参数方程复习（定稿）

1、一一 参数方程的意义参数方程的意义二二 参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化三三 参数方程的应用参数方程的应用内容概况内容概况一、参数方程的意义一、参数方程的意义知识要点知识要点( , )P x y 在平面直角坐标系中，若曲线在平面直角坐标系中，若曲线C上的点上的点 满满足足 该方程叫曲线该方程叫曲线C的参数方程，变量的参数方程，变量t是参变数，是参变数，简称参数简称参数.1. 1. 参数方程的意义参数方程的意义 ( )( )xf tyg t2、常见几种曲线的参数方程、常见几种曲线的参数方程l（1）直线的参数方程）直线的参数方程:过过 点，倾斜角为点，倾斜角为 的直线的直线 的参数

2、方程的参数方程是是 （ 为参数）为参数） 的几何意义：表示有向线段的几何意义：表示有向线段 的数量，的数量， 为直线为直线 上任意一点上任意一点.000(,)P xy00cos ,sinxxtyytttlPP0( , )P x y知识要点知识要点直线上两点直线上两点P1,P2对应的参数分别是对应的参数分别是t1，t2，则则| P1P2|=| t1-t2 |(0)r (2)圆的参数方程圆的参数方程 圆的参数方程：圆的参数方程：（ 为参数）为参数）.222()()xaybrcos ,sinxarybr知识要点知识要点22221(0)xyabab(3)椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：椭圆椭圆 的参数

3、方程：的参数方程： cos ,sinxayb().为参数二、参数方程与普通方程的互化二、参数方程与普通方程的互化1.将所给的参数方程化为普通方程的过程，就是将所给的参数方程化为普通方程的过程，就是 消去参数的过程消去参数的过程.但但不要忘了参数的范围不要忘了参数的范围！2.引入适当的参数，将普通方程化为参数方程引入适当的参数，将普通方程化为参数方程.普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样参数不同，所得的参数方程也不一样.知识要点知识要点三、参数方程的应用三、参数方程的应用1.参数方程与普通方程的互化；参数方程与普通方程的

4、互化；2.利用直线的参数方程求弦长；利用直线的参数方程求弦长；3.求点与点之间、点到直线的距离的最值；求点与点之间、点到直线的距离的最值；4.求求f(x,y)的最值；的最值；5.求点的轨迹方程求点的轨迹方程.知识要点知识要点典型例题典型例题参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化例例1.（1）若直线的参数方程为）若直线的参数方程为 ， 则该直线的斜率为则该直线的斜率为 . 12 ,()23xttyt 为参数（2）圆）圆C的参数方程为的参数方程为 ,则该圆的圆心则该圆的圆心C坐标为坐标为 . 2cos1,0,2 )2sin2xy参数3270 xy3222(1)(2)4xy( 1,2)典型

5、例题典型例题参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化 例例2.（1）设）设 , 为参数为参数,曲线曲线 的参数方程是的参数方程是 . 1 tyt012yxy(2)设设 （ 为参数），则圆为参数），则圆 的参数方程为的参数方程为 .ytxt2240 xyy231,()1xtttyt 为参数22241()41txtttyt，为参数2cos ,()22sinxy为参数（3）曲线参数方程）曲线参数方程 （ 为参数）为参数） 的普通方程是的普通方程是 .sin ,cos2xy21 2yx 1,1x 22cos21 2sin1 2yx 典型例题典型例题参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互

6、化典型例题典型例题直线的参数方程几何意义的运用直线的参数方程几何意义的运用 例例3直线直线 经过点经过点 ,倾斜角为倾斜角为 ，它与椭圆，它与椭圆 相交于相交于 两点，求两点，求 的取值范围的取值范围.(2,1)P1222 yx,A BPBPA l22)2()22222x=2+tcos ,设直线l的参数方程为（t为参数）,y=1+tsin将上式代入到椭圆方程x +2y =2中，得(2+tcos1+tsin整理,得(1+sin)t +4(sin +cos )t+4=0,解：解：21212163,0 sin.24|PA|PB|=|t |t |=|t t |=,16|PA|PB|01cos2由直线参

7、数方程中参数的几何意义知1+sin典型例题典型例题曲线上的点到定点或定直线的距离曲线上的点到定点或定直线的距离例例4设直线设直线 ，交椭圆，交椭圆 于于 两点，在椭圆两点，在椭圆 上找一点上找一点 ，使，使 面积最大面积最大 .022:yxl149:22yxCC,A BPABP解：解：P2|5)2|553sin5.4cos5由椭圆的参数方程，可设点 的坐标为（3cos ,2sin ），则点P到直线x+2y-2=0的距离（ PAB的高）为：|3cos +4sin| sin(h=,，其中分析：因为三角形一边分析：因为三角形一边AB为定值，故只需为定值，故只需求求AB边上的高的最大值边上的高的最大值

8、.2,.4sin,5,3cos58.5kkZP 7 5当sin( + )=-1时，h取得最大值.5即 + =-29点的坐标为 - ，-522P1(0)A(0, )B(a)OPAOByabbb22x例4、已知 是椭圆上在第一象限a的点，和，0 是椭圆的两个顶点， 为原点，求四边形的面积的最大值.练习：练习：已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。22110064xy:10cos ,8sinA解 设20cos,16sin20 16sincos160sin2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX

9、典型例题典型例题求求f(x,y)的最值的最值例例5点点 是椭圆是椭圆 上的一个动上的一个动点，则点，则 的最大值为的最大值为_. ( , )P x y224312xy2xymaxcos ,2sinPcos ,2)31cos2sin4 cossin224cos,64.y22xyx= 3由椭圆+=1的参数方程为( 为参数)，34可设点 的坐标为( 3则2x+y= 32x+y4典型例题典型例题求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程M例例6已知线段已知线段 ，直线，直线 垂直平分垂直平分 ，交，交 于点于点 ，在，在 上并且以上并且以 为起点的同一射线上取两为起点的同一射线上取两点点 ，使，使 ，求直线，求直线 与直线与直线 的交点的交点 的轨迹方程的轨迹方程.,P P9OP OP4BB lBBBBOBPB P OlMBBPPO解：解：OBBB(0,2),B (0,-2),P09OP OP =9,P,0 ,a以 为原点，为y轴，建立