整式的乘除竞赛题

1、 整式的乘除复习题 1、阅读解答题： 有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程 ，再解答后 面的问题 例：若 x=123456789 123456786 ， y=123456788 123456787 ，试比较 x、 y 的大小 解：设 123456788=a ，那么 x= （ a+1 ）（a-2 ） =a2-a-2 ，y=a（a-1 ） =a2-a . x-y= （ a2-a-2 ） - （ a2-a ） =-2 0 x y 看完后，你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准 行！ 问题：计算 1.345 0.345 2.69-1.3453-1.345 0.

2、3452 解：设 1.345=x ，那么：原式 =x（ x-1 ）?2x-x3-x （ x-1 ）2， =（ 2x3-2x2 ） -x3-x （ x2-2x+1 ），=2x3-2x2-x3-x3+2x2-x ， =-1.345 4、我们把符号 “ n! ”读作“n 的阶乘”，规定“其中 n 为自然数，当 n0 时， n!=n ?（n-1 ）（? n-2 ）? 2?1 ，当 n=0 时， 0!=1 ”例如： 6!=6 5 4 3 2 1=720 又规定 “在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里 面 的” 按照以上的定义和运算顺序，计算： （1） 4!=

3、 ；（2 ）（3+2 ） !-4!= ； （ 3）用具体数试验一下，看看等式（ m+n） !=m!+n! 是否成立？ 12. 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的运算这一章时，发现有些整式乘法结果很 有 特点 ，例 如：（x-1 ）（ x2+x+1 ） =x3-1 ，（2a+b ）（4a2-2ab+b2 ） =8a3+b3 ， 小明说： “这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式 ” ， 小强说： “是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差） ” 小明说： “还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像 ” 小强说： “对啊，我也发现左边那个三项式好像

4、是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积 的 小明说： “二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联 系” 亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找 到 相应的规律吗？ 1）能否用字母表示你所发现的规律？ 2 ）你能利用上面的规律来计算（ -x-2y ）（x2-2xy+4y2 ）吗？ 2、一个单项式加上多项式 9（x-1 ） 2-2x-5 后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式 初二上加深提高部分 3、化简： （ 1 ）； （ 2 ）多项式 x2-xy 与另一个整式的和是 2x2+xy+3y2 ，求这一个整式解： （ 1 ）原式 =2a2-ab+a2-8ab-

5、ab=a2-9ab ； （ 2 ）（2x2+xy+3y2 ） - （ x2-xy ） =2x2+xy+3y2-x2+xy=x2+2xy+3y2 这个整式是 x2+2xy+3y2 点评：（ 1 ）关键是去括号 按 5、设，求整式 的值 6 、已知整式 2x2+ax-y+6 与整式 2bx2-3x+5y-1 的差与字母 x 的值无关，试求代数式 （ 2a2b-3ab2-3a2 ）的值 7( ab2+2b3-a2b ) +3a2- 解：(2x2+ax-y+6 )- ( 2bx2-3x+5y-1 ) =2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1= 2-2b ) x2+ ( a+3 ) x-6y+7

6、 ， 因为它们的差与字母 x 的取值无关，所以 2-2b=0 ， a+3=0 ，解得 a=-3 ，b=1 2( ab2+2b3-a2b ) +3a2- ( 2a2b-3ab2-3a2 ) =6a2-4a2b+5ab2+4b3=6 （-3 ）2-4 （ -3 ）2 1+5 （ -3 ） 1+4 1=7 3x2-3 ，x2-x ， x2+2x+1 ，2 的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整 1）求能组成分式的概率； 2）在抽取的能组成分式的卡片中，请你选择其中能进行约分的一个分式，并化简这个式 能组成分式的概率为 2）答案不唯 如， 13. 甲乙两人共同计算一道整式乘法： （ 2x+a

7、）（3x+b ），由于甲抄错了第一个多项式中 a 的符号，得到的结果为 6x2+11x-10 ；由于乙漏抄了第二个多项中的 x 的系数，得到的结果为 2x2-9x+10 请你计算出 a、 b 的值各是多 少，并写出这道整式乘法的正确结果解： 设第二个多项中的 x 的系数为 Z ， （ 2x+a ）（Zx+b ） =2Zx2+2bx+aZx+ab=2x2-9x+10 ， Z=1 ， 第二个多项中的 x 的系数是 1 ， （ 2x+a ）（x+b ） =2x2-9x+10 ， 2b+a=-9 ， ab=10 ， b=-2 ， a=-5 ， （2x+a ）（3x+b ） =（ 2x-5 ）（3x-2

8、 ） =6x2-19x+10 ； 13. 由于看错了运算符号，某学生把一个整式减去 -4a2+2b2+3c2 误以为是加上 -4a2+2b2+3c2 ，结果得出的答案是 a2-4b2-2c2 ，求原题的正确答案 解：设原来的整式为 A 则 A+ （ -4a2+2b2+3c2 ） =a2-4b2-2c2 A=5a2-6b2-5c2 A- （ -4a2+2b2+3c2 ） =5a2-6b2-5c2- （ -4a2+2b2+3c2 ） =9a2-8b2-8c2 原题的正确答案为 9a2-8b2-8c2 10. 根据题意列出代数式，并判断是否为整式，如果是整式指明是单项式还是多项式 （ 1 ）友谊商店

9、实行货物七五折优惠销售，则定价为 x 元的物品，售价是多少元？ （ 2）一列火车从 A 站开往 B 站，火车的速度是 a 千米/ 小时， A，B 两站间的距离是 120 千米，则火车从 A 站开 往 B 站需要多长时间？ （ 3 ）某行政单位原有工作人员 m 人，现精简机构，减少 25% 的工作人员，后又引进人才，调进 3 人，该单位 现有多少人？ 解：（1）根据题意得， 售价为： 75%x ，是整式，是单项式； （ 2 ）根据题意， t= ， 不是整式； （ 3）根据题意得，现在人数为： （ 1-25% ） m+3 ，是整式，是多项式 8 。在盒子里放有四张分别写有整式 式分别作为分子和分母

10、 解：（1）四张分别写有整式 3x2-3 ，x2-x ， x2+2x+1 ，2 别作为分子和分母共有 4 3=12 种结果，其中以 “ 2” 的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分 作分母的 3 个，不能组成分式，故可以组成 9 个分式， 11. 某村小麦种植面积是 a 亩，水稻种植面积比小麦种植面积多 5 亩，玉米种植面积是小麦种植面积的 3 倍 （ 1 ）玉米种植面积与水稻种植面积的差为 m，试用含口的整式表示 m； （ 2 ）当 a=102 亩时，求 m 的值 解：（1） m=3a- （ a+5）， =3a-a-5 =2a-5 ； （ 2 ）当 a=102 时， m=2 10

11、2-5 ， =199 （亩） 14. 红星中学校办工厂，生产并出售某种规格的楚天牌黑板，其成本价 为每块 20 元，若由厂家直销，每块售价 30 元，同时每月要消耗其他人工费用 1200 元；若委托商场销售，出厂批发价 为每块 24 元 （ 1 ）若每月销售 x 块，用整式分别表示两种销售方式所获得的利润 （注：利润 =销售总额- 成本 - 其他费用） （ 2）新学期各学校教学黑板维修较多，销路 较好，预计 11 月份可销售 300 块，采取哪一种销售方式获得的利 润多？ （ 3 ）若你是红星中学校办工厂的厂长，请你进行决 策：当预计 销售 200 块黑板时，应选择哪一种销售方式较 好？ 解：

12、（1）厂家直销的利润为（ 30-20 ） x-1200 ； 委托商场销售的利润为（ 24-20 ） x； （ 2）当 x=300 时，厂家直销的利润为 10 300-1200=1800 （元）； 委托商场销售的利润为（ 24-20 ） 300=1200 （元）； 采取厂家直销的利润大； （ 3）当 x=200 时，厂家直销的利润为 10 200-1200=800 （元）； 委托商场销售的利润为 4 200=800 （元）； 两种销售方式一样 16 、探究应用： （ 1）计算（ a-2 ）（a2+2a+4 ） = （2x-y ）（4x2+2xy+y2 ） = （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，

13、你又发现一个新的乘法公式： （请用含 a b 的字母表示） （ 3 ）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是 A（a-3 ）（a2-3a+9 ） B（2m-n ）（2m2+2mn+n2 ） C（4-x ）（16+4x+x2 ） D（ m-n ）（m2+2mn+n2 ） （ 4 ）直接用公式计算： （ 3x-2y ）（9x2+6xy+4y2 ） = （ 2m-3 ）（4m2+6m+ ）9 = 14. 阅读下面学习材料： 已知多项式 2x3-x2+m 有一个因式是 2x+1 ，求 m 的值 解法一：设 2x3-x2+m= （ 2x+1 ） （x2+ax+b ）， 则 2x3-x2+m=2x3+ （

14、2a+1） x2+（ a+2b） x+b 比较系数得： ，解得，所以 m=0.5 解法二：设 2x3-x2+m=A （ 2x+1 ）（A 为整式）由于上式为恒等式，为了方便计算，取 得 2 （ -0.5 ） 3-0.52+m=0 ，解得 m=0.5 根据上面学习材料，解答下面问 题： 已知多项式 x4+mx3+nx-16 有因式 x-1 和 x-2 ，试用两种方法求 m、 n 的值 解：解法 1：设 x4+mx3+nx-16= （ x-1 ）（x-2 ）（ x2+ax+b ），? （ 1 分） 则 x4+mx3+nx-16=x4+ （ a-3 ） x3+（ b-3a+2 ）x2+（ 2a-3b

15、 ）x+2b x=-0.5 ， 2 分） 所以 m=-5 ， n=20 ? （ 4 分）比较系数得： 15. （ 1 ）化简： 3x2y-2xy- （ xy-x2y+2xy ） （ 2 ）已知 A=2x2+xy+3y2 ， B=x2-xy+2y2 ， C 是一个整式，且 A+B+C=0 ，求 C 解：（1）原式 =3x2y-2xy-3xy+x2y ，（2 分） =3x2y-x2y+xy ， =x2y+xy ； 解：（2） A+B=2x2+xy+3y2+x2-xy+2y2 =3x2+5y2 （2 分）， A+B+C=0 ， C=- （ A+B ）， =-3x2-5y2 （4 分） 19 、问题

16、1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷相信通过下 面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦 例：用简便方法计算 195 205 解： 195 205 =（ 200-5 ）（200+5 ） =2002-52 =39975 （ 1）例题求解过程中，第 步变形是利用（填乘法公式的名称） ； （ 2）用简便方法计算： 9 11 101 10001 问题 2：对于形如 x2+2ax+a2 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（ x+a ）2 的形式但对于二次三项式 x2+2ax-3a2 ，就不能直接运用公式了 此时，我们可以在二次三项式 x2+2

17、ax-3a2 中先加上一项 a2，使它与 x2+2ax 的和成为一个完全平方式，再减去 a2 ，整个式子的值不变，于是有： x2+2ax-3a2= （ x2+2ax+a2 ） -a2-3a2 =（ x+a ） 2- （2a） 2 =（ x+3a ）（x-a ） 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为 （ 1）利用 “配方法 ”分解因式： a2-4a-12 问题 3：若 x-y=5 ， xy=3 ，求： x2+y2 ；x4+y4 的值 15. 阅读解答题：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决 例：若 x=12345678

18、9 123456786 ， y=123456788 123456787 ，试比较 x、 y 的大小 解：设 123456788=a ，那么 x=（ a+1 ）（a-2 ） =a2-a-2 ，y=a（ a-1 ）=a2-a ， 看完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行！ 问题：计算 3.456 2.456 5.456-3.4563-1.4562 解：设 3.456 为 a，则 2.456=a-1 ， 5.456=a+2 ， 1.456=a-2 ，可得： 12. 2.456 5.456-3.4563-1.4562 =a （ a-1） （ a+2） -a3- （ a-2 ） 2 =a3+

19、a2-2a-a3-a2+4a-4 =2a-4 ， a=3.456 ， 原式 =2a-4=2 3.456-4=2.912 配方法 x-y= （ a2-a-2 ） a2-a ） =-2 0 ，x y 20. 计算： （ 1）（-8a4b5c ） （ 4ab5 ）（? 3a3b2 ） （2）2 （ a2x ） 3-9ax5 （ 3ax3） （ 3）（3mn+1 ）（-1+3mn ） - （ 3mn-2 ） 2 （ 4 ）运用整式乘法公式计算 1232-124 122 （5） （ xy+2 ）（xy-2 ） -2x2y2+4 （ xy ），其中 x=10 ，y=- 解：（1）（-8a4b5c ） （

20、4ab5 ）（? 3a3b2 ）， =-2a3c ?（ 3a3b2 ）， =-6a6b2c ； （2）2 （ a2x ） 3-9ax5 （ 3ax3 ）， =2a6x3-9ax5 （ 3ax3 ）， （ 3）（3mn+1 ）（-1+3mn ） - （ 3mn-2 ） 2， =（ 9m2n2-1 ）- （ 9m2n2-12mn+4 ）， =9m2n2-1-9m2n2+12mn-4 ， =12mn-5 ； （ 4） 1232-124 122， =1232- （ 123+1 ） （ 123-1 ）， =1232- （ 1232-1 ）， =1232-1232+1 ， =1； （5） （ xy+2 ）

21、（xy-2 ） -2x2y2+4 （ xy）， =x2y2-4-2x2y2+4 （ xy）， =（ -x2y2 ） （ xy）， =-xy ； 当 x=10 ， y=- 时，原式 =-10 （ - ） = 21 、一个角的补角是它的余角的度数的 3 倍，则这个角的度数是多少？ （ 这个角是 45 ） 22 、如图所示，是一个正方体的平面展开图，标有字母 A 的面是正方体的正面，如果正方体的相对的两个面上标注的代数式的值与相对 面上的数字相等，求 x、y 的值 23 、已知一个角的补角等于这个角的余角的 4 倍，求这个角的度数 （60） 先化简后求值： （ x-y ） 2+（ x+y ）（x-y

22、 ） 2x ，其中 x=3 ， y=1.5 （1.5 ） （ 2001? 宁夏）设 a-b=-2 ，求 的值（ 2 ） 计算： 解：由题意可设字母 n=12346 ，那么 12345=n-1 ， 12347=n+1 ， 于是分母变为 n2- （ n-1 ）（n+1 ） 应用平方差公式化简得 n2- （ n2-12 ） =n2-n2+1=1 ， 即原式分母的值是 1， 所以原式 =24690 （ 2007? 淄博）根据以下 10 个乘积，回答问题： 11 29 ； 12 28； 13 27； 14 26 ； 15 25； 16 24 ； 17 23； 18 22； 19 21 ； 20 20 （

23、 1）试将以上各乘积分别写成一个 “ 2- 2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程； （ 2）将以上 10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来 ； （ 3）试由（ 1）、（2 ）猜测一个一般性的结论 （不要求证明 分析：（ 1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可 （ 2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可 （ 3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小解答：解： （ 1） 11 29=202-92 ； 12 28=202-82 ； 13 27=202-72 ； 14 26=202-62 ； 15 25=202-52 ； 16 24=202-42 ； 17 23

24、=202-32 ； 18 22=202-22 ； 19 21=202-12 ； 20 20=202-02 ? （ 4 分） 例如， 11 29；假设 11 29= 2- 2， 因为2- 2=（ +）（- ）； 所以，可以令 - =11，+=29 解得， =20 ， =9 故 11 29=202-92 （或 11 29= （ 20-9 ）（20+9 ） =202-92 （ 2）这 10 个乘积按照从小到大的顺序依次是 ： 11 29 12 28 13 27 14 26 15 2516 24 17 2318 2219 21 20 20 整式的乘除复习题 一学新知识应用 1、阅读解答题：有些大数值问

25、题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答 后面的问题 例：若 x=123456789 123456786 ， y=123456788 123456787 ，比较 x、 y 的大小 解：设 123456788=a ，那么 x= （ a+1 ）（a-2 ） =a 2 -a 2 2 ， y=a ( a-1 ) =a a x-y= a - ( 2 -a 2 2 -a 2 2 a a ) =-20 x 0 时，则 a3+b3+c3 - 3abc0，即 a3+b3+c3 3abc ，而且，当且 =(a+b)(a-b)(a+b)(a 4 -a 3b+a2b2 -ab 3+b

26、4) 因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相 互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多 项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组 分 解法进行因式分解例 4 分解因式： x 3-9x+8 分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧 解法 1 将常数项 8 拆成 -1+9 原式 =x 3-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9 =(x-1)(x 2+

27、x+1)-9(x-1) =(x-1)(x 2+x-8) 解法 2 将一次项 -9x 拆成 -x-8x 原式 =x 3-x-8x+8 =(x 3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x 2+x-8) 解法 3 将三次项 x 3 3 拆成 9x3-8x 3 拆成 9x3-8x 原式 =9x 3-8x 3-9x+8 =(9x 3-9x)+(-8x 3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1) =(x-1)(x 2+x-8) 解法 4 添加两项 -x 2+x 2 原式 =x 3-9x+8 =x 2+x 2-9x+8 3-x 3-x =x

28、2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x 2+x-8) 说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观 察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种 例 5 分解因式： (1)x 9+x 6+x 3-3 ； (2) (m 2- 1)(n 2-1)+4mn ； (3) (x+1) 4+(x 2-1) 2+(x-1) 4； (4) a 3b-ab 3 +a 2+b 2+1 解 (1) 将 -3 拆成 -1-1-1 原式 =x 9+x 6+x 3-1-1-1 =(x 9-1)+(x 6-1)+(x 3

29、-1) =(x 3-1)(x 6+x 3+1)+(x 3-1)(x 3+1)+(x 3-1) =(x 3-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x 2+x+1)(x 6+2x 3+3) (2) 将 4mn 拆成 2mn+2m n 原式 =(m 2-1)+2mn+2mn 2-1)(n例 4 分解因式： x 3-9x+8 2-1)(n 2 =m 2n2- 2+1+2mn+2mn m2-n 2n2-m2- n =(m 2n2+2mn+1)-(m 2-2mn+n 2) =(mn+1) 2-(m-n) =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1) (3) 将 (x 2-1) 1) 2 拆成 2(x 2-

30、1) 2-1) 2-(x 2- 1) 原式=(x+1) 4+2(x 2-1) 2-(x 2- 1) 2 +(x-1) = (x+1) 2+(x-1) 2 2-(x 2-1) =(2x 2+2) 2- (x 2-1) 2=(3x 2+1)(x 2+3) (4) 添加两项 +ab-ab 原式 =a 3+a2+b2+1+ab-ab 3b-ab 3b-ab =(a 3b-ab 3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b 2+1) =a(a-b) b(a+b)+1+(ab+b 2+1) =a(a-b)+1(ab+b 2+1) =(a 2-ab+1)

31、(b 2+ab+1) 说明 (4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加 +ab-ab ，而且添加项后分成的三项组又无公因式， 而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积 累经验 3换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体， 并用一个新的字母替代这个整体来运算， 从而使运算过程简明清 晰 例 6 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2)-12 分析 将原式展开，是关于 x 的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将 x 2+x 看作一个整体，并用字母 y 来替代，于是原

32、题转化 为关于 y 的二次三项式的因式分解问题了 解 设 x 2+x=y ，则 原式 =(y+1)(y+2)-12=y 2+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5) =(x-1)(x+2)(x 2 +x+5) 说明 本题也可将 x 2+x+1 看作一个整体，比如今 x 2+x+1=u ，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试 例 7 分解因式： (x 2+3x+2)(4x 2+8x+3)-90 分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合 2-1) 2-(x 2 = (x+1) 4+2(x+1) 2(x-1) 2 +(x-1) 4-(x 2-1)

33、 2 解 原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90令 y=2x 2+5x+2 ，则 =(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2)-90 令 y=2x 2+5x+2 ，则 原式 =y(y+1)-90=y 2+y-90 =(y+10)(y-9) =(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7) =(2x 2+5x+12)(2x+7)(x-1) 说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元 例 8 分解因式： 2+4x+8=y ，则 2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x) =(x 2+6x+8)(x 2+5x+8) =(x

34、+2)(x+4)(x 2 +5x+8) 说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新 变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式 例 9 分解因式： 6x 2-7x+6 4+7x3-36x 4+7x3-36x 解法 1 原式=6(x 4+1) 7x(x 2-1)-36x =6(x 4-2x 2+1)+2x 2 +7x(x 2-1)-36x =6(x 2-1)2+2x 2+7x(x 2 - 1)-36x =6(x 2-1) 2+7x(x 2-1)-24x =2(x 2-1)-3x 3(x 2-1)+8x =(2x 2-3x-2

35、)(3x 2+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3) 说明 本解法实际上是将 x 元来代替整 体 解法 2 原式 =x 2+2)+7t-36 26(t 26(t =x 2+7t-24)=x 2(2t-3)(3t+8) 2(6t 2(6t =x 22(x-1/x)-33(x-1/x)+8 =(2x 2-3x-2)(3x 2+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3) 例 10 分解因式： (x 2+xy+y 2)-4xy(x 2+y 2) 分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元 对称式，

36、经常令 u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式 (x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x (y) 的基础 解 设 x 原式 =y 2-1 看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新 解 原式=(x+y) 2-xy 2-4xy(x+y) 2 -2xy 令 x+y=u ， xy=v ，则 原式 =(u 2-v) 2-4v(u 2-2v) =u 6u 4- 2v+9v 2 4-6u =(u 2-3v) 2 =(x 2+2xy+y 2-3xy) =(x 2-xy+y 2) 练习一 1 分解因式： (2)x 10+x 5-2 ； (4)(x 5+x4

37、+x3+x2+x+1) 2-x 2 分解因式： (1)x 3+3x 2 -4 ； (2)x 4-11x 2 y2 +y2； (3)x 3+9x 2 +26x+24 ； (4)x 4 -12x+323 2； 所以，原式 = x+(2y-3) 2x+(-11y+1) 3 分解因式： (1)(2x 2-3x+1) 2-22x 2 +33x-1 ； (2) x 4+7x 3+14x 2+7x+1 ； (3)(x+y) 3+2xy(1-x-y)-1 (4)(x+3)(x 2-1)(x+5)-20 初中数学竞赛专题培训第二讲： 1双十字相乘法 因式分解 ( 二) 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某

38、些二元二 次六项式 (ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f) ，我们也可以用十字相乘法 分解因式 例如，分解因式 2x 2-7xy-22y 2 -5x+35y-3 我们将上式按 x 降 2； 即： -22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1) 它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x 2-7xy-22y (x-3)(2x+1)=2x 2-5x-3 ；幂排列，并把 y 当作常数，于是上式可变形为 2x 2-(5+7y)x-(22y 2-35y+3) ， 2 -(5+7y)x-(22y 可以看作是关于 x 的二次三项式 对于常数项而言，它是关于 y 的二次三项

39、式，也可以用十字 相乘法，分解为 =(x+2y-3)(2x-11y+1) 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法 个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图 如果把这两 再利用十字相乘法对关于 x 的二次三项式分解 (2y-3)(-11y+1)=-22y 2 +35y-3 这就是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式 ax 原式 =(x-5y+2)(x+2y-1) 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 进行因式分 解的步骤是： (1) 用十字相乘法分解 ax 2+bxy+cy 2 ，得到一个十字相乘图 ( 有 两列) ； (2) 把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上， 要求第二、 第

40、三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey ，第一、第三 列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx 例 1 分解因式： (1)x 2-3xy-10y 2+x+9y-2 ； (2)x 2-y 2+5x+3y+4 ； (3)xy+y 2+x-y-2 ； (4)6x 2- 7xy-3y 2-xz+7yz-2z 2 解 (1) (2) 原式 =(x+y+1)(x-y+4) (3) 原式中缺 x 2 项，可把这一项的系数看成 0 来分解 原式 =(y+1)(x+y-2) (4) 用双十字相乘法对多项式 ax 原式 =(x-5y+2)(x+2y-1) 原式 =(2x-3y+z)(3x+y-2z) 说明

41、(4) 中有三个字母，解法仍与前面的类似 2求根法 我们把形如 anx n-1 x 1x+a 0(n 为非负整数 ) 的代数式称为关于 x 的一元多项式，并用 f(x) ，g(x) ，? 等记号表示，如 n+a n-1 +? +a f(x)=x 2-3x+2 ， g(x)=x 5+x2+6， ?， 当 x=a 时，多项式 f(x) 的值用 f(a) 表示如对上面的多项式 f(x) f(1)=1 2-3 1+2=0 ； f(-2)=(-2) 2-3 (-2)+2=12 若 f(a)=0 ，则称 a 为多项式 f(x) 的一个根 定理 1( 因式定理 ) 若 a 是一元多项式 f(x) 的根，即

42、f(a)=0 成立，则多项式 f(x) 有一个因式 x-a 根据因式定理，找出一元多项式 f(x) 的一次因式的关键是求多项式 f(x) 的根对于任意多项式 f(x) ，要求出它的根是没有一般方 法的，然而当多项式 f(x) 的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根 定理 2 的根，则必有 p 是 a0 的约数， q 是 an 的约数特别地，当 a0 =1 时，整系数多项式 f(x) 的整数根均为 an 的约数 我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行 因 式分解 例 2 分解因式： x 2+6x-4 3- 4x 3- 4x分析

43、这是一个整系数一元多项式， 原式若有整数根， 必是 f(2)=2 3-4 2 2+6 2-4=0 ， -4 的约数，逐个检验-4 的约数： 1， 2， 4，只有 即 x=2 是原式的一个根，所以根据定理 1，原式必有因式 解法 1 用分组分解法，使每组都有因式 (x-2) 原式 =(x 3-2x 2)-(2x 2-4x)+(2x-4) =x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x 2-2x+2) 解法 2 用多项式除法，将原式除以 (x-2) ， x-2 所以 原式 =(x-2)(x 2-2x+2) -4 的约数，反之不成立，即 -4 的约数不一定是多项式的根因此，必 须

44、对 -4 的约数逐个代入多项式进行验 证 例 3 分解因式： 9x 3+7x 2-3x-2 4- 3x 4- 3x 分析 因为 9 的约数有 1， 3， 9；-2 的约数有 1，说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是 为： 所以，原式有因式 9x 2-3x-2 解 9x 4-3x 3+7x 2-3x-2 =9x 3-2x 2+9x 2-3x-2 4-3x 4-3x =x 3-3x-2)+9x 2 -3x-2 2(9x 2(9x =(9x 2-3x-2)(x 2+1) =(3x+1)(3x-2)(x 2 +1) 说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式

45、，如上题中的因式 可以化为 9x 2-3x-2 ，这样可以简化分解过程 总之，对一元高次多项式 f(x) ，如果能找到一个一次因式 (x-a) ，那么 f(x) 就可以分解为 (x-a)g(x) ，而 g(x) 是比 f(x) 低一次的一 元多项式，这样，我们就可以继续对 g(x) 进行分解了 3待定系数法 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字 母来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该

46、相等，或取多项式中原 有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程 2 2 例 4 分解因式： x +3xy+2y +4x+5y+3 分析 由于 (x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y) ， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 解设 ( 或方程组 ) ，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法 x+2y+m 和 xy n 的形式，应用待定系数法即可求出 m 和 n，使问题得到解决 x 2+3xy+2y 2 +4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ， 2+3xy+2y 2+3xy+2y 比较两边对应项的系

47、数，则有 解之得 m=3， n=1 所以 原式 =(x+2y+3)(x+y+1) 说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下 例 5 分解因式： x 3-27x 2-44x+7 4-2x 4-2x 分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是 们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式如果原式能分解，只能分解为 1， 7(7 的约数 ) ，经检验，它 (x 2+ax+b)(x 2+cx+d) 的形式 解设 原式 =(x 2+ax+b)(x 2+cx+d) =x 3+(b+d+ac)x 4+(a+c)x 4+(a+c)x 所以有2+(ad

48、+bc)x+bd ， 由 bd=7 ，先考虑 b=1 ， d=7 有 所以 原式 =(x 2-7x+1)(x 2+5x+7) 说明 由于因式分解的唯一性，所以对 b=-1 ，d=-7 等可以不加以考虑本题如果 b=1， d=7 代入方程组后，无法确定 必须将 bd=7 的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止 本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式但利用待定系数法，使我们找到了二次因式由此可见，待定系数法在因式分 解中也有用武之地 练习二 a， c 的值，就 1用双十字相乘法分解因式： (1)x 2-8xy+15y 2+2x-4y-3 ； (2)x 2-xy+2x+y-3 ； (3)3x

49、 2-11xy+6y 2-xz-4yz-2z 2 2用求根法分解因式： (1)x 3+x 2-10 x-6 ； (2)x 4+3x 3-3x 2-12x-4 ； (3)4x 4+4x 3-9x 2-x+2 3用待定系数法分解因式： (1)2x 2+3xy-9y 2+14x-3y+20 ； (2)x 4+5x 3+15x-9 初中数学竞赛专题培训 第十一讲 勾股定理与应用 2 勾股定理 直角三角形两直角边 a， b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a +b2=c 2 勾股定理逆定理 如果三角形三边长 a，b， c 有下面关系： a 2+b 2=c 2 那么这个三角形是直角三角形 早在 3000

50、 年前，我国已有 “勾广三，股修四，径阳五 ”的说法 关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的下面的证法 1 是欧几里得证法 证法 1 如图 2-16 所示在 Rt ABC 的外侧，以各边为边长分别作正方形 ABDE ， BCHK ， ACFG ，它们的面积分别是 c 2，a2，b2下面 证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之 和 过 C 引 CMBD，交 AB 于 L，连接 BG， CE因为 AB=AE ， AC=AG ，CAE= BAG ， 所以 ACE AGB(SAS) 而 所以 S AEML =b 同理可证 S BLMD=a 2 2 +得 即c 2=a 2

51、+b 2 证法 2 如图 2-17 所示将 Rt ABC 的两条直角边 CA，CB 分别延长到 D， F，使 AD=a ， BF=b 完成正方形 CDEF(它的边长为 a+b) ， 又在 DE 上截取 DG=b ，在 EF 上截取 EH=b ，连接 AG， GH ， HB 由作图易知 ADG GEH HFB ABC ， 所以 AG=GH=HB=AB ，=c BAG= AGH= GHB= HBA=90 ， SABDE =S AEML +S BLMD =b 2 因此， AGHB 为边长是 c 的正方形显然，正方形 CDEF 的面积等于正方形 AGHB 的面积与四个全等的直角三角形 ( ABC ，

52、ADG ， GEH ， HFB)的面积和，即 化简得 a 2+b 2=c 2 证法 3 如图 2-18 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 上向外作正方形 ABDE ，延长 CB，自 E 作 EGCB 延长线于 G，自 D 作 DKCB 延长 线于 K，又作 AF， DH 分别垂直 EG 于 F， H由作图不难证明，下述各直角三角形均 与 Rt ABC 全等： AFE EHD BKD ACB 设五边形 ACKDE 的面积为 S，一方面 S=S ABDE +2S ABC ， 另一方面 S=S ACGF +S HGKD +2S ABC 由， 所以 c 2=a2+b 2 关于勾股定理， 在我国古代还

53、有很多类似上述拼图求积的证明方法 ， 我们将在习题中展示其中一小部 分， 它们都以中国古代数学家 的名字命名 利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论 定理 在三角形中， 锐角 （ 或钝角 ） 所对的边的平方等于另外两边的平方和 ， 减去 （ 或加上 ） 这两边中的一边与另一边在这边 （ 或其延长 线 ） 上的射影的乘积的 2 倍 证 (1) 设角 C 为锐角，如图 2-19 所示作 AD BC 于 D，则 CD 就是 AC 在 BC 上的射影在直角三角形 ABD 中， AB 2=AD 2+BD2， 在直角三角形 ACD 中， AD 2=AC 2-CD 2， 又 BD 2=(BC

54、-CD) 2， ，代入 得 AB 2 2=(AC2 -CD 2)+(BC-CD) 2=(AC2 -CD 2)+(BC- CD) =AC 2-CD2+BC2+CD 2- 2BC CD =AC 2+BC 2- 2BC CD ， 即 c 2=a2+b2-2a CD (2) 设角 C 为钝角，如图 2-20 所示过 A 作 AD 与 BC 延长线垂直于 D，则 CD 就是 AC 在 BC( 延长线 )上的射影在直角三角形 中，ABD AB 2=AD 2+BD2， 在直角三角形 ACD 中， AD 2=AC 2-CD2， 又 BD 2=(BC+CD) 2 ， 将，代入得 AB 2=(AC 2-CD 2)

55、+(BC+CD) 2 =AC 2-CD2+BC2+CD2+2BC CD =AC 2 +BC 2+2BC CD， 即 c 2=a2+b2+2a cd 综合，就是我们所需要的结论 特别地，当 C=90 时， CD=0 ，上述结论正是勾股定理的表述： c 2=a2+b2 因此，我们常又称此定理为广勾股定理 ( 意思是勾股定理在一般三角形中的推广 ) 由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响 在 ABC 中， (1) 若 c 2=a2+b2，则C=90 ； (2) 若 c 2 a2+b2 ，则 C a2+b2 ，则 C 90 勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此

56、在解决三角形 ( 及多边形 ) 的问题中有着广泛的应用 例 1 如图 2-21 所示已知：在正方形 ABCD 中， BAC 的平分线交 BC 于 E，作 EFAC 于 F，作 FGAB 于 G求证： AB 2=2FG 2 分析 注意到正方形的特性 CAB=45 ，所以 AGF 是等腰直角三角形， 从而有 AF 2=2FG 2，因而应有 AF=AB ，这启发我们去证明 ABE AFE 证 因为 AE 是FAB 的平分线， EF AF ，又 AE 是 AFE 与 ABE 的公共边，所以 Rt AFE Rt ABE(AAS) ， 所以 AF=AB 在 Rt AGF 中，因为 FAG=45 ，所以 A

57、G=FG ， AF 2=AG2+FG2=2FG 2 由，得： AB 2 =2FG 2 说明 事实上，在审题中，条件 “ AE 平分 BAC”及“EFAC 于 F”应使我们意识到两个直角三角形 AFE 与 ABE 全等，从而将 过渡”到 AF，使 AF（ 即 AB）与 FG 处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了 例 2 如图 2-22 所示 AM 是 ABC 的 BC 边上的中线，求证： AB 2+AC 2=2（AM 2+BM 2） 证 过 A 引 ADBC 于 D（不妨设 D 落在边 BC 内） 由广勾股定理，在 ABM 中， AB 2=AM 2+BM 2+2BM MD 在 AC

58、M 中， AC 2=AM2 +MC 2-2MC MD + ，并注意到 MB=M ，C 所以 AB 2+AC 2=2（AM 2+BM 2） 如果设 ABC 三边长分别为 a，b，c ，它们对应边上的中线长分别为 ma，mb，m c，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式 推论 ABC 的中线长公式： 说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形 （ 除等腰三角形外 ） 利用广勾股定理 恰好消去相反项，获得中线公式 ， ，中的 ma ，mb， mc 分别表示 a，b，c 边上的中线长 例 3 如图 2-23 所示求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的

59、平方和加对角线中点连线平方的 4 倍 证 设四边形 ABCD 对角线 AC，BD 中点分别是 Q， P由例 2，在 BDQ 中， AB 分析 如图 2-23 所示对角线中点连线 PQ ，可看作 BDQ 的中线，利用例 2 的结论，不难证明本题 即 2BQ 2+2DQ 2=4PQ 2+BD 2 在 ABC 中， BQ 是 AC 边上的中线，所以 在 ACD 中， QD 是 AC 边上的中线，所以 将，代入得 =4PQ ， 2+BD2 即 AB 2+BC 2+CD 2+DA 2=AC 2+BD 2+4PQ 2 说明 本题是例 2 的应用善于将要解决的问题转化为已解决的问题， 是人们解决问题的一种基

60、本方法， 即化未知为已知的方法 下 面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用 例 4 如图 2-24 所示已知 ABC 中， C=90 ， D， E 分别是 BC，AC 上的任意一点求证： AD 2+BE 2=AB 2+DE 2 分析 求证中所述的 4 条线段分别是 4 个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手 证 AD 2=AC 2+CD 2， BE 2=BC 2+CE 2，所以 2+BE2=(AC2+BC 2)+(CD 2+CE2)=AB2+DE 2 AD 例 5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的 4 倍等于斜边平方的 5 倍 如图 2-25 所示设直角三角形 ABC