2021高等数学B(上)复习资料

1、华南理工大学网络教育学院?高等数学(上)?辅导一、判断两个函数的定义域是否相同1、f (x) In X2与f(x) 2ln x是否表示同一个函数?2、 f(x) |x|与f(x)X表示同一个函数二、常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：x0时,x sinx tanx arcsinx arctanxxln(1 x) ex-11 11 cosx x2八 1 x 1 x2 2无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题:1、x2sin3 3x limx 0解：当 x 0，in3x 3x，2、原式= limx 0sin3x limx 0(3x)3Iim27

2、 x 0x 0解：原式=lim -x3、1-cosx lim 2 x 0 x21解：当 x 1-cosx 二x2原式= limx 0x24、limx 0ln(1 3x)x解：当 x 0, ln(1 + 3x)3x3.3x原式=.lim 一x 0 x2xlim ex 0解：当 x 0, e2x 12x原式=.lim 2x 2.x 0 x三、多项式之比的极限limx3x2 xlimx213x2 x四、可导与连续等的关系1、假设f(X)在Xo点导数存在，那么f (x)在Xo点连续.2. 假设X。是f(x)的驻点，那么它不一定是f(x)的极小值点.五、导数的几何意义(填空题)f (x。)：表示曲线y

3、f(x)在点M(x0,f(x。)处的切线斜率曲线.y f(x).在点M(x0,f(x0)处的切线方程为：y f(x°) f (x)(x x。)曲线y f(x)在点M(x°,f(x°)处的法线方程为：1y f(X0)(x X0)f (X0)例题:1、曲线y 在点M(2,3)的切线的斜率.4 x解：y(4x)'(4 x) (4x)(4 x)2、曲线yC0SSx在点M (0,1)处的切线方程.e解：y(cosx)' excosx(ex)(ex) xxsin xe cosxe ""(er所以曲线yC0Sx在点M(0,1)处的切线方程为:

4、e(4 x)(x 0)，即 x y 10 1干在点M (1,1)处的切线方程. x_8_(厂x)23、曲线解：yx53所以曲线13 2在点M (1,1)处的切线方程为:3 X23(x 1)，即 2x 3y 5 0六、导数的四那么运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法那么：y f(u),u g(x)y fg(x):dxdy du du dx或 y (x) f (u) g (x). 微分：dy f (x)dx例题：1、 设 y x2 1，那么 y' ?x,i1解：y' - x2 1 2 x2 122、设 y sin x2，那么 y'?I解: y' cosx2

5、 x22xcosx2 3、设 y 2sinx，那么 dy ？解：y 2sinxln2 sin x2sinx cosxln2那么 dy 2sinx cosxIn 2dx4、设 y sinex，那么 dy ？解：y' cosex exexcosex所以 dy excosexdx2 25、设 y e ，那么 dy ?(答案：2xe x dx)七、运用导数判定单调性、求极值 例题：1、求y xl nx的单调区间和极值.解：定义域x (0,)令y lnx 1 0,求出驻点x ex(0,e1)1 e(e1,)y-0+y单调减极小值点单调增函数的单调递减区间为(0e1，单调递增区间为(e 1,)极小

6、值为y()-.e e2、求y xex的单调区间和极值.解：定义域x (,)令 y e x xex (1 x)e x 0，求出驻点 x 1x(,1)1(1,)y+0-y单调增极大值点单调减函数的单调递减区间为1,),单调递增区间为(，1),极大值为y(1) e 1.x23、求函数.f(x) ex .的单调区间和极值.解：定义域x (,)人x2令 f (x) 2xe ，得 x 0x(,0)0(0,)y+0-y单调增极大值点单调减单调递增区间：(，0)，单调递减区间：(0,)， 极大值为f (0) 1.124、求函数f(x) x3 x的极值.答案：极小值为y(1) 一33极大值为y( 1)3八、隐函

7、数求导例题：1、 求由方程ex siny xy2 0所确定的隐函数 数业.dx解：方程两边关于x求导，得：ex cosy y (y2 2xygy)02 x即 y y ecosy 2xy2、求由方程y cos(x y)所确定的隐函数y dydx解：方程两边同时关于 x求导，得：y sin(x y)(1 y)sin (x y)y1 si n(x y)y sin(x y)所确定的隐函数y dy cos(x y)y y(x)的导y(x)的导数y(x)的导数3、求由方程史.答案:dxdx 1 cos(x y)4、求由方程xy Inx In y 0所确定的隐函数y y(x)的导 数矽答案:dy ydxdx

8、 x九、洛必达法那么求极限，注意结合等价无穷小替换原理例题：1、求极限lim1x,1x 0e 1sin x解：原式limsin x(ex 1)x 0(ex1)s in xlimx 0xsin x (ex20时，sin x x,ex 1 xx“ cosx e limx 0 2xx“ sin x e limx o 22、求极限limx 0x sin xtan3 x解：原式=lim S3nX 当x 0时，anxxx 0x31 cosx lim2x 0 3x2=xm1 2 -x23x20时，1 2cosx x23、求lim；1 -答案：1 x 0 x2021、简单凑微分问题：e2xdx，sin 4 x

9、dx，cos5xdx,一般的凑微分问题：dx、1 x2，x2sin x ,ln x , dxxdx，1 cosx十、凑微分法求不定积分(或定积分)例题:In xd In x3x2dx ，解：注意到(1 x2)2x参考公式原式=1d 1 x2i1 x2 2 C2、x、2 3x2dx解：注意到(2 3x2)6x原式=1 2 3x2 d (2 3x2)参考公式 xdx x C63=-3x2)3 C93、Sinx dx=e1 cosx解:注意到(1 cosx)sin x原式1-J /4cosx参考公式1dx In |x| C=1d(1cosxx=ln|1cosx | C4、5 x .e dx解:原式=

10、e5 xd(5 x)参考公式e dxex C5 xC5、cos5xdx解：原式cos5xd(5x)参考公式cosxdx sin x C-sin5x C56、si n3xdx解：原式 1 sin3 xd (3x)参考公式 sin xdx cosx C-cos3x C3十一、不定积分的分部积分法(或定积分)诸女口 xsin xdx ,xcosxdx ,xexdx , xe xdx ,xln xdx，可采用分部积分法分部积分公式：u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)例题：1、求不定积分xsinxdx .解 xsin xdx xd( cosx)xcosx ( cosx)dxxcos

11、x cosxdxxcosx sinx C2、求不定积分xe xdx解xe xdxxde xxx Ixee dxxxxe e C3、求不定积分 xl nxdx1解 xln xdx In xd(x2)21 2 1 2 .x In x x d In x2 2-x In x xdx2 21 212 q-x In x -x C2 4十二、定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等例题：a 3 X1、定积分 x e dx等于ac2解：因为x3ex是x的奇函数，所以原式=0a 232、定积分 x sin xdx等于a解：因为x2sin3x是x的奇函数，所以原式=0十三、变上限积分函数求导2

12、3、定积分書dx等于解:2 因为x sin2x是x的奇函数，所以原式=01 x(X)变上限积分函数的导数公式(x)g '(x)F(x)f (t)dt,那么 F'(x)(C)解 F'(x)f(x3)ax3)'= 3x2f (x3)例题:1、设函数f (x)在a,b上连续,x34F(x) f (t)dt，那么 F (x)a(C ).A. f(x)B. f (x3)C. 3x2f (x3)D. 3x2f (x)2、设 f(x)3、设 f (x)2xarcta ntdt ,i那么 f (x)2xarctanx2.0 sint3dt，那么 f (x) sin x3.十四、

13、 凑微分法求定积分或不定积分思想与不定积分类似 例题：1、0 x2 x3 1dx解：注意到(x3 1) 3x2原式曲1参考公式 xdx2x3r9(2、2 D十五、定积分的分部积分法或不定积分 思想与不定积分类似例题:1、求定积分02xsinxdx.02xs inxdx02xd( cosx)XCOSX002 ( cosx)dx2cosxdx0sin x2、求定积分1xe0xdx10 xe xdx'xde x0xxe(e1 0)1 xe dx 0 12e 11十六、求平面图形面积知识点：X型积分区域的面积求法Y型积分区域的面积求法通过作辅助线将区域化为假设干个 X型或Y型积分区域的面积求法例题:1、求由 y Inx、x 0, y In2及 yIn 7所围成的封闭图形的面积.解：由y