应用数学基础 第四章-向量值函数的导数

1、14.11 向量值函数的导数向量值函数的导数 定义定义定义 设映射 f： m ( n是开集)，x 。如果存在线性算子 A： n m，使得对 h n，有0| | | | | )()(| |0|limhAhxfhxfh则称 f 在点 x 处 Frechet 可微(简称可微)，并称线性算子 A 是 f 在 x 处的 Frechet 导算子，记为 f ，即 f (x) = A 。0| | )()(|0|limhAhxfhxfh f : (a, b) A: 24.11 向量值函数的导数向量值函数的导数 定义定义 （2）导算子一定是唯一的。注意： （1）导算子的定义式等价于 f (x+h) f (x) =

2、 Ah + r (h)其中 lim h0 r(h) / h = 0 , 称 Ah 为 f 在 x 点的微分。思路： 假设有两个导算子： A1及A2 先证： (A1A2)(h) / h 0 ( h 0)； 再证： (A1A2)(h) / h = 0 ( h)。34.11 向量值函数的导数向量值函数的导数 性质性质命题 如果 f： m,则导算子 f ：n m 在标准正交基e1,e2,en下的表示矩阵是 （fi(x)/xj） Jacobi矩阵。 类似地，如果 f （一般写成列向量）是可微的，则称相应的导数为二阶导数。证明思路：x = (x1,x2,xn)T, h = (h1,h2,hn)T, 计算差

3、商的极限。此时，二阶导算子相应的矩阵称为 f 在 x 处的Hesse矩阵，（2fi(x)/ xi xj）（认为偏导可以交换）。44.12 单元函数矩阵的微分单元函数矩阵的微分 定义定义nmijtadtddttdA)()(定义 设A(t) = (ij(t)mn , 其中 ij(t) 是变量 t ( )的函数。若对于 i=1,2,m, j=1,2,n, ij(t) 均可微，则 A(t) 关于变量 t 的导数定义为矩阵函数的微分与积分具有与纯量函数的微分、积分 类似的定义 及 性质。54.12 单元函数矩阵的积分单元函数矩阵的积分 定义定义 定义 设A(t) = (ij(t)mn . 如果 ij(t

4、) 在 a, b 上可积， ( i=1,2, ,n ; j = 1,2,m), 则称A(t) 在a, b上可积， 且定义nmbaijbadttadttA)()( bamnbambanbadttdttdttdttaaaa)()()()(1111而称A(t)dt=nmijdtta)(为A(t)的不定积分。64.12 单元函数矩阵的微分单元函数矩阵的微分 性质性质若函数矩阵A(t)，B(t)均可导, a,b，C,K是数字矩阵, 则dttdBbdttdAatbBtaAdtd)()()()(dttdBtAtBdttdAtBtAdtd)()()()()()(dttdACtACdtd)()(KdttdAKt

5、Adtd)()(74.12 单元函数矩阵的微分单元函数矩阵的微分 性质性质dttdfduudAtfAdtd)()()()()()()(111tAdttdAtAtAdtd84.21 方阵序列 收敛的充要条件及性质定理4.1 方阵序列 Am 收敛于 A (即 Am=A ), 对于所有 i,j=1,2, n, 都有 aij (m)收敛于aij .mlimAm=(aij (m) ) nn注意： 定理4.1 说明，一个方阵序列收敛，意味着 n2个元素数列收敛。(1) 如果 Am=A, Bm=B, 则 AmBm=AB.(2) 如果 Am=A, A 1及Am1均存在, 则 Am1=A1.mlimmlimml

6、immlimmlim性质：94.21 方阵序列 收敛的充要条件及性质定理4.2 设ACnn, 则 收敛于零矩阵 (A)1. 0mmA证明思路： ( ) (A)m = (Am) Am; ( ) 利用谱范数与矩阵范数的关系。定理4.3 设ACnn, 则Am收敛于零矩阵 至少存在一种方阵范数|, 使得|A|1.104.21 方阵级数 收敛的充要条件及性质证明思路：根据矩阵级数收敛的定义，以及定理4.1。定理4.5 绝对收敛 对所有i,j=1,2,n, 绝对收敛. ommA ommija)(证明思路： 绝对收敛 等价于 收敛。ommA1 |ommA定理4.4 设 Am=aij (m)Cnn, m=0,

7、1,2,S=sijCnn. 则方阵级数 收敛于方阵 S=sij i,j=1,2,n, 数项级数 收敛于sij.0mmAommija)(114.22 方阵幂级数 定义定义4.4 设X是任意的 n 阶方阵, cm是一个复数列, 称为方阵X的幂级数, cm称为第m项的系数. 约定 X 0=E.0mmmXc若 收敛(绝对收敛)到 f (A), 即 f (A) = , 则称 在ACmn处收敛(绝对收敛).0mmmAc0mmmXc0mmmAc若 X Cnn, 都收敛(绝对收敛), 则称它在内收敛(绝对收敛), 称 f (X)为方阵幂级数的和函数.0mmmXc124.22 方阵幂级数 收敛性定理定理4.6

8、设复幂级数 的收敛半径为R, XCnn的谱半径为(X),则当(X)R时,绝对收敛; 当(X)R时,发散.0mmmzc推论推论1 若 在全平面收敛, 则该级数在全空间Cnn中绝对收敛.0mmmzc推论推论2 设 的收敛半径为R. 若XCnn的所有特征值都满足不等式 | j - 0 | R, 则方阵幂级数发散.00)(mmmzc00)(mmmEXc134.23 方阵函数 几个特殊的和函数!21!02mzzzmzemmmz)!12()1(! 5! 3)!12()1(sin1205312mzzzzmzzmmmmm)!2()1(!4!21)!2()1(cos20422mzzzmzzmmmmm1) 1(3

9、21) 1()1ln(10321mzzzzmzzmmmmm02! 2) 1(1!) 1() 1()1 (mmzzzmmz!2!02mXXXEmXemmmX)!12() 1(! 5! 3)!12() 1(sin1205312mXXXXmXXmmmmm)!2()1(!4!2)!2()1(cos20422mXXXEmXXmmmmm1) 1(321) 1()ln(10321mXXXXmXXEmmmmm02! 2) 1(!) 1() 1()(mmXXEXmmXE144.24 方阵函数 性质 性质性质1 (Euler公式) XCnn, 有 eiX = cosX + isinX , cosX = ( eiX

10、 + e iX )/2 , sinX = ( eiX e iX )/2 .性质性质2 XCnn及 t C, 有 eAt = AeAt = eAt A , sin(At) = A cos(At) = cos(At)A, cos(At) = A sin(At) = sin(At)A.性质性质3 设A, B Cnn, tA. 若AB=BA, 则eAt B=B eAt.两边对应的数项幂级数具有此性质dtddtddtd154.24 方阵函数 性质 性质性质4 A, BCnn 且 AB=BA, 则 eA+B = eA eB = eB eA .性质性质5 ACnn , eA必可逆且(eA)1 = e A .

11、性质性质6 A, BCnn 且 AB=BA， 有 sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB, cos(A+B) = cosA cosBsinA sinB, sin(2A) = 2 sinA cosA, cos(2A) = cos2A sin2A, cos2A + sin2A = E.性质性质7 XCnn , 有 sin(X+2E) = sinX, cos(X+2E) = cosX, eX+2iE = eX .即, sinX和cosX是以2E为周期, eX是2iE为周期的周期函数.性质性质8 对任意XCnn , f(XT) = (f(X) T.164.31 方阵函数值的计

12、算 当A可对角化时 f (A)的计算),(diag211nAPP121 ),(diag PPAn0)(mmmAcAf, )(0mmmR |z|zczf如果如果则当 (A)R 时 mnmmPPc ),(diag 12101210 ),(diag PPcmnmm1210 ),(diag PcPmnmmmm1210 ),(diag limPPcmnNmmN121 )(,),(),(diag PfffPn170)(mmmAcAf与A 可以同时对角化。 的特征值是f (1), f(2), f(n).0)(mmmAcAf注意：注意： ),(diag 21nPAPP 的列向量是 A 的特征向量4.31 方阵

13、函数值的计算 当A可对角化时 f (A)的计算184.31 方阵函数值的计算 当A可对角化时 f (A)的计算例例 4.6 设设 求求 2200A)sin( tA1210 )(,),(),(diag )(PfffPAcAfnmmm0)det( tAE0)/det()det(AEtttAEn其中 j 为A 的特征值。/t= 为A的特征值 121 )sin(,),sin(),sin(diag )sin(PtttPtAn194.31 方阵函数值的计算 当A可对角化时 f (A)的计算例例 4.6 设设 求求 2200A)sin( tA det( EA) = ( +2)1110=0:=2:的特征值 =

14、 0, sin(2t):)( sintA 1101 )2sin(,0diag 1101)sin(ttA )2sin()2sin(00tt204.32 方阵函数值的计算 当A不能对角化时 f (A)的计算定理定理 4.7 设 f(X) = , XCnn 且(X) R . 若X = diag(X1, X2, , Xs), 其中Xi是 ni 阶方阵且则 f(X) = diag( f(X1), f(X2), , f(Xs) ).021)(mmsm, X, , X Xdiagcnnsii 1 f(X) = f(diag(X1, X2, , Xs)(Xi) (X)()()(21sX, f, X, fX f

15、diag0mmmXcNmmsmN, X, , X Xdiagc021)(lim)limlim(001NmmsmNNmmmNXc, Xc diag214.32 方阵函数值的计算 当A不能对角化时 f (A)的计算定理定理4.8 设复幂级数 f(z) = 的收敛半径为R; 0mmmzc 1 1 1J() =是 k 阶 Jordan 块, 则当|R时, 0)()(mmmJ cJf)()(2!)(1)!-()()()(2!)()()()( 1)(f f fkff f ff ff -k 224.33 方阵函数值的计算 将 f (A)表示为多项式定义定义 设ACnn 的谱(A) = 1, 2, s , A

16、的最小多项式()= (-1) (m11) (-s) (ms1), f (z)是复变函数. 若对j=1, 2, s, f(j), f (j), f (mi1)(j) 都存在, 则称 f(z)在(A)上有定义, 并称f(j), f (j), f (mi1)(j) (j=1, 2, s)为 f 在(A)上的值 或 f 在A上的谱值.234.33 方阵函数值的计算 将 f (A)表示为多项式定理定理4.10 设ACnn 的谱(A) = 1, 2, s , f(z) = 在(A)上有定义, 则 (f (A) = f ( 1), f ( 2), f ( s ), A =PJP1 f (A) = P f (

17、J) P1 )()( 2)( 1)!-()()()( 2)()()( )( )( 1)(kkkk-kkkkkkkkfffkff f ff ffJf f (J) = diag( f (J1), , f (Js) ). 0mmmzc244.33 方阵函数值的计算 将 f (A)表示为多项式命题命题 设ACnn 的谱(A) = 1, 2, s , f(z) = , g(z) = 在(A)上有定义, 且 f ( i )(k) = g( i )(k) (k=1, 2, s; i=0,1, mk1)则 f (A) g(A). )()( 2)( 1)!-()()()( 2)()()( )( )( 1)(kk

18、kk-kkkkkkkkfffkff f ff ffJf 0mmmzc 0mmmzbf (A) = P f (J) P1254.33 方阵函数值的计算 将 f (A)表示为多项式定理4.9 设ACnn的最小多项式为 ()=(1) (s) , f() = 的收敛半径为R. m1ms0kckk则当(A)R时, 存在唯一的m次多项式T() = ,使得T()与f()在(A)上的值相同, 且 f(A)=T(A).1kkcmokmm1sjj思路: 1. 在A的谱上与 f () 的值相同的多项式T()可由线性代数方程组解得。2. T()在(A)上与 f () 的值相同, 则 T(A) f (A)。264.33 方阵函数值的计算 将 f (A)表示为多项式定义定义2.11 方阵方阵A的次数最低且首的次数最低且首1的零化多项式，的零化多项式， 称为称为 A的的最小多项式最小多项式，用，用 m()或或 mA()表示表示.(1) 最小多项式最小多项式m( )由由A唯一确定；唯一确定；(2) m( )能整除能整除A的任一零化多项式；的任一零化多项式；(3) m( )与特征多项式有相同的零点；与特征多项式有相同的零点；(