余弦定理练习含答案

1、课时作业2余弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1 .在4ABC 中，已知 a=5, b=4, /C=120°.则 c为()A. 41B. 161C. 41 或 61D. , 21【答案】 B解析c= "y aD.y【答案】 B【解析】由b2 = ac,又c=2a,由余弦定理a2 + c2 b2 a2+4a2 ax 2a 3 cosB = 2ac= 2010 = 4.3.在AABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为 a= 3、b=4、 c=6,贝U bccosA + cacosB + abcosC =【答案】2 + b2 - 2abcosC= a/52 + 42-

2、2X 5X 4X -1 =V61.2. zABC的角A、B、C的对边分别为a, b, c,若a, b, c满足 b2= ac,且 c= 2a,则 cosB = ()1C.2a 2aA.4b2+ c2 a2【解析】bccosA + cacosB + abcosC = bczr +2bcc2 + a2 b2 a2 + b2 c2 111ca 20 + ab "藐=2(b2 + c2 a2) + 2(c2 + a2 b2) + 2(a2 +c c 1 c c c 61b2 c2) = 2(a2 + b2+ c2)=万.4.在 ABC 中：(1)a=1, b=1, /C=120 ,求 c;(

3、2)a = 3, b = 4, c= 病,求最大角；(3)a:b:c=1：V3 ：2,求/ A、/ B、/ C.【分析】(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中，大边对大角；(3)可设三边为x, V3x,2x.【解析】(1)由余弦定理，得c2 = a2 + b2- 2abcosC=12+12-2X1X1X( 2)=3, .c=V3.(2)显然/C最大，a2+b2 c2 32+42371/cosC =2ab= 2X3X4 = - .上=120 .(3)由于 a:b:c= 1:他：2,可设 a = x, b = V3x, c= 2x(x>0).b2 c2 a2 3x2 + 4x2 x23

4、由余弦定理，得cosA=2bc = 2 gx2x = 2，.zA=30 :1同理 cosB = 2，cosC= 0. - zB= 60 , ZC= 90 .【规律方法】1 .本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征.2 .对于第（3）小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出/A,进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求/B,但要注意讨论解的情况.课后作业一、选择题（每小题5分，共40分）1. ABC中，下列结论：a2>b2+ c2,则 ABC为钝角三角形；a2=b2 + c2+bc,则/ A 为 60°a2+b2>c2,则 ABC为锐角

5、三角形；若/ A:/B:/C=1:2:3,则 a:b:c= 1:2:3, 其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 小 .b2+c2-a2【解析】cosA=一<0，2bc '必为钝角,正确；b2 c2 a21 cosA=2bc = -2，热=120 ；错误；a2+ b2 c2 cosC=-2ab>0,£为锐角，但/A或/B不一定为锐角，错误;/A= 30 , /B = 60 , /C=90 ,a:b:c= 1:3 :2,错误.故选 A.2. ABC的三角A、B、C所对边长分别为 a、b、c,设向量p= (a + c, b),q=(ba, c

6、a).若p/ q,则/C的大小为（）A兀A.6c兀B.3八兀C.2D.3兀.p=(a+c, b),q=(b a, ca)且 pq,. .(a+ c)(c a) b(ba) = 0即 a2+ b2c2 = ab, . .cosC=a2+ b2c2_ ab 12ab=2ab=一上=3.3. A ABC 中，角 A, B, C TT.的对边分别为a, b, c, /A=3, a=巾,b=1,A. 272C. 3+ 1则c等于（B. 3D. 273由余弦定理得，a2=b2 + c2 2bccosA,所以（市）2 = 1 + c2 2x 1 x cx C0S3,即c2 c6=0,解得c=3或c= 2（舍

7、）.故选B.4.在不等边三角形 ABC中，a为最大边，且a2<b2 + c2,则/ A 的取值围是（）a .（2t,兀）b . C 2）C.（3，2）D. （0, 2）【答案】 C【解析】 因为a为最大边，所以/ A为最大角，即/A>ZB, /A>/C,故 2">/B+/C.又因为/B+/C=兀一/A,所以 2丛>兀一/A,- 兀° Ob2+c2 a2一,即/A洛因为a2<b2+c2,所以cosA=一>0,所以0<zA<5.综上,32 bC2兀 /A 兀3s<2.5.在4ABC 中，已知 a = 4,b=6,/C=

8、120°,则 sinA 的值为（）C.33【解析】B.*c 57D- - 19由余弦定理得c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = 42 + 62 一 1 一 2X4X6（ 2） = 76,. c= 36.由正弦定理得 氤=上，即SnA=SinW $4sin120J57/SinA=76-= 19 .6. ABC 中，a、b、c分别为/ A、/ B、/C 的对边，且 2b = a 3 _+ c, /B=30 , ABC的面积为3,那么b等于()A3AA. 2B. 1 + V32±_ c. 2D. 2 + 73【答案】 B【解析】2b=a+c,又由于/B = 30&#

9、176;,11。3 -. S-Bc = 2acsinB = 2acsin30 =万，解得 ac= 6,由余弦定理：b2=a2+ c2 -2accosB=(a + c)22ac2ac cos30 = 4b212 6强,即 b2= 4 + 273,由 b>0 解得 b=1 + >/3.7 .在AABC中，若acosA+bcosB= ccosC,则这个三角形一定是 ()A.锐角三角形或钝角三角形8 .以a或b为斜边的直角三角形C.以c为斜边的直角三角形D.等边三角形【答案】Bb2+c2-a2【解析】由余弦te理acosA+bcosB= ccosC可变为a2bca得 1073= 2bcx

10、sin60 ；即 bc= 40. 又周长为 20,故 a+b + c = 20, b+c= 20-a. 由余弦定理，得 a2 = b2 + c2 2bccosA= b2 + c2 - 2bccos60 = b2 + c2 bc= (b + c)2 3bc,故 a2= (20 a)2120,解得 a=7.二、填空题(每小题10分，共20分)+c2 b2a2 + b2c2+ b，2ac =c，2ab ，a2(b2+ c2 a2) + b2(a2+c2 b2) = c2(a2+ b2 c2)a2b2+a2c2-a9.在4ABC 中，三边长 AB=7, BC=5, AC=6,则AB BC的值+ b2a

11、2+ b2c2- b4=c2a2+ c2b2- c42a2b2 a4 b4 + c4 = 0,(c2 a2+b2)(c2 + a2 b2) = 0, c2+ b2= a2或 a2+ c2= b2,.以a或b为斜边的直角三角形.8.若4ABC的周长等于20,面积是1073, /A=60°,则BC边 的长是()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C1【解析】依题意及面积公式S= 2bcsinA,为.【答案】1919 一一 一一【解析】由余弦定理可求得cosB =港，Afe BC=|AB| |BC| cos（兀35-B）=-|AB| |BC| cosB=-19.10.已知等腰三角形的底

12、边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长 为.【答案】斐a【解析】如图，AB = AC= 2a, BC=a, BD为腰AC的中线，EC 1过 A作 AELBC于 E,在AAEC 中，cosC = = ,在zBCD 中，由余 AC 4弦定理得 BD2 = BC2 + CD2 2BC CD cosC ,即 BD2 = a2 + a2 2XaXaX1 = 3a2, /.BD=6a. 4 2，2三、解答题（每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）三角形的形状.【分析】 解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题 转化成角或边的关系求解.【解析】方法一：由正弦定理巾=sn

13、§=snc=2R，R为mbc外接圆的半径，将原式化为8R2sin2Bsin2C= 8R2sinBsinCcosBcosC.SinBsinC?。，sinBsinC= cosBcosC,即 cos(B+C) = 0, .zB+/C=90 , "=90 ,故gBC 为直角三 角形.a2+ b2 ca2 + c2 b2方法二：将已知等式变为b2(1 cos2C) + c2(1 cos2B)= 2bccosBcosC.由余弦定理可得：b2 + c2 b2 (2h )2 c2(27)2 =2ab2aca2+b2 c2 a2+c2 b22bc Fb2aca2+b2c2+ a2+ c2b22即 b2+ c2 = -4-2L4a也即b2+c2 = a2,故MBC为直角三角形.【规律方法】 在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边a, b, c及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化.12. （2013全国新课标I,理）如图，在 ABC中，/ABC=90°,AB=M, BC=1, P 为AABC一点，/BPC=90 .1,、若PB=2,求PA;若