鱼”的“中段”了。 经过数学抽象与表示得到各种数学对象及符号(或其他表示)后，这些数学符号就成为数学活动的对象。如果说音乐家用音乐符号谱写乐曲，从而创造出转变为美妙与华彩的旋律和乐章，以各种音乐语言与人交流和沟通心灵。而数学家则用数学符号进行创作，创造出各种丰富多彩和迷人的关于宇宙的“图案” ，用数学的语言与人交流。如果说音乐家头脑中流动的是用音符谱写的乐句，那么在数学家头脑中流动的则是用数学符号写出的符号串及其变换。 一、符号变换一、符号变换 1. 1.符

33、号变换的涵义符号变换的涵义 实际上，“符号变换” 一词包容了几乎所有的我们通常所谓的数学思想方法(对“中段” 的处理)。简单说，这里的“符号变换”泛指的是对数学符号(即经过数学抽象得到的各种数学对象)，所进行的各种“操作”(包括计算、演绎及其他各种处理)，所形成的符号串。 应当指出的是, 经过数学抽象得到各种数学对象及其符号（或其他表示）后，这些数学符号就可以参加数学活动了。于是，我们便把精力集中在这些数学符号上，并根据约定的规则对这些符号进行各种“组织”，所得到的也是符号串。 例1 320。我们只是对符号(这里是 3、20和)做“形式”上的组合。同样的，对于表示实数的a、b和其他符号，我们可

34、得到一系列的符号串：3a+1；a2+2ab+b2；(a+b)2；a2+2ab+b2=(a+b)2；等等。 人们常说：语言是思维的外在形式。上面列举的符号串的形式可以很好的反映我们的数学思维与探索。在某种程度上，数学思维活动就是一种“自言自语”，并且尝试用同一语言的不同方式表达，来展开同样的思想。上面举例提示我们：用各种数学思想方法(根据约定的规则)对数学符号所进行的组织活动，常常被看作是对数学符号串的一系列的变换。这些符号串有的是“语句”，有的则是“项”或“短语”。 首先，作为“短语”(项),这类字符串不是语句，但却是语言的基本单位。而一般的语句大都可以分解为若干个“短语”。但是并非都用“形式

35、化”的方式来描写数学的探索活动。“短语”也可以是用自然语言表示(而不是完全符号化)，如 “点P到直线L的距离”，“(平面上)点P关于直线L的对称点”，“最大的两位整数”，“平面上所围面积是5平方厘米的最短的封闭曲线” 等等。 其次，另一类数学符号串“语句”(或数学命题) 就是命题，即具有确定真假意义的陈述句(“非真即假” )。仍以大家都熟悉的中学代数为例。以实数、表示实数的字母、和运算符号，可以形成如下的语句：a2+2ab+b2 =(a+b)2；a2+b2=(a+b)2；a2+b2(a+b)2等等。数学“语句”也可能表达为自然语言的形式，如“任给一个大于2 的偶数x，存在素数p和q，使p+q=

36、x”。 2.符号变换的类型 数学家们利用数学符号做了什么呢？也即数学符号可作些什么变换呢？2061报告给出了一个简要的回答。 这是创造新数学对象的数学活动，可以用“短语”(或“项”)的形式表达。这种字符串将产生另一个数学对象，产生一个新的“短语” 或“项”。于是，我们会问“这个对象存在吗？”有时为了确定这个数学对象，我们需要“调用各种数学思想方法”。例如，“320” 与“点P到直线L的距离” 等，所提出的是一个计算问题。这也包括各种庞大的复杂计算(数学本身提出的与实际提出的)问题。其中一些计算有时要求助于“超级计算机”。 计算 构造“”、“猜想”、“假设”，或对一些数学命题做出判断。 这也包括

37、现在人们谈得很多的所谓数学实验。在(特别是数学家)的实践探索中，凭借渊博的知识、敏锐的自觉与丰富的想象，我们可以构造各种假设，然后试图去检验它，证明它。而上面这些数学活动往往可以表达为“语句”。例如：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2+b2=(a+b)2；a2+b2(a+b)2，和“任给一个大于2的偶数x，存在素数p和q，使p+q=x”等等。这就要求我们确定这个“语句”的真假，包括古往今来的所有伟大的数学定理的发现。 归纳 用数学“语句” 可以表达数学的归纳的构造过程，即由个别案例中归纳出一般命题。由“这只天鹅是白的”，归纳出“所有天鹅是白的”。 推广 推广、推广、尽可能的推广，尽可能发现

38、和创造一般规律，创造模式！这也许是数学活动的一种“惯性”。 演绎 当表示各种抽象的、具体的事物的词汇和符号形成一个适当的串后，就构成了一个语句。它表达了关于所指物体的某个陈述，可能真也可能假。在数学中我们经常不知道一个给定的语句是真是假。因此，我们努力寻找答案。这就是演绎方法的用武之地。 所有上面提到的数学过程都包括了符号的运算（这里符号代表的是抽象的数学对象）。而这些过程是一系列的符号串的变换，它引导我们得到研究结果。而我们得到的结果也用含有符号的公式和语句来表示的。 二、可操作的符号系统二、可操作的符号系统 在数学符号中,最值得注意的是所谓的“可操作的符号系统”。我们可把数学符号系统分为如

39、下两类：其一是静止的符号表示系统，其二则是可操作的数学符号系统。 作为可操作的数学符号系统的例子之一，即是“初等代数”。有了“字母表示数”的概念，对符号实施各种“操作”的规则也随之建立起来，于是我们就可以对这些符号实施各种操作了，包括构造各种符号串：单项式、多项式和有理式等。于是，由对整数或小数的计算，发展到可以对某些符号系统建立操作。随着学习的深入，我们发现A+B，不仅可以表示两个实数相加，也可以是两个矩阵之和，或两个集合的并，也可能是两个命题的“与”运算，。这种推广或发展带来了新的思维方式：以使用可操作的符号系统为特征，不仅缩减了语言，还表达了组合操作的结果。换句话说，它是人们用来操作的符

40、号系统。 可操作符号系统的产生经历了一个缓慢而深刻的历史进化过程。以西方数学发展为例，尽管口头的代数的出现可以上溯到古巴比仑时期，甚至更早，但是直到16和17世纪，最早的可操作代数才出现。弗赖登塔尔做了如下的评价： “必须认识到数学对象之间各种类型的等式、等价、全等和同胚等，并要严格遵循。但是这还不够，数学中有第二条要求：我们必须知道如何对数学对象进行操作，即由已给的对象产生新的对象。人们从Plato Plato 哲学的角度了解到对数学的第一个要求，但对第二个全然不知。希腊数学本身从未发展起第二个要求的技术方面，这正是它走想没落的原因。Leibniz对微积分发展的巨大贡献也可以用同样的术语表达

41、建立了一个符号以及在其上的运算的系统，它表示了与切线和面积、速率和焦点等等微积分核心概念有关的变换。我们可以对符号施行运算，这超出了我们执行它们所表示的概念性运算的能力；这不仅是数学也是西方文明的一次重大的跃进。” 这种发展的巨大历史意义是：可操作代数引发了重大的革新，使西方数学从（古西腊数学）迟钝的传统三段论推理，转向灵活的符号、函数和数学关系。这些符号、函数和关系一旦产生，便逐步渗透到人类思维的许多领域，其影响已经远远超出了我们所能意识到的范围。它们已经成为科学语言中的音节，也是以计算机为核心的信息技术的基础。可操作的数学符号系统的产生，是西方文明的一次重大跃进。 关于数学机械化算法的思想

42、却是古代东方数学的一个突出的特征。根据吴文俊等学者的研究，中国古代数学家在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中，经其独特的方式建立了自己独特的数学体系，即构造性与机械化为其特色的算法体系。 吴文俊指出：一方面是中国古代数学家关于数学机械化算法体系，另一方面是西方数学以欧几里得几何原本为代表的所谓公理化演绎体系，二者正好遥遥相对。九章与刘注是这一机械化体系的代表作，与公理化体系的代表作欧几里得几何原本可谓东西辉映。在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流。肇始于我国的这种机械化体系，在经过明代以来近几百年的相对消沉后，由于计算机

43、的出现，已越来越为数学家所认识与重视，势将重新登上历史舞台。 作为那个“马驮粮食”故事的结尾，在对“符号串”或字母组合“3x+2y+z=100”进行各种变换后，我们求得该方程的许多组解。虽说这是纯虚构的故事，但也不妨看看它的“实际应用”。首先，该方程的解，提供了用马驮粮食的各种解决方案。当然具体选取哪个方案，还取决于其他实际情况。故事至此还没有结束：“3x+2y+z=100”还可用来解决其他一切有类似结构的问题，尽管所提的问题也许风马牛不相及！这正是数学抽象的力量。 为什么数学能在人类活动中，特别是在解决问题的实践活动中发挥如此重要的作用？数学的力量何在？我们来再次检查整个数学过程，并着重考察

44、最后一个环节应用。 （1）从某些情境中，经过抽象形成数学对象及其符号表示； （2）对数学符号（数学对象）实施各种再组织（符号变换），并得到某些新的数学结果（数学符号串）； （3）回到原来的情境，把所得到的新的数学语句转换为现实中的事物或关系，以获得有价值的信息。 我们再用下图来表示这个数学过程。数学抽象Y的表示Y 数学对象(思想事物)“被抽象”的事物符号变换变换的结果应用 数学的广泛应用性也许正来源于其自身的特点：数学抽象所关注的是一些事物所共有的“样式”、结构或模式。这使得数学过程具有“普遍性”，因此通过数学过程所获得的数学定律常常是能适用于许多看似无关的系统。数学算数中举了这样一个例子：如

45、果我们被告知：某汽车以每小时20英里的平均速度行驶了3小时。于是我们知道该汽车共走了60英里。这里，我们便用了如下计算：203=60。 注意，上面的数学符号串（“语句”）表示了一个数学计算及其计算结果。而这个语句也可用于其他情境。比如它可表示20件单价为3的物品的总价，它也可用来表示铺盖长为20米、宽为3米的走廊地面所需毯的面积。这个简单的例子很好地说明了：从某个具体情境经过“抽象与符号变换”，而得到的数学结果表示了某种一般的“样式”，而这个样式或适用于许多不同的系统。 数学为科学预测提供了有力的工具。应当强调数学的作用不仅在于其“表示”或解释。在实际问题解决情境中，预测也许更为重要。因为数学

46、的抽象所关注的是一些事物共有的“样式”，所以上面的数学符号串可以用来解决诸如汽车要用多少油？需要多少油钱？等等问题。更复杂些，这一公式也许可用于大型工程的设计与控制，从长江三峡大坝到太空飞行器的计算问题。 数学的应用还表现在它为科学提供了“语言工具”。在林林总总的学科中，只有数学才能超越具体的学科差异，为众多学科提供一个统一的语言工具。这是其他所有学科所难以相比的。 数学是人类的重要交流工具，更被看着是“科学的语言”。为“交流” 而教，是大众数学教育最主要的理由之一。虽然许多人谈论数学语言，但是却在不同意义上讨论。有的曾经试图把数学完全改写形式系统（如著名的布尔巴吉学派），有的则把“数学语言”

47、 看作是自然语言的一种特殊的模式，是对自然语言的补充和再加工，如H.Freudenthal 和2061报告的作者们。这里所谓的数学语言也有类似的意思。于是我们也许会问 “数学语言”是什么意思呢？数学语言与我们的自然语言有什么区别和联系呢？提出“数学语言”这个概念对我的数学教育教学有什么意义呢？ 讨论这类问题当然很重要。正如Freudenthal所指出的：“世界上没有任何东西能像语言那样在人类活动的一切领域内都能得到广泛的使用。数学家们对语言的自觉分析势必到处产生强烈的影响。” 让我们从一个例子开始关于符号语言的讨论。大家都熟悉函数极限的概念，例如，我们可以用日常的语言来做比较直观的描述：当自变量x趋于某个值a时，函数f(x)趋于某值A。你也可以再形象些，说：当自变量x向a无限接近时，函数f(x)的值，也和某个值A 无限接近。 如果借助数学符号，用比较严格的数学语言来表述表达Axfax)(l