二项式定理4课件

1、知识网络知识网络 系数性质系数性质通项公式通项公式展开式展开式应用应用二项式二项式定理定理复习复习1.二项式定理：二项式定理：)()(1110NnbCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnn2.通项即展开式的第通项即展开式的第r+1项：项：rrnrnbaC1rT二项式系数的性质二项式系数的性质(1)对称性：对称性：与首末两端与首末两端“等距离等距离”的的 两个二项式系数相两个二项式系数相等等mnnmnCC代数意义：代数意义：几何意义：几何意义：2nr 直线直线 作为对称轴作为对称轴将图象分成对称的两部分将图象分成对称的两部分 (2)增减性与最大值增减性与最大值1,.2,.nk 当当时时

2、二二项项式式系系数数是是逐逐渐渐增增大大的的由由对对称称性性知知它它的的后后半半部部分分是是逐逐渐渐减减小小的的 且且在在中中间间取取得得最最大大值值21122,;,.nnnnnnnCnCC当当 是是偶偶数数时时 中中间间的的一一项项取取得得最最大大值值 当当 是是奇奇数数时时 中中间间的的两两项项相相等等 且且同同时时取取得得最最大大值值(3)各二项式系数的和各二项式系数的和这种方法叫做这种方法叫做赋值法赋值法nnnrnnnnCCCCC2)1(210 ()2nnab 即即：的的展展开开式式的的各各个个二二项项式式系系数数的的和和等等于于131202)2( nnnnnCCCC()nab 即即：

3、的的展展开开式式中中，奇奇数数项项的的二二项项式式系系数数的的和和等等于于偶偶数数项项的的二二项项式式系系数数的的和和考点练习考点练习 2、 展开式中，不含展开式中，不含x的项是第的项是第_ 项项2031()xx 1、若、若(1+x)8展开式中间三项依次成等差数列，展开式中间三项依次成等差数列，则则x=_29913-_2xxx、（）展展开开式式中中的的系系数数是是（0303年年全全国国高高考考）54321(1)5(1)10(1)10(1)5(1)xxxxx例 (A)x5 (B)x5-1 (C)x5+1 (D)(x-1)5-1例例2、在、在(2x+3)20的展开式中，求其项的最大的展开式中，求其

4、项的最大系数与最大二项式系数之比系数与最大二项式系数之比 例例3 3、已知、已知 的展开式中，各项系的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大数和比它的二项式系数和大992992求展开式求展开式中二项式系数最大的项中二项式系数最大的项 223(3)nxx 例例4、设、设(1-2x)5= a0 a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5. 求：求：（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值的值 （2） a1+a3+ a5的值的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值的值 评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决评注：涉及展开式的系数和的问题

5、，常用赋值法解决4234012342202413(23),()()xaa xa xa xa xaaaaa 若若则则_ _ _ _ _ _ _ ( (9 99 9年年全全国国) )练习：练习：典题型举例典题型举例 例例5、 9192除以除以100的余数是的余数是 (92年年“三南三南”高考高考题题)评注：利用二项式定理可以求余数和证明整除性评注：利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切关系且这种转化形式与除数有密切关系练习：若今天是星期天，则今天后的第练习：若今天是星期天，则今天后的第100

6、100100 100 天是星期天是星期_典题型举例典题型举例 322(1)nnn例例6 6证证明明：当当时时，评注：利用二项式定理证明不等式问题时，通常评注：利用二项式定理证明不等式问题时，通常是把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小），是把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小），或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明式，然后再根据不等式的传递性进行证明*2212(-1)4nxnNnnxx 练练习习：设设，且且，求求证证：典题型举例典题型举例 例例5 求求(x - 1) - (x -1) 2 + (x -1)3-

7、 (x -1)4 + (x -1)5展开展开式中含式中含 x 2 项的系数项的系数 (90年全国年全国)分析：求特定项系数，我们已经学过二项式展开式、分析：求特定项系数，我们已经学过二项式展开式、通项公式、分解因式等方法。对于求较复杂的代数式通项公式、分解因式等方法。对于求较复杂的代数式的展开式中某项的系数，常常需要对所给的代数式进的展开式中某项的系数，常常需要对所给的代数式进行化简，减少计算量行化简，减少计算量199520080090095()abcdabcd变变式式：求求展展开开式式中中项项的的系系数数典题型举例典题型举例 分析：分析：例例6 若若(x+m)2n+1 和和 (mx+1)2n

8、 (nN+，mR且且m0)的展开式的的展开式的 xn 项的系数相等，求实项的系数相等，求实数数m的取值范围的取值范围评注：评注：注意区分二项式系数与项的系数注意区分二项式系数与项的系数练习、若练习、若(1+ )n的展开式中，倒数第的展开式中，倒数第5，6，7项的系数顺次为等差数列，且展开式的项项的系数顺次为等差数列，且展开式的项数为奇数，求展开式中数为奇数，求展开式中x2的系数的系数 x典题型举例典题型举例 2110:1nxxx 、已已知知展展开开式式中中第第五五项项的的系系数数与与第第三三项项的的系系数数比比是是，求求展展开开式式中中含含 的的项项122121 2222187nnnnnrnnnnCCCCCC 、如如果果： 求求：的的值值练习练习 小小 结结 二项式定理体现了二项式展开式的指二项式定理体现了二项式展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系。数、项数、二项式系数等方面的内在联系。涉及到二项展开式中的项和系数的综合问涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性题，只需