2020-2021中考数学反比例函数综合试题

1、2020-2021中考数学反比例函数综合试题一、反比例函数A1 .平行四边形 ABCD的两个顶点 A、C在反比仞函数y二上（kwQ图象上，点 B、D在x轴 上，且 B、 D 两点关于原点对称，AD 交 y 轴于 P 点（1）已知点A的坐标是（2, 3）,求k的值及C点的坐标；（2）在（1）的条件下，若 APO的面积为2,求点D到直线AC的距离.【答案】（1）解：二点A的坐标是（2, 3）,平行四边形 ABCD的两个顶点 A、C在反比kk例函数y=工（kw。图象上，点 B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，3=2,点C与点A关于原点O对称， ，k=6, C （ - 2, - 3）,即k的值是

2、6, C点的坐标是（-2, - 3）;（2 ）解：过点 A作 AN±y轴于点 N ,过点 D作 DMXAC，如图，点 A (2, 3) , k=6,.AN=2,.APO的面积为2, J2, ?OP 2 r =4即 上 ，得OP=2, ，点 P (0, 2),设过点A (2, 3) , P (0, 2)的直线解析式为 y=kx+b,k 0.5b = 22左十3二3£j=J /曰L，得 过点A (2, 3) , P (0, 2)的直线解析式为 y=0.5x+2,当 y=0 时，0=0.5x+2,得 x=- 4,.点D的坐标为(-4, 0),设过点A (2, 3) , B ( -

3、 2, - 3)的直线解析式为 y=mx+b,2析十打=3(m = 15则l-二用，理=一3,得i舞二0过点A (2, 3) , C(- 2, -3)的直线解析式为 y=1.5x,点D到直线AC的直线得距离为:【解析】【分析】(1)根据点 A的坐标是(2, 3),平行四边形 ABCD的两个顶点 A、C k在反比仞函数 y=)(kwQ图象上，点 B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；(2)根据APO的面积为2,可以求得 OP的长，从而可以求 得点P的坐标，进而可以求得直线 AP的解析式，从而可以求得点 D的坐标，再根据点到 直线的距离公式可以求得点 D到直线AC的

4、距离.(1)当k=1时，求A、B两点的坐标;A, B两点.(2)当k=2时，求4AOB的面积；(3)当k=1时，4OAB的面积记为Si ,当k=2时， OAB的面积记为& ,，依此类推，当k=n时，4OAB的面积记为Sn ,若S1+&+S=二,求n的值.Lti化为：y=x+1 和 y= M ,【答案】(1)解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y=y = XJ 解, H A (1,2), B (- 2, - 1)(2)解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= x 化为：y=x+2和y= jj , y - x 2r 33' # =-4=_ q * = 4解T 得11,

5、y = j(, .A (1 , 3) , B (- 3, T)设直线AB的解析式为：y=mx+n ,直线AB的解析式为：y=x+2直线AB与y轴的交点(0, 2), Saaob=上 X 2 X1+X 2 X 3=4(3)解：当 k=1 时,S1= E x 1*1+2) = R,1当 k=2 时，S2=心 x 2*1+3) =4,当 k=n 时，Sn= 一 n (1+n+1) = 一 n2+n, 133''' S1+S2+S=,1133.一 X( F 孑+ +21) + (1+2+3+-n) = 2 ,I n(t2 1) (2n 1) n(n 1)133- X 状整理得：

6、?注22 ,解得：n=6.【解析】【分析】(1)两图像的交点就是求联立的方程组的解；(2)斜三角形4AOB的面积可转化为两水平(或竖直)三角形(有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或 竖直三角形)的面积和或差；(3)利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.3.如图，矩形 OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点 D为BC边上的点，反比例函数 y=需(kwo)在第一象限内的图象经过点D ( m , 2)和 AB边上的点 E (3,(2)将矩形OABC的进行折叠，使点 O于点D重合，折痕分别与 x轴、y轴正半轴交于点F, G,求折痕FG所在直线的函数关系式.【答案】(1)解：二

7、.反比例函数y=工(kw。在第一象限内白图象经过点E (3, 3),k=3 2=2,.反比例函数的表达式为 y=工.又丁点D (m, 2)在反比例函数y=工的图象上，1- 2m=2 ,解得：m=1(2)解：设 OG=x,贝U CG=OC- OG=2 x,二.点 D (1, 2), .CD=1.在 RtCDG中，/DCG=90, CG=2- x, CD=1, DG=OG=x .CD2+CG?=DG2 ,即 1+ (2-x) 2=x2 ,5解得：x= r ,5，点 G (0, A ).过点F作Fhl± CB于点H,如图所示.由折叠的特性可知： /GDF=/ GOF=90 , OG=DG,

8、 OF=DF / CGD+Z CDG=90 ； C CDG+Z HDF=90 ,°/ CGD=Z HDF, / DCG=Z FHD=90 ； .GCgDHF,DF HFG0 CD =2,5DF=2GD= 2 ,5.点F的坐标为(士，0).设折痕FG所在直线的函数关系式为 y=ax+b,0b ，有-2,解得：-4.1 5折痕FG所在直线的函数关系式为 y=- 2 x+ 4【解析】【分析】(1)由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；(2)设OG=x,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而彳#出点

9、 G的坐标.再过点 F作FHLCB于点H,由此可得出 GCA4DHF,根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度，从而得出点F的坐标，结合点 G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论.4.函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决 下面的问题.(1)分力1J求出当 2WxW日寸，二个函数：y=2x+1, y= d, y=2 (x- 1) 2+1的最大值和最小 值；(2)若y=1的值不大于2,求符合条件的x的范围；(3)若y= 4,当awxw附既无最大值，又无最小值，求a的取值范围；(4) y=2 (x-m) 2+m -2,当2Wx倒有最小值为1,求m的值.【答案

10、】(1)解：y=2x+1中k=2>0,，y随x的增大而增大，当x=2时，y最小=5;当x=4时，y最大=9.彳1. y=上中 k=2>0,在2W x巾,y随x的增大而减小，当x=2时，y最大=1;当x=4时，y最小=1.,. y=2 (x-1) 2+1中a=2>0,且抛物线的对称轴为 x=1,当x=1时，y最小=1;当x=4时，y最大=19(2)解：令 y= 上 wz解得：x v 0或x > 1，符合条件的x的范围为x<0或x>l(3)解：当k>0时，如图得当0vxW2时，y= 一;无最大值，有最小值 上，同理当a<0Akk时，且aWM0时，y品

11、有最大值二，无最小值，当kv 0时，如图得当0vxW2时，y=J无最小值，有最大值 士，同理当a< 0时，且aw江0时，yQj有最小值日,无最大值，二. k当k<0, a<0时，此时，y=上既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a<0v T(4)解：当 mv 2 时，有 2 (2 m) 2+m- 2=1, 占解得：m1=1, m2=二(舍去)； 当 2w m<M4,有 m - 2=1,解得：m3=3; 当 m>4 时，有 2 (4-m) 2+m- 2=1, 整理得：2m2- 15m+29=0.=( 15) 2-4X2X29= 7,无解. .m的值为

12、1或3.当k>0时，如图得当0vxw时,y=上无最大值，有最小值 口,同 k 3理当a<0时，且aw)<0时，yWJ有最大值无最小值， 当kv 0时，如图得当 0 VxW2时，y=三无最小值，有最大值 :，同理当a<0时，且aw支0时，yw：有最小值:，无 k最大值，当k<0, a<0时，此时，y= .i既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a<0;2WxW 币寸,y=2x+12<x<W,【解析】【分析】(1)根据k=2>0结合一次函数的性质即可得出：当 的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当_

13、y=2 (x-1) 2+1的最大值和最小值；(2)令y=解之即可得出 x的取值范围；(3) 当k>0时，如图得当0vxW2时，得到y=&无最大值，有最小值 -,同理当a<0时,且aWM0时，得到y4,有最大值d ,无最小值，当k<0时，如图得当0vxW2时，y=J kkk无最小值，有最大值 士,同理当a< 0时，且aw)<0时，yi有最小值一,无最大值，于是得到结论；(4)分mv2、2Wm<4和m>4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2wxw的有最小值为1即可得出关于 m的一元二次方程(一元一次方程)，解之即可得出 结论.(x>0)的

14、图象于 A (4, -8)、B5.如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数(m, -2)两点，交x轴于点C.(1)求反比例函数与一次函数的关系式；(2)根据图象回答：当 x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？(3)以O、A B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P的坐标.【答案】(1)解：二反比例函数y= N (x>0)的图象于A (4, -8), k=4 2-8) =-32.3,双曲线y= 3t过点B (m, -2),m=16.Jk + b = - 3由直线y=kx+b过点A, B得：H6k+b = J , 1f解得，b - 居，I1一 一一一、一， T ，一 一、一，v -

15、 -X 16反比例函数关系式为x , 一次函数关系式为(2)解：观察图象可知，当0vxv 4或x> 16时，一次函数的值大于反比例函数的值(3)解：.O (0, 0) , A (4, -8)、B (16, -2),分三种情况： 若OB/AP, OA/ BP,. O (0, 0) , A (4, -8),，由平移规律，点B (16,-2)向右平移 4个单位，向下平移 8个单位得到 P点坐标为(20, -10); 若 OP / AB, OA / BP,. A (4, -8) , B (16, -2),，由平移规律，点O (0, 0)向右平移12个单位，向上平移 6个单位得到 P点坐标为(12

16、, 6); 若 OB/ AP, OP/AB,- B (16, -2) , A (4, -8),，由平移规律，点 O (0, 0)向左平移12个单位，向下平移 6个单位得到P点坐标为(- 12, -6);以O, A, B, P为顶点作平行四边形，第四个顶点P的坐标为(12, 6)或(-12, -6)或(20, -10)fl【解析】【分析】(1)将点A (4, -8) , B (m, -2)代入反比例函数y=x (x>0)中，可求k、a;再将点 A (4, -8) , B (m, -2)代入 y=kx+b中，列方程组求 k、b即可；(2)根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于

17、反比例函数的值时x的范围；(3)根据平行四边形的性质，即可直接写出.6.如图，一次函数 y=kx+b (kwQ与反比仞函数y= 1 (mO)的图象有公共点A (1,a)、D (- 2, -1).直线l与x轴垂直于点 N (3, 0),与一次函数和反比例函数的图 象分别交于点B、C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象回答，x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；(3)求4ABC的面积.【答案】(1)解：二.反比例函数经过点 D ( - 2, - 1),用，把点D代入y= / (mwo),ffi-1=二；，m=2 ,w 反比例函数的解析式为：y= 3,一点A (1, a)

18、在反比例函数上，,件入把A代入y= &，得到a= / =2, A (1,2),一次函数经过 A (1,2)、D(-2, - 1),r 2 = k b 把A、D代入y=kx+b (kwQ ,得到： ,9* b ,解得:，一次函数的解析式为：y=x+1_一 一 I& AFt-(2)解：如图：当-2vxv 0或x> 1时，一次函数的值大于反比例函数的值(3)解：过点 A作AELx轴交x轴于点E,直线 Ux 轴，N (3, 0) , 设 B (3, p) , C (3, q),点B在一次函数上，p=3+1=4,.,点C在反比例函数上，q= 3, 7/1116/.Sa abC=&#

19、177; BC?EN=X (43) X (31) = 3 .【解析】【分析】由反比例函数经过点D (-2, -1),即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；结合图象求解即可求得 x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；首先过点A作AE，x轴交x轴于点E,由直线l与x轴垂直于点 N (3, 0),可求得点 E,B, C的坐标，继而求得答案.7.如图，已知矩形 OABC中，OA=3, AB=4,双曲线y= * ( k> 0)与矩形两边 AB、BC分别(2)点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P,使/APE=90?若存在，求出此时点 P的

20、坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：. AB=4, BD=2AD,AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=44.AD=,又OA=3,4 D ( J, 3),占一% 点D在双曲线y= )上，.k=x 3=4 四边形OABC为矩形， .AB=OC=4,.点E的横坐标为4.4把x=4代入y= )中，得y=1, E (4, 1);（2）解：（2）假设存在要求的点 P坐标为（m, 0） , OP=m, CP=4- m. / APE=90 ,° / APO+/ EPC=90,°又 Z APO+Z OAP=90 ,/ EPC=/ OAP,又 Z AOP=Z PCE=90, .A

21、ORAPCE解得：m=1或m=3,，存在要求的点 P,坐标为(1, 0)或(3, 0).【解析】 【分析】(1)由矩形 OABC中，AB=4, BD=2AD,可得3AD=4,即可求得 AD的 长，然后求得点 D的坐标，即可求得 k的值，继而求得点 E的坐标；(2)首先假设存在 要求的点 P坐标为(m, 0) , OP=m, CP=4- m,由/ APE=90 ,易证得AORPCE然 后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点 P的坐标.8.已知抛物线 y=ax2+bx+c (aw。过点A (1, 0) , B (3, 0)两点，与y轴交于点 C , OC= 3.(1)求抛物线的解

22、析式及顶点D的坐标；(2)点P为抛物线在直线 BC下方图形上的一动点，当 PBC面积最大时，求点 P的坐 标；1(3)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+上QC是否存在最小值？若存在，求出这个最 小值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：函数的表达式为：y = a (x-1) (x-3) = a (x2-4x+3),即：3a =3,解得：a=1,故抛物线的表达式为：y=x2-4x+3,则顶点D (2, - 1);(2)解：将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：直线BC的表达式为：y=-x+3,过点P作y轴的平行线交 BC于点H ,设点 P (x , X2-4x+3),则

23、点 H (x , - x+3),£14.贝U S»apbc= PPH>OB= |上(x+3 x2+4x 3)=上(-x2+3x),jJJ L3-二V 0,故Sapbc有最大值，此时 x= 1 ,故点P (上，一4)；(3)解：存在，理由：如上图，过点 C作与y轴夹角为30°的直线CH ,过点A作AHLCH,垂足为H ,贝U HQ=工 CQ , Q+ 上 QC最小值=AQ+HQ = AH ,y= J x+3直线HC所在表达式中的k值为k'E,直线HC的表达式为:则直线AH所在表达式中的k值为-则直线AH的表达式为:则直线AH的表达式为:x+而点 A (

24、1 , 0),则 AH=小值为1)将坐标(【解析】【分析】(即可计算出D的坐标.(2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式计算，设点-x+3),求出x的值即可.(3)存在，过点C作与y轴夹角为30 °的直线CH ,联立并解得：x =rx x+s ,将点A的坐标代入上式并解得:3 +小故点H (1,0), B (3, 0),即：AQ+J QC的最代入计算即可得出抛物线的解析式,P (x , x2-4x+3),则点 H (x ,过点A作AHLCH ,垂足为H ,则HQ= - CQ , 答.Q+ : QC最小彳t= AQ+HQ=AH ,求出k值，再将A的坐标代入计算即可解9.综合与探究的图象

25、经过坐标原点IO,且与X轴的另一交点为（3 ,如图，抛物线B（点A在第二象限），设点A'是点A关 并说明理由；巳使得以点A, B, A, P为顶点的四.y - -x * 1（2）若直线33与抛物线相交于点 A和点于原点。的对称点，连接 A' H试判断AAA'的形状,（3）在问题（2）的基础上，探究：平面内是否存在点边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：.抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0, 0）和（3,0）,解得:（2）解：AAA'是等边三角形;过点A分别作 AC，4轴，AD，A' B垂足分别为 C, D,.

26、B(广)，.AD= 3 , BD=，:在Rt A AB邛 "AC= J, OC= 3 , 在Rt A AO冲Ja + W 二-OA=,点A与点A关于原点对称,243 耳 8 T. A，(3 -),AA，=,也9-AB= .AA' =A' B=ABA AA'属等边三角形(3)解：存在正确的点 P,且以点A、B、A'、P为顶点的菱形分三种情况; 设点P的坐标为：(x, y).当A'曲对角线时，有解得:，点P为:当AB为对角线时，有解得:io，点P为:当AA'为对角线时，有解得:，点P为:2)综合上述,【解析】_ 2凸伙叼F的解析式;【分析】

27、（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线（2）先求出点 A、B的坐标，利用对称性求出点 A'的坐标，利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA'、A'B的值，由三者相等即可得出AA'B为等边三角形；（3）根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在正确得点P,设点P的坐标为（x, y）,分三种情况考虑： 当A' B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；当AA'为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标.综上即可得出结论.1

28、0.如图，在矩形 ABCD中，AB= 6, BC= 4,动点Q在边AB上，连接 CQ , 将4BQC沿CQ所在的直线对折得到 4CQN ,延长QN交直线CD于点M .（1）求证：MC=MQ（2）当BQ= 1时，求DM的长；Idf i（3）过点D作DE，CQ ,垂足为点E ,直线QN与直线DE交于点F ,且DE 3,求BQ的长.【答案】（1）解：证明：二.四边形ABCD是矩形,2 .DC AB即 / MCQ=Z CQB,3 BQC沿CQ所在的直线对折得到 CQN/ CQN=Z CQB,即/ MCQ=Z MQC, .MC=MQ.(2)解：二四边形ABCD是矩形，4BQC沿CQ所在的直线对折得到 A

29、CQ、/ CNM=Z B=90 ；设 DM=x,贝U MQ=MC=6+x, MN=5+x,在 RtCNM 中，MB2=BN2+MN2 ,即(x+6) 2=42+ (x+5) 2 ,5解得：x=, . DM= 士，DM 的长 2.5.(3)解：解：分两种情况:.DEXCQ, / CDE之 F,又 /CDE之 FDM,/ FDM=Z F, .MD=MF .过 M 点作 MHXDFT H,则 DF=2DH,|AQ B图2DF I 一 又班1 ,DH11 . DEXCQ MH± DF, / MHD=Z DEC=90,°2 .MHDADECM座小， . DM=1 , MC=MQ=7

30、, ，MN= W 五- %；/ 串=7丞,-.BQ=NQ= 7 当点M在CD边上时，如图所示，类似可求得BQ=2.综上所述，BQ的长为：- /方或2.CD/ AB ,得出【解析】【分析】(1 )由矩形的性质得出/ B=90° , AB=CD=6,MD1I =-出8 日E 6/MCQ=/CQB,由折叠的性质得出CBg ACNQ ,求出 BC=NC=4, NQ=BQ=1 , /CNQ=/ B=90 : L CQN=Z CQB,得出 / CNM=90 ； Z MCQ=Z CQN,证出 MC=MQ. (2) 设DM=x,则 MQ=MC=6+x, MN=5+x,在 RtACNM中，由勾股定理得

31、出方程，解方程即 可.(3)分两种情况： 当点M在CD延长线上时，由(1)得：/MCQ=/CQM,证出 ZFDM=ZF,得出 MD=MF,过 M 作 MHLDF 于 H,贝U DF=2DH,证明 MHDs CED 得 1,求出MD= 6 CD=1, MC=MQ=7 ,由勾股定理得出 MN即可解决问题. 当点M在CD边上时，同 得出BQ=2即可.11.在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A, B (A在B的左侧). (1)抛物线的对称轴为直线 x=-3, AB=4.求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O,且与x正半轴交于点 C,记平移

32、后的抛物线顶点为 巳若4OCP是等腰直角三角形，求点 P的坐标；(3)当 m=4 时，抛物线上有两点 M (x1，y1)和 N (x2 , y2),若 xk2, x2>2, x1+x2 >4,试判断y1与y2的大小，并说明理由.【答案】(1)解：抛物线y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3, AB=4.点 A (-5, 0)，点 B (-1, 0).，抛物线的表达式为 y=- (x+5) ( x+1) y=-x2-6x-5.依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx.,抛物线的对称轴为直线 x=),抛物线与x正半轴交于点 C (b, 0) ,.b>0.记平移后的抛物线顶点为P,H 0，点P的坐标(-，/ ), OCP是等腰直角