第4节广义积分敛散性的判别

1、1第四节第四节* *2一、无穷限积分敛散性的判别一、无穷限积分敛散性的判别 对对于于级级数数 1nnu，在在无无穷穷区区间间), 1 上上定定义义函函数数 nuxf )(，)1, nnx，nn ， 则级数的部分和可表示为则级数的部分和可表示为 1121d)(nnnxxfuuus3定理定理( (比较判别法比较判别法) ) 设设函函数数)(xf和和)(xg在在), a上上连连续续，且且有有 )()(0 xgxcf ，), ax， 则当无穷限积分则当无穷限积分 axxgd)(收敛时，收敛时， axxfd)(也收敛；也收敛； 证略证略. .)()(0 xgxcf ，), ax，其其中中 c为为正正的的

2、常常数数， 4定理定理( (极限判别法极限判别法) ) 设函数设函数)(xf在在), a上连续，上连续，(其中其中0 a)，且且0)( xf，如果，如果 则则当当1 p时时，无无穷穷限限积积分分 axxfd)(收收敛敛； 证略证略. . axfxpx )(lim5例例1 1解解由罗必塔法则，由罗必塔法则， xpxxx elim2xpxx elim2 0 6例例2 2解解由于由于 所所以以，当当1 时时，该该广广义义积积分分收收敛敛； xxxx 1arctanlimxxxxarctan1lim ,2 7定理定理证略证略. . 如果广义如果广义 （此时称（此时称 axxfd)(绝对收敛）绝对收敛）

3、 例例3 3解解由于由于,e|sine|xpxpxxx ), 0 x由由例例 1 知知 1dexxxp 收收敛敛， 8二、瑕积分敛散性的判别二、瑕积分敛散性的判别 定理定理( (比较判别法比较判别法) ) 设设函函数数)(xf和和)(xg在在,(ba上上连连续续， )()(0 xgxcf ，其其中中 c为为正正的的常常数数， 则则当当瑕瑕积积分分 baxxgd)(收收敛敛时时， baxxfd)(也也收收敛敛； 证略证略. . )(limxfax ， )(limxgax ，且且恒恒有有 9定理定理( (极限判别法极限判别法) ) 设函数设函数)(xf在在,(ba上连续，且上连续，且 )(limx

4、fax，如果如果 则则当当10 p时时，瑕瑕积积分分 baxxfd)(收收敛敛； 证略证略. . axfaxpax )()(lim10例例4 4解解易易知知0 x为为瑕瑕点点， 取取121 p， )(lim210 xfxx ,111lim20 xx11例例5 5解解易易知知1 x为为瑕瑕点点， 由于由于)()1(lim21)1(xfxx ,61)4)(1(1lim2)1( xxx)()1(lim211xfxx ,61)4)(1(1lim21 xxx12例例6 6解解显显然然，当当1 p且且1 q时时，是是常常义义积积分分； 因此，当因此，当0 p且且0 q时时，该该广义积分收敛；广义积分收敛； 若若1 p，则则0 x是是瑕瑕点点， )(lim10 xfxpx ,1)1(lim10 qxx,11 p;0 p若若1 q，则则1