全等三角形的提高拓展训练典范题型50题(含答案解析)

1、全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3) 有公共边的，公共边常是对应边.(4) 有公共角的，公共角常是对应角.(5) 有对顶角的，对顶角常是对应角.(6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元

2、素是关键.全等三角形的判定方法：边角边定理(1)角边角定理边边边定理角角边定理(SAS): (ASA): (SSS): (AAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.三边对应相等的两个三角形全等.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系. 明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何

3、证明的基础.在证而证例题精讲板块一、截长补短【例11 (06年北京中考题)已知 ABC中，A 60 , BD、CE分别平分 ABC和.ACB，BD、CE交于点0,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【例2】 如图，点 M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点【变式拓展训练】 如图，点 于点N ,且与/ ABC外角的平分线交【例3】已知：如图，ABCD是正方形，/ FAD= /FAE求证:【例4】以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、E（点B除外），作DMN 60，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的 数量关系？M为正方形 ABCD的边

4、AB上任意一点， MN DMMD与MN有怎样的数量关系？于点O .求证：OA平分 DOE BDC是E【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示， ABC是边长为1的正三角形,顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的 MDN，AB、AC上，求 AMN的周长.【例 6】 五边形 ABCDE 中，AB = AE, BC+ DE= CD，/ABC+ ZAED= 180求证：AD平分/CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在 ABC中，BAC 60， AD是BAC的平分线，且ACABBD ,求 ABC的度数.【例8】在等腰 ABC中，AB AC，顶角 A 20，在边AB上取点D，使ADBC

5、，ABC 中，AC BC，ABM 60，求 NMB .求 BDC .【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题 ）如图所示，在C又M在AC上，N在BC上，且满足 BAN 50，例 10】在四边形 ABCD 中，已知 AB AC， ABD 60 ， ADB 76 ， BDC 28 ，求 DBC 的度数 .【例11】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形ABCD中， DAC 12CAB 36 ， ABD48 ， DBC 24 ，求 ACD 的度数 .例 12】（ 河南省数学竞赛试题在 ABC 外取一点 E ，） 在正 ABC 内取一点 D ，使 DA DB ， 使 DBE DBC ，且 BE BA ，

6、求 BED.【例13】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在 ABC中，BAC BCA 44 , M为 ABC 内一点，使得 MCA 30， MAC 16，求 BMC的度数.角形证明经典20题（含答案）AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求 ADD延长AD至U E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数则AD=52.已知：/ 1= /2 , CD=DE , EF/AB，求证：EF=AC过E点，作EG/AC，交AD延长线

7、于 G证明:贝 U/DEG= /DCA，/DGE= /2又VCD=DEZADC BzGDE (AAS )EG=ACEF/AB/DFE= /1/1= /2/DFE= /DGEEF=EGEF=AC3.已知：AD 平分/ BAC, AC=AB+BD ，求证：/ B=2 /C证明:在AC上截取 AE=AB，连接 ED AD 平分/BAC/./EAD= /BAD又AE=AB , AD=AD zAED BzABD ( SAS) /AED= ZB，DE=DB /AC=AB+BDAC=AE+CECE=DE/AED= /C+ /EDC=2 /C4.已知：AC 平分/BAD , CE丄 AB，/B+ /D=180

8、 °，求证：AE=AD+BE 证明: 在AE上取F，使EF= EB,连接 CF因为CE丄AB所以/CEB=/CEF = 90因为 EB= EF, CE= CE,所以 CEBzCEF所以/B =/CFE 因为/B+/D = 180 ° ,zCFE +/CFA = 180所以/D = /CFA 因为AC平分/BAD 所以 /DAC =/FAC 又因为AC = AC所以ADC 也ZAFC (SAS)所以AD = AF所以 AE = AF + FE= AD + BE5.如图，四边形 ABCD中，AB /DC , BE、CE分别平分/ ABC、/BCD，且点E在AD上。求证：BC=A

9、B+DC。证明：在BC上截取BF=BA,连接EF./ABE= /FBE,BE=BE,贝U"ABE /EBE(SAS), /EFB= /A;AB 平行于 CD,则:/A+ /D=180 ° 又 /EFB+ /EFC=180 :则 /EFC= /D;又/FCE= /DCE,CE=CE,故"FCEB/DCE(AAS),FC=CD.所以，BC=BF+FC=AB+CD.作AG /BD交DE延长线于GAGE全等BDEAG=BD=5AGF PDFAF=AG=5所以 DC=CF=27 . （5分）如图，在 ABC中,BD=DC,/1= /2，求证：AD 丄 BC.Cl延长AD至H

10、交BC于H;BD=DC;所以:6.已知，E 是 AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7，求 DC/DBC= /角 DCB;/仁 /2;/DBC+ /仁 /角 DCB+ /2;/ABC= /ACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;/BAD= /CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC如图，0M平分/POQ , MA丄OP,MB丄0Q , A、B为垂足，AB交0M 于点N ./ OAB= /OBA求证:所以MA=MB所以/ MAB= /MBA因为/OAM=/OBM=9O 度因为AOM 与MOB都为直角三角形、共用 OM，且/MOA= /MOB证明:做BE

11、的延长线，与AP相交于F点,AP于D .求证:P A/BC所以 / OAB=90- /MAB /OBA=90- /MBA所以 /OAB= /OBA9 . （ 5分）如图，已知 AD /BC,/PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于 E, CE的连线交AD + BC= AB ./PAB+ /CBA=180又，AE , BE均为/PAB 和/CBA的角平分线/EAB+ /EBA=90/EBugO ° , EAB 为直角三角形 在三角形ABF中，AE丄BF，且AE为/FAB的角平分线 三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中,/EBC= /DFE,

12、且 BE=EF，/DEF= /CEB,三角形DEF与三角形BEC为全等三角形， DF=BC AB=AF=AD+DF=AD+BC证明：在 AB上找点E,使AE=AC10 . （6分）如图， ABC中,AD 是/CAB 的平分线，且 AB=AC+ CD，求证：/ C=2 /BAE=AC , /EAD= /CAD , AD=ADz.ADE 也zADC。DE=CD , /AED= /CAB=AC+CD , DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE/B= /EDB/C= /B+ /EDB=2 ZB11 . （7分）如图， ABC中,/ BAC =90度，AB=AC, BD 是/ABC的平分线，BD的延长

13、线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.证明：延长求证:BD=2 CE.BA、CE,两线相交于点 FBE丄 CE/BEF= /BEC=90 在ABEF和ABEC中/FBE= /CBE, BE=BE, /BEF= /BEC /BEFBAEC(ASA) EF=ECCF=2CE/ABD+ /ADB=90 °/ACF+ /CDE=90又/ADB= /CDE /ABD= /ACF 在AABD和AACF中/ABD= /ACF, AB=AC, /BAD= /CAF=90 公BD BACF(ASA) BD=CF BD=2CEC12、（10分）如图：AE、BC交于点M , F点在AM上,

14、BE/CF, BE=CF。求证：AM 是AABC的中线。证明:BElCF 左=/CFM，/EBM= /FCMBE=CFBM=CM AM是/ABC的中线.13、（10分）AB=AC , DB=DC , F是AD的延长线上的一点。求证:BF=CF证明：在/ ABD与/ACD中AB=ACBD=DCAD=ADzADB= /ADC/BDF= /FDC在/BDF与/FDC中BD=DC/BDF= /FDCDF=DFBD 也/CD.BF=FC14、（12 分）如图：AB=CD , AE=DF , CE=FB。求证:AF=DE 。C因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角

15、形CDF因为 角DCB=角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE15.已知：如图所示,AB = AD , BC = DC, E、F 分别是 DC、BC的中点，求证:AE = AF。连结BD，得到等腰三角形 ABD和等腰三角形 BDC，由等C腰两底角相等得：角 ABC=角ADC在结合已知条件证得： ADE也zABF得 AE=AF16 .如图，在四边形 ABCD中，E是AC上的一点，/ 1= /2 ,/3= /4，求证：/5= /6 .C因为角1=角2 /3= /4所以角 ADC=角ABC.又因为AC是公共边，所以AAS=三角形ADC全等于三 角形ABC.所以BC等于

16、DC ,角3等于角4,EC=EC 三角形DEC全等于三角形BEC 所以/5= /6 17.已知：如图，AB=AC, BD AC , CE AB，垂足分别为 D、E, BD、CE相交于点F,求证：BE= CD.证明：因为 AB=AC ,所以/EBC= /DCB因为BD 丄 AC , CE丄 AB所以/BEC= /CDBBC=CB （公共边）则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE= CD18.如图，在 ABC中，AD为/BAC的平分线，DE丄AB于E, DF丄AC于F。求证：DE=DF .AAS 证ADEZADF19 .在AABC 中， ACB 90 , AC BC，直线 MN 经过点 C，且

17、 AD MN 于 D ,BE MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADC也CEB ; DE AD BE ；(2)当直线MN绕点C旋转到图若不成立，说明理由.SZACD+ /BCE=90而AD丄MN于D , BE丄MN于E, /ADC= /CEB=90 ° ,zBCE+ /CBE=90 ZACD= /CBE.在 Rt KDC 和 Rt CEB 中，/ADC= /CEB/ACD= /CBE AC=CB ,Rt KDC 织t AEB (AAS ),AD=CE , DC=BE ,DE=DC+CE=BE+AD(2 )不成立，证明：在 ADC 和 ACEB 中，/ADC= /CEB=90