【教育资料】第一章习题课二项式定理学习专用

1、教育资源习题课二项式定理【学习目标】1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.1.二项式定理及其相关概念二项式定理公式(a +b)n = gan+Cnan b + Cnan kb+Cnbn,称为二项式定理二项式系数Cn(k= 0,1 ,，n)通项Tk+1= Cnan kbk(k =0,1,n)二项式定理的特例(1+x)n=C0+Cnx+C2x2+ dxk+ Cnxn2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)对称性：CmCnzm;(2)性质：cn+i=cp+ck；(3)二项式系数的最大值：当 n是偶数时，中间的一项取得最大值,即C(最大；当n是奇

2、数n 1 n 1时，中间的两项相等,且同时取得最大值，即CJCJ最大；(4)二项式系数之和：C0+Cn+C2+储+ Cjj=2n,所用方法是赋值法.类型一二项式定理的灵活应用命题角度1两个二项式积的问题例1 (1)(15)6(1 +4X)4的展开式中X的系数是()A. 4 B. 3 C. 3 D. 4(2)已知(1 + ax)(1 + x)5的展开式中x2的系数为5,则a=.考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中特定项的系数答案(1)B(2)-1m解析(1)方法一 (1F)6的展开式的通项为Cm (>/X)m=Cm(1)mxE, (1+4X)4的展开式n的通项为 C4eJX)n

3、= C4x2 ,其中 m = 0,1,2,，6, n=0,1,2,3,4.令? + 2=1,得m + n = 2,于是(1 或)6(1+也)4的展开式中x的系数等于C0 ( 1)0 C2+C6 (1)1 C4+C6 (1)2 C0=- 3.方法二(1 一 ,)6(1 + 或)4= (1 爽)(1 + 也)4(1 或)2 = (1 x)4(1 2Vx+ x),于是(1 而6(1+ 5)4的展开式中x的系数为c4 1 + c4 ( 1)1 1 = 3.(2)(1 + ax)(1 +x)5= (1 + x)5 + ax(1 +x)5，x2的系数为c5+ac5,则 10+5a=5,解得 a=- 1.反

4、思与感悟两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.(3)分别求解再相乘，求和即得.跟踪训练1"a)(2x-x)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式的常数项为(A. 40 B. 20 C. 20 D. 40(2)在(1 + x)6(1+y)4 的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m, n),则 f(3,0) + f(2,1)+f(1,2) + f(0,3)考点 二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中特定项的系数答案 (1)D(2)120解析 (1)令 x= 1,得(1+a)(2 1)5=

5、2,，a=1,故b+x；'x：的展开式中常数项即为"x ：,5的展开式中x与x的系数之和.(2x x ,5 的展开式的通项为Tk+1=(-1)kc525 kx5 2k,令 5-2k= 1,得 k=2,展开式中x的系数为C2X 25-2X( 1)2= 80,令 5-2k=- 1,得 k= 3,，展开式中1的系数为C3X 25-3X( 1)3= 40, x卜+ x jrx1 5的展开式中常数项为80 40= 40.(2)f(3,0) + f(2,1) + f(1,2)+f(0,3) = c6c0+ c6c4+ c6c2+ c6c3 = 120.命题角度2三项展开式问题教育资源1|

6、十 （+W）的展开式中的常数项是考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项答案解析方法一原式=5出iki = 0,1,2,，5).展开式的通项为Tki+1 = Ck1 ''I +1 | ( (当 ki=5 时，76=雨5=4*,当 0Wki<5 时,5国的展开式的通项公式为，/、5 ki k2T；2+1= Ck21 x (k213 Xk2I =C、5一 1 一卜2X5 ki 2k2(电=0,1,2,，5ki)令 5 ki 2k2=0,即 ki+2k2=5.0Wki<5 且 kiCZ, J1=3,k2= 2k2 = 1.常数项为4婿+吮羽/+加21>

7、<（小）3=4a呼+20.呼方法二原式=X2 + 2>/2x+ 2< 2x12 5丞-2)=32X5(x+，2)10.求原式的展开式中的常数项，转化为求（x+ J2）10的展开式中含X5项的系数，即C：0（，2）5.所求的常数项为C5o (V2 5 63V232反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化 的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性.跟踪训练2 （x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项答案 30解析 方法一（x2+x+ y）5= （

8、x2+x）+y5,含 y2 的项为 T3=c5（x2 + x）3y2.其中（x2+x）3中含x5的项为C3x4 x=c3x5.所以x5y2的系数为C5c3 =30.方法二（x2 + x+y）5为5个x2+x+ y之积，其中有两个取y,两个取x2, 一个取x即可，所以x5y2的系数为C5c3c1 = 30.命题角度3整除和余数问题一例3今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期（）A. 一 B.二 C.三 D.四考点二项式定理的综合应用题点整除和余数问题答案 A解析 求第810天是星期几，实质是求 810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数.因为 810=（7+ 1）10=710+

9、cl。* 79+ + C9oX 7+ 1 = 7M+ 1（M C N*）,所以第810天相当于第1天，故为星期一.反思与感悟（1）利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面（或前面）一、二项就可以了.（2）解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.跟踪训练3 设aCZ,且0wa<13,若512 °17+a能被13整除，则a=.考点二项式定理的综合应用题点整除和余数问题答案 12 0172 01702 017 C12 016 ,八22 015,八2 016 1角牛析 51+ a= （52

10、1）+ a = C2 01752 C2 01752+ C2 01752 " + C2 01752 1 + a）能被13整除，0< a<13.故1 + a能被13整除，故a= 1.类型二二项式系数的综合应用例4 已知g+2x).(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最 大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79,求展开式中系数最大的项.考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项解(1)由已知得2C5=C4+C6,2即 n -21n+98 = 0,得 n=7 或 n= 14.当n = 7

11、时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项，. 丁4=港q ,(2x)3 = 35x3, T5 = C,g/(2x)4= 70x4, 35.第四项的系数是第五项的系数是 70.当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C74 ,7X 27= 3 432.(2)由 C0+C1+C2=79,即 n2+n156=0.得n= 13(舍去)或n= 12.设Tk+ 1项的系数最大，, - I -I- 2x 12 一。12/1 J 12 £ 十 2x ； Q ( (1 + 4x)，储2 4%C1214k 1,I .©2 4k*214k+1,解得 9.4< k&l

12、t; 10.4.0< k< n, kC N , k= 10.展开式中系数最大的项是第 11项，1 12 /010 1010即 T11=。j C12 4 x = 16 896x .反思与感悟解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以 细心.跟踪训练4 已知以一展开式中二项式系数之和比(2x+ xlg x)2n展开式中奇数项的二项式,x系数之和少112,第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120,求x.考点二项式定理的应用题点二项式定理的简单应用解依题意得2n 22n-1 =

13、 112,整理得(2n 16)(2n+ 14)= 0,解得 n=4,所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项.依题意得 C8(2x)4(xlg x)4= 1 120,化简得 x4(1 +1g x)=1,所以 x= 1 或 4(1 + 1g x) = 0,故所求x的值为1或；.101 .在x(1+x)6的展开式中，含 x3项的系数为()A. 30B. 20C. 15D. 10考点 二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数答案 C解析 因为(1+x)6的展开式的第(k+ 1)项为Tk+1=c6xk, x(1 + x)6的展开式中含x3的项为C6x3= 15x3,所以系数为15.2.

14、在(x + y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是()A.第6项B.第5项C.第5、6项D.第6、7项考点展开式中系数最大(小)的项问题题点求二项式系数最大(小)的项答案 A6项.解析 C3 = C7,n = 3+7= 10,.展开式中系数最大的项是第3,已知x>0,则(1+x)10i1 + 1厂的展开式中的常数项为(120c211 C /1k12on-考点二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 D解析(1 + x)10 + X/°= (1+x*1 + 1J10= 3 + %2厂='x+，x设其展开式的通项为Tk+ 1,则

15、Tk+i = Ck0X10 k,当k=10时，为常数项.故选 D.4 .当n为正奇数时，7n+比"1+Cn 7n-2+ + CT1 7被9除所得的余数是()A. 0 B. 2 C. 7 D. 8考点二项式定理的综合应用题点整除和余数问题答案 C解析 原式=(7+ 1)n-Cn=8n-1 = (9-1)n- 1= 9n-Cn 9n 1 + C2 9n 2- + Cn 1 9(-1)n 1+ (1)n1.因为n为正奇数，所以(1)n1 = 2 = 9+7,所以余数为7.5 .设(2版一1)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为 N,若M,8, N三数成等比数列，则展开式中第四项为

16、 .考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 160X解析 当x=1时，可得M = 1,二项式系数之和 N = 2n,由题意，得 M N = 64,2n = 64,n = 6. .第四项 T4=c6 (23/X)3 (- 1)3=- 160x.1 .两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.(3)分别求解再相乘，求和即得.2 .三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决（有些题目也可转化为计数问题解决），转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注

17、意合理性和简捷性.3 .用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者前面）一、二项就可以了.4 .求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入.5 .确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质.、选择题二项式的展开式中的常数项是B.第8项A.第7项C.第9项D.第10项考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项答案 C_. _ 3.解析二项展开式中的通项公式为Tk+i=C：2 x12k -jXj=cl22k-x-2,令122k=0,得k=8.，常数项为第9项.2. （1 + x）8（1 + y）4的

18、展开式中x2y2的系数是（）A. 56 B. 84 C. 112 D. 168考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中特定项的系数答案 D解析 因为（1+x）8的通项为Ckxk,（1 +y）4的通项为C4yt,故（1 + x）8（1 +y）4的通项为c8c4xkyt.令 k=2, t=2,得 x2y2 的系数为 C2c4= 168.3,若（x+3y）n的展开式中所有项的系数的和等于（7a+b）10的展开式中二项式系数的和，则 n的值为（）A. 15 B. 10 C. 8 D. 5考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 D解析 由于（7a+b）10的展开式中二项式系数

19、的和为C00+ C10= 210,令（x+ 3丫,中*=丫=1,则由题设知，4n=210,即22n=210,解得n=5.4 .若二项式 ,+a；的展开式中$的系数是84,则实数a等于（）A. 2 B.4 C. 1 D*考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案 C解析 二项式2x+ a；的展开式的通项公式为Tk+1=c7（2x）7-k /:= c727 kakx7 2k,令 7-2k=- 3,得 k= 5.故展开式中g的系数是C522a5,即C522a5=84,解得a=1. x5 .设m为正整数，（x+ y）2m展开式的二项式系数的最大值为a, （x+y）2m+1展开式的

20、二项式系数的最大值为b,若13a= 7b,则m等于（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8考点 展开式中系数最大（小）的项问题题点 求展开式中二项式系数最大（小）的项答案 B解析.（x+y）2m展开式中二项式系数的最大值为Cmmn,，a=Cmm.同理，b=CmmJi.- 13a=7b,13Cmm=7 CmmL,（2m 1（2m + 1 - 13 = 7 ,，.= m= 6.m! m!（m+1 J m!6,二项式卜2 ： J6的展开式中不含x3项的系数之和为（）A. 20 B. 24 C. 30 D. 36考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 A解析由二项式的展开式的通

21、项公式Tk+1 = Ck （-1）kx12 3k,令12-3k=3,解得k=3,故展开式中x3项的系数为C6（-1）3=-20,而所有系数和为0,不含x3项的系数之和为20.A,偶数项的和为B,则（1x2）n的7.在（1+x）n（n为正整数）的二项展开式中，奇数项的和为值为()A. 0B. ABC. A2-B2D. A2+B2考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案 C解析(1+x)n= A+B, (l-x)n=A-B,(Ix2)n=(1+x)n(1x)n=(A+B)(AB)=A2B2.8. 9192被100除所得的余数为()_92A. 1 B. 81 C. - 81 D. 9

22、考点二项式定理的综合应用题点整除和余数问题答案 B解析 利用9192=(100 9)92的展开式，或利用(90+ 1)92的展开式.方法一 (100 - 9)92=c92 1 0092-c9210091 X 9 + C92 1 0090 X 92C92100x 991 + C92992.展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数.由 992=(101)92= %1092-+C921 02- C9210+1.前91项均能被100整除，后两项和为一919,因原式为正，可从前面的数中分离出 1 000,结果为 1 000919=81,，9192被100除可得余数为81.方法二(

23、90+ 1)92= C929092+ C929091+ + C9°902 + c9290+c92.前91项均能被100整除，剩下两项为92X 90+ 1 = 8 281,显然8 281除以100所得余数为81.二、填空题9,若！x2+2 6的二项展开式中，常数项为,则二项式系数最大的项为ax16考点展开式中系数最大(小)的项问题题点求展开式中系数最大(小)的项答案 2x3或-2x3解析32 +Ox，6 二项展开式的通项为Tk+1= Ck(x2)6k liOx /= c6akx123k,令12-3k=0,得 k= 4, C6a 4=11,解得 a=虫，当a = 2时，二项式系数最大的项

24、为C6(x2)3&=2x3.当a= 2时，二项式系数最大的项为C6(x2)31一5x3.2x 210 .x2+二一2)的展开式中常数项为 x考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项答案 20解析卜2 +,一2 ,3= ：,6展开式的通项公式为Tk+i=Ck(1)kx62k令6-2k= 0,解得k=3.故展开式中的常数项为一c6 = -20.11 . (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 .考点二项式定理的综合应用题点整除和余数问题答案 1.34解析(1.05)6= (1 + 0.05)6= c6+ c6x 0.05+C2X 0.052+c6x 0.053+ =

25、1+ 0.3+0.037 5 +0.002 5+1.34.12,已知12 ：1的展开式中含x的项为第6项，设(1 x+2x2)n= a0+a1x+ a2x2+ a2nx2n, 则 a1+a2+ a2n=.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案 255解析 因为x21，的展开式的通项是 Cn(1)kx2n3k(k= 0,1,2,，n),因为含x的项为第6 项，所以当 k=5 时，2n 3k= 1,即 n = 8.令 x= 1,得 ao+ a+ a2+ a2n= 28= 256.又 ao = 1,所以 a+a2+ a2n= 255.三、解答题13 .在二项式仅十壶J的展开式中，前三项的系数成等差数列.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项.考点 展开式中系数最大（小）的项问题题点 求展开式中系数最大（小）的项 解（i）二项式（&十戏，的展开式中，前三项的系数分别为1,2,6，1）根据前三项的系数成等差数列，可得n=i+ntn zl）求得n=8或n= 1（舍去）.8故二项式1 n2 x的展开式的通项为Tk+1=c8 2-kx4-k令 4-k=0,求得 k=4,可得展开式中的常数项为T5= C4）= 35.求得2wkw 3.因为ke Z,所以fc- C8+ %”（2）设第k+ 1项的系数最大，则由I 心