立体几何复习专题(空间角)

1、专题：空间角一、基础梳理1.两条异面直线所成的角(1)异面直线所成的角的范围:(0,3。2(2) 异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直 线a,b垂直，记作a丄b。(3) 求异面直线所成的角的方法：(1 )通过平移，在一条直线上(或空间)找一点，过该点作另一(或两条)直线的平行线；(2 )找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。1:三棱柱OAB -OjABj，平面OBBQ丄平面OAB ,NOiOB =60 ,NAOB =90，且 OB =OOi =2,

2、OA = J3，求异面直线AiB与AOi所成角的余弦。2.直线和平面所成的角(简称“线面角”)(1) 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内， 直线和平面所成角范围：0, o2(2) 最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。所成角为(3)公式：已知平面a的斜线a与a内一直线b相交成0角, 且a与a相交成申1角，a在上的射影c与b相交成眠角， 贝y有 cos cos = COS0。由(3)中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面 内的射影所成角，是

3、这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。00锦。亠/B考点二：直线和平面所成的角例2.如图，在三棱柱ABC-ABC'中，四 边形A ABB '是菱形，四边形 BCCB '是矩形，CB丄 AB, CB'=2,AB =4,NABB' = 6O0,求AC '与平面BCCB '所成角的正切。3： (1)在12O0的二面角P-a-Q的两个面P与Q内分别有两点 A、B , 的距离分别为2cm,4cm，且线段 AB =10cm。求：直线AB和棱a所成角的正弦值；直线 AB和平面Q所成角的正弦值。已知点A和点B到棱(2) (08全国I 11)

4、已知三棱柱 ABC-A,BiCi的侧棱与底面边长都相等, 射影为 ABC的中心，则ABi与底面ABC所成角的正弦值等于(C .鱼3D. 23Ai在底面ABC内的AB =3j3, BC =3，沿对角线BD将也BCD折起，使点C移到(3)如图，在矩形ABCD中，C点，且C '点在平面ABD上的射影0恰在AB上。求直线 AB与平面BCD所成角的大小。010)eAAB与平面P内不过A点的直线所成的角的范围 为设直线I U平面()(A) 1条a，过平面a外一点A与I,a都成30°角的直线有且只有(B)2 条(C)3 条(D)4条(4) AB为平面P的斜线，则平面 P内过A 点的直线l与

5、AB所成的最小角为最大角为。平面内过 A点的直线l与AB所成角6的范围为直线li与平面a所成的角为30°，直线l2与li所成角为60°，则l2与平面a所成角的取值范围 是过正方体的顶点 条件的一个截面A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等。试写出满足(注：只须任意写出一个)，并证明。3.二面角(1) 二面角的概念： 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面 叫做二面角的面。若棱为 I，两个面分别为 a, P的二面角记为a - l - P o(2) 二

6、面角的平面角：过二面角的棱上的一点 0分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA,OB，则N AOB叫做二面角a l P的平面角。说明：二面角的平面角范围是 0,兀，因此二面角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。二面角的平面角为直角时，则称为直二面角， 组成直二面角的两个平面互相垂直。(3) 二面角的求法：(4) (一)直接法：作二面角的平面角的作法：定义法；棱的垂面法；三垂线定理或逆 定理法；(注意一些常见模型的二面角的平面角的作法)(二)间接法： 面积射影定理的方法。(4)面积射影定理：面积射影定理：已知心ABC的边BC在平面a内，顶点A5。设人ABC的面积为S，它在平面a内的射影面积为 Si

7、，且平面a与 MBC所在平面所成的二面角为 0(00<90°)，则cosQ =岂。S注：面积射影定理反映了斜面面积、射影面积 和这两个平面所成二面角的平面角间的关系； 也ABC可以推广到任意的多边形。在二面角的平面角不易作时，经常采用“面积射影定理法”。' : IF例3.如图，在四棱锥 S-ABCD中，底面ABCD为 正方形，侧棱SD丄底面ABCD, E, F分别为AB, SC的中点。(1) 证明EF /平面SAD;(2) 设SD=2DC，求二面角 A-EF-D的大小。CiBi丄BA。求证：AM丄平面A1BC ； 求二面角B-AM -C的大小;求点C到平面ABM的距离。

8、如图所示，在直三棱柱 ABC ABC中，NACB =900,CB =1, CA =AA =乔,M为侧棱CCi上一点，AME四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面 ABC丄底面BCDE，BC =2， CD =， AB = AC o 证明：AD丄CE ; 设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角C - AD - E的大小。S为直角梯形ABCD所在平面外一点，NABC=900,SA丄1面 ABCD , SA = AB = BC = 1， AD =，求平面 SCD 与平面2733SAB所成二面角的大小。等边三角形 ABC与正方形 ABDE有一公共边 AB，二面角 C-AB-D的余弦值为M ,

9、 N分别是AC, BC的中点，贝y EM , AN所成角的余弦值等于1. (1)已知正三棱柱 ABC AiBiCi中,AiB 丄 CBi，贝yAiB与ACi所成的角为(A) 45°(B) 60°(C) 90°(D) 120°1(2) (08 全国 n 10) 则AE, SD所成的角的余弦值为(A. 1B晅C旦333(3) Rt人ABC的斜边在平面a内，已知正四棱锥 S - ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点,)顶点23A在a 卜，N BAC在平面a内的射影是/ BAC，则D.例4 .如图所示，已知平行六面体ABCD -AB,C1D1 的底面

10、 ABCD 是矩形，且侧面 ABB1Ai丄底面ABCD , ABj =BB1, AN =3NB,M、E分别是BC、AB的中点，F 是 EC 的中点，AB=4,MN =J2 , 侧棱与底面 ABCD成45°的角。(1) 求证：MF丄底面ABCD ;(2) 求二面角 M -AB -C的大小；(3) 求MN与平面B1CE所成角的大小。NBAC的范围是。(4) 从平面a外一点P向平面a引垂线和斜线， A为垂足，B为斜足，射线 BCUa，这时 NPBC 为钝角，设 NPBC =x,NABC =y，则()A. x>y B. x=y C. X c y D. x,y的大小关系不确定(5) 相交

11、成60°的两条直线与一个平面 a所成的角都是45°,那么这两条直线在平面 a内的 射影所成的角是()C . 60°D. 90°10cm两端点到平面的距离分别是2cm 3cm这条线;若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离A. 30°B. 45°(6) 条与平面相交的线段，其长度为段与平面0所成的角是分别是2cm 3cm则线段所在直线与平面 a所成的角是(7) PA PB PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是 所成角的余弦值是(o60 °,那么直线 PC与平面PABA.-2(8)如图，在正方体 ABCDB.）72.亦C

12、. 23-AB1C1D1 中，M ,N分别是AA,AB上的点，若NNMC1 =90°： 那么NNMB1的大小是（）A.大于900C. 900B.小于90°D.不能确定(9) 已知SO丄AABC所在平面于0点，cosAcosBsin Asin B，则 O点(A.必在MBC的某一边上C.必在 MBC内部(不含边界)(10) 如果直角三角形的斜边与平面日1和QJX)A. sin2 3 +sin2 日2 >1C. sin2 & + sin2 02 >1(11) 如图，a 丄 P, a n P =1,且S到A,B,C三点等距离，若)必在 MBC外部(不含边界) 以

13、上都不对B.D.a平行，两条直角边所在直线与平面2 2B. sin 01 +sin 氏兰 1D. sin2 Q +sin2<1A亡ot, B P,P所成的角分别A, B到I的距离分别是a和b , AB与是0和W, AB在a, P内的射影分别是 m和n，若a>b , )mnB.日沁，m<nmenD.mn与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是则(A.C.(12)AABC中，有a所成的角分别为2.已知直三棱柱 ABC - ABQ, AB = AC, F为BB1上一点，BF(1) 若D为BC的中点，E为AD上不同于A D的任意一点，证明:(2) 若ABi =3a，求F

14、Ci与平面AAiBiB所成角的正弦值。BC = 2a, FB a o EF 丄 FCj ;3.已知直角三角形 ABC的两直角边 AC=2,BC=3, P为斜边 AB上的一点，现沿 CP将 总ACP折起，使A点到A'点，且A'在面BCP内的射影在CP上。当AB=J7时，求二面角 p_ AC -B的大小。:4如图正三棱柱 ABC AiBQi中，底面边长为 a，若经过对角线 ABi且与对角线BCi2长为面交上底面于 DBi。(i)试确定D点的位置，并 的结论；(2)求平面ABiD与侧面ABi所成的角及 ABiD与底面所成的角；(3)求Ai到平面ABiDBi5.如图，在直四棱柱 ABC

15、D AiBiCiDi 中，AB = AD = 2, AC丄BD,垂足为E。(I)求证：BD 丄AiC;(II )求二面角A i BD C i的大小；(III )求异面直线 AD与BC i所成角的大小。DC = 2 73 , AAi =73 , AD 丄 DC ,6.如图，平面ABEFNBAD =NFAB=90,丄平面ABC D 四边形ABEF与 ABCD都是直角梯形，1 1 BCX-AD , BE 丄一AF。22E四点共面；(I)证明：C,(n)设 AB = BC=BE，求二面角 A-ED-B的大小。D, F,EFDOB, OC两两垂直，且长度均为 的一个平面与侧棱 0A, OB, OC7.

16、(08江西20)如图，正三棱锥 O-ABC的三条侧棱0A,2。E, F分别是AB, AC的中点，H是EF的中点，过3或其延长线分别相交于 A1, B1, C1，已知OA, = 3。2(1) 证明：BiCi丄平面OAH ；(2) 求面角0AE Ci的大小。Ci&如图，已知平行六面体 ABCD -ABiCiDi的底面为正方形， Oi、O分别为上、下底面的中 心，且Ai在底面ABCD上的射影是0。(1) 求证：平面0iDC丄平面ABCD ；(2) 若点E, F分别在棱AAi, BC上，且A2EAi，问点F在何处时，EF丄AD ?(3) 若NAAB =60°，求二面角C -AAi B的大小(用反三角函数表示)。CiD£9.如图，正四棱柱 ABCD-