利用首次积分法求Burgers-Fisher方程精确解

1、分类号 O175.29 编 号 2012010739 毕业论文题 目利用首次积分法求Burgers-Fisher方程的精确解 学 院 数学与统计学院 姓 名 专 业 数学与应用数学 学 号 研究类型 应用研究 指导教师 提交日期 2012-5-25 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 年 月 日 论文指导教师签名：利用首次积分法解Burgers-

2、Fisher方程的精确解摘 要 非线性偏微分方程在物理学和数学中具有广泛的应用,所以求非线性偏微分的精确解就具有重要意义.求解非线性偏微分方程的行波解有很多种方法.首次积分法是冯兆生先生提出的一种求精确解的方法.首次积分法与传统的方法比较具有更方便、更快捷的优点.本文就运用首次积分法对Burgers-Fisher方程的精确解进行了一些探讨. 关键词 精确解;首次积分法;除法定理分类号：O175.29The First Integral Method used to Exact Solutions of Burgers-Fisher Equation (School of Mathematics

3、 and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui 741000，China)Abstract Nonlinear partial differential equations has a wide range of applications in physics and mathema. So, it is significant to seek the exact solutions of nonlinear partial differential equations. There are many kinds of methods t

4、o solve nonlinear partial differential equation travelling wave.The first integral method is proposed by Mr Feng Zhaosheng .Compared with traditional method, the first integral method is more convenient, more efficient.This article carries on a further discussion to the exact solutions of Burgers-Fi

5、sher equation by using the first integral method.Key words Exact solutions, The first integral method, Division theorem目 录0.引言11.首次积分法的基本原理12.首次积分法12.1首次积分的定义12.2除法定理32.3首次积分法解非线性偏微分方程的步骤.43.利用首次积分法解Burgers-Fisher方程的精确解44.利用mathematic软件绘制精确解的简易图75.小结86.参考文献9数学与统计学院2012届毕业论文利用首次积分法解Burgers-Fisher方程的精

6、确解0.引言本文讨论的Burgers-Fisher方程 (0.1)可以看作在是著名的Fisher方程 (0.2)和Burgers方程 (0.3) 的组合方程.BF方程在流体力学、非线性光学、化学物理中有广泛应用.下面就利用首次积分法对BF方程的精确解进行一些研究. 1.首次积分法的基本原理首次积分法的基本原理就是将目标方程通过波变换化为以下形式: . (1.1)其中是实数,是多项式,是关于的多项式.在这个基础上,利用除法定理来寻找方程的首次积分,就可以将方程(1.1)化为一阶可积的常微分方程组,就可以直接积分求解了.2.首次积分法2.1首次积分的定义 设函数的某一个子域内连续,而且对于是连续可

7、微的,又设函数不为常数,但是沿着微分方程组 , (2.1)在区域内的任意积分曲线 ， (2.3)函数V取常数,即 (为常数), (2.3)或当时,有 常数.这里的常数随积分曲线来确定,就称 (2.4) 为微分方程(2.2)在区域内的首次积分,其中是一个任意的常数.有时也称函数为微分方程(2.2)的首次积分. 定理1 设函数在区域内是连续可微的,且不恒为常数,则(2.4)式是微分方程组(2.2)在区域内的首次积分的充分必要条件是 (2.5)是关于变量的恒等式.证明:首先证明必要性.我们设(2.4)式是方程组(2.2)在区域内的一个首次积分.再设， 是微分方程组(2.2)在区域内的任意积分曲线.则

8、在区间内有恒等式（为常数）. (2.6)两边对求导数,就会有 , (2.7)或者在上有恒等式. (2.8) 因为经过区域内的任意一点都有微分方程(2.2)的一条积分曲线,所以(2.8)也就成为了区域内的恒等式,故恒等式(2.6)成立.再证明充分性.设恒等式(2.5)是成立的,由上述积分曲线在区域,所以得到恒等式(2.8),然后可以由(2.8)反推可以得到式(2.6).这样就证明了式(2.5)是微分方程组(2.2)在区域内的一个首次积分.证毕.一般的,若阶常微分方程组有个相互独立的首次积分，如果求得阶常微分方程组的个相互独立的首次积分，则可以通过上述方法求得阶常微分方程组的同解.其中首次积分在某

9、一个子域内的雅克比行列式 ,则称是相互独立的.2.2除法定理设是复数域上的多项式,而且在上是不可约的,如果不包含的全部零点,就可以得到复数域上存在一个多项式使得.2.3首次积分法解非线性偏微分方程的步骤. 给定一个非线性偏微分方程, (2.10)第一步运用行波变换将方程(2.10)化为二阶常微分方程 (2.11)第二步令,将二阶常微分方程(2.11)化为一阶常微分方程组. (2.12)设一阶常微分方程(2.12)的首次积分形式为(通常取)其中是实数域上的待定的多项式,第三步我们根据除法定理,可以得到存在实数域上的多项式使得. (2.13) 由等式(2.13)就可以确定,第四步求出最后将代入方程

10、中,解这个方程就可以得到方程(2.10)的精确解.3.利用首次积分法解Burgers-Fisher方程的精确解考虑非线性热传导Burgers-Fisher方程 . (3.1)首先设方程(3.1)有如下波形解 , , . (3.2) 将(3.2)式带入方程(3.1)可以得到 . (3.3)其中(为待定的常数，表示波速）.再令,那么方程(3.3)等价于 . (3.4) 设和是方程组(3.4)的非平凡解,而且是复数域上的不可约的多项式,满足, (3.5)其中是关于的多项式,.方程(3.5)就叫做方程(3.3)的首次积分.取,我们注意到是和的多项式,并且表示.再根据除法定理,在复数域上存在一个多项式,

11、使得 . (3.6)使方程(3.6)两边的系数相等,可以得到方程组 (3.7.1) (3.7.2) (3.7.3) (3.7.4) 由于是多项式,所以由(3.7.1)可以得到(为常数),而且.不失一般性,我们取.则(3.7.2)和(3.7.3)可以化简为 , （3.8） . （3.9）由方程(3.7.4)和方程(3.9),平衡和的次数,我们可以得到,同时.所以我们可以设，,再将它们代入到方程(3.8)和方程(3.9)中,积分就可以得到 , (3.10) (3.11)其中为积分常数.将,方程(3.10)和方程(3.11)代入到方程(3.7.4)中,可以得到方程. (3.12)令方程(3.12)中

12、,以及常数项为零,可以得到方程组 (3.13) 解这个代数方程组,可以得到, , , . (3.14)将结果式(3.14)代入到(3.11)和中,可以得到 (3.15) 将结果式(3.15)代入到首次积分(3.5)中,得到 . (3.16)化简方程(3.16)并将其代入到方程(3.4)再将代入可得方程(3.1)的精确解为 (3.17) (3.18) 其中为任意积分常数.4.利用mathematic软件绘制精确解的简易图为了更好地研究Burgers-Fisher方程,我们可以利用mathematic软件绘制出精确解的简单的三维图.在mathematic软件中输入如下程序代码：.运行程序,得到如下

13、简易图形.再输入.运行程序,又可以得到方程另外一个精确解的简易图形，其中令,取.5.小结 从上面的过程可以看出,首次积分法对于求解Burgers-Fisher方程的精确解是一种可行的方法.由此我们可以推断对类似的非线性偏微分方程也可以用该方法求其精确解.本文只讨论了Burgers-Fisher方程的简单形式,对于更一般形式的Burgers-Fisher方程及其精确解,还需要作进一步的研究.参考文献1 郭玉翠. 非线性偏微分方程引论M. 北京:清华大学出版社, 2008:205227.2 王高雄,周之铭等. 常微分方程M. 北京:高等教育出版社, 2006:348352.3 汤光宋,陈凡. 可利

14、用首次积分法求解的几类非线性微分方程J. 商洛师范专科学校学报, 2003, 17(2):1922.4 陈肖石,汤光宋. 利用首次积分求解几类二阶非线性常微分方程J. 江西大学学报, 2000, 2:1215.5 高勇强. 关于ChaffeeInfante方程精确解的另一种求法J. 廊坊师范学院学报(自然科学版)，2009, 9(3):1115.6 王明亮,白雪. 广义BurgersFisher方程的精确解J. 兰州大学学报(自然科学版)，1999, 35(2):15.7 王大鹿. 基于Mathematica软件的函数作图及性质分析J. 高等函授学报(自然科学版)，2011, 24(5):7476.致 谢大学四年学习时光已接近尾声,在此我想对我的母校,我的亲人,我的老师和同学表达我由衷的感谢.感谢我的家人对我大学四年学习的默默支持,感谢我的母校给了我在大学四年深造的机会,让我能继续学习提高,感谢母校的老师和同学四年来的关心和鼓励.老师们课堂上的激情洋溢,课堂下的孜孜教诲,同学们在学习中的认真热情,生活上的热心主动,所有这些都