北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学试题及答案

1、北京市朝阳区20192020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 .在复平面内，复数i （2 4 口对应的点的坐标为（）A、B B ：|B.C.D.1（ 2, -1 ）【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【详解】 解：复数i （2+i） =2i-1对应的点的坐标为（-1,2）,故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2 .已知 1a 二出t , b 二 logo.32 ,亡=log B b b

2、B. 二hC. D -匚；-白D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可 .【详解】日 一 ； -（口，1），b = logo.32 亡 dk = Log：;3 1,七 a b,故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查哥指对函数的性质，属于常考题型 3 .已知双曲线工一人 , 门 门的离心率为二，则其渐近线方程为（）A. y 二土 公B7二士 一，C.一十上、D.a/3y = 三二【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=x,再由双曲线离心率为 2,得到c=2a,由定义知b 士 07 =、月a，代入即得此双曲线的渐近线方程【详解】 解：二双曲线 C方程为：1

3、 (a0, b0) 即 br.双曲线的渐近线方程为 y=x又,双曲线离心率为 2,，c=2a，可得 b . l；a因此，双曲线的渐近线方程为y= . x故选：B.【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题.4.在 A凰中，若|b = 3, c = V5,。二，则角E：的大小为()A. B.B. CC.臼D.工或m【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果 .【详解】解：: b=3, c7后,C _三，| - 4由正弦定理上二，可得J二y， ,1外自_ MiwsJnR 、房工4可得：sinB _止,c或3 V 1,从而作出判断详

4、解】f (x)=式： 3K + i，fz (x) =3x2-3 = 3 (x+1) (x-1),令(x) 0,解得：x 1 或 x1)1上单的充分而不必要条件,故选：A【点睛】本题考查属于中档题.9.已知正方形k的最大值是(C.且若火色有且只有调递减,:;是 |i（：性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想,4为圆心的圆与直线 门相切.若点是圆：上的动点，贝况.兄D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆卜的方程为：后./二2，S .蝙二4 -.鼻，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则 B(O,O), |式0,2) , D(2t2),圆二的方程

5、为：仁 +=2，, V5sin),H =02.27 H 应 5msi 8 -”,. I : . ,式4+勺一1时，房.5的最大值是8,故选：Dn-2【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题.10 .笛卡尔、牛顿都研究过方程二受，关于这个方程的曲线有下列说法： 该曲线关于y轴对称； 该曲线关于原点对称； 该曲线不经过第三象限； 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以-x代x,以-x代x, - y代v,判断的正误，利用方程两边的符号判断的正误，利 用赋值法

6、判断的正误.【详解】以-x代x,得到G *+ 2）。* 3）- ”，方程改变，不关于、轴对称；以-x代x, - y代y,得到S * 1）（工+ 2） （x * 3） - xy ,方程改变，不关于|原点对称；当|式式 0.亡时，h1）（工 2） （x 3）亡0.工 。.显然方程不成立，.该曲线不经过第三象限；令卜】，易得y=1，即1适合题意，同理可得 门.8,（却，,适合题意，.该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程， 考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档 题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分1

7、1 .卜、+ 的展开式中的常数项为 .【答案】24【解析】先求出二项式展开式通项公式Tr + 1 =仃严&=庄力仃/士再令-。,求出广=2代入运算即可得解【详解】解：由二项式展开式通项公式为一 】:= 2”，5、4Td令IT广二0,解得二2,即展开式中的常数项为24,故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题12 .已知等差数列.的公差为2,若|a】，a：成等比数列，则&：二 ;数列加|的前 卜项和的最小值为 .【答案】 （1）.（2）.【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2,再由等差数列的求和公式，结

8、合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值.【详解】解：等差数列an的公差d为2,若a1，a3, a4成等比数列，可得 a32= a1a4,即有（a+2d） 2=a（a+3d）,化为a1d= - 4d之，解得 a1 = - 8, a2 = - 8+2 = - 6 ；数列an的前n项和Sn= na1 + n （n T） d=-8n+n (n T) = n2 - 9n=(n )2卜，-7当n=4或5时，Sn取得最小值20.故答案为：-6, - 20.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题.13 .若顶点在原点的抛

9、物线经过四个点1 J),此,3, |(4一)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是.【答案】I-或产”【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可【详解】设抛物线的标准方程为：口二二、,不难验证口适合，故乂:gy|；设抛物线的标准方程为：/二z 不难验证卜|). (4,为适合，故/二J；故答案为：丁 ”或产【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14 .春天即将来临，某学校开展以 拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为口，各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设K为其中

10、成活的株数，若x|的方差DX - 2. I , P(X = 3) P(X - 7)|,则口 二 【答案】【解析】【分析】由题意可知：XF(lCi.R),且j lUpU -口)=立1 ,从而可得口值. (P(X = 3) P(X = 7)【详解】由题意可知：- f 10口(1 -田二 2J ,即loop + _l0 ,|IP(X = 3) Q.5h-I故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题.15 .已知函数的定义域为同，且,仁；笈）=2於）|,当* （ 0.乃）|时，k） = inx|.若存在KD ,使得10G24V5，则d的取值范围为

11、 【答案】i： zl-r- + 8【解析】 【分析】由f （x+；r） =2f （x）,得f （x） =2f （x-汗），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围.【详解】解：.、（*，常）二2m tg - 21（工一疗）|,;当 m 0. 江）|时，门上）=sin 当 k C时，（1） = 2sln（x-?r ） 当 k C 2中.3/）时，1（k）-q iMxT/）.当 k C 3 中 A/）时，他）-8sin（x-j tt ） 作出函数图象：令若存在故答案为:【点睛】本题考查函:结合的解题思想方法,16.某学校数学建模小（每层玻璃的厚度相同）及对保温效巢的影响，利用热两层玻璃间夹空气层箪及

12、常用方法，考查数形Hr:,解得:使得ftxc)方程的综合中档题.了研究双层工于户中每层玻璃厚度IJ热传导量满足关系式:L二x 罚，其中玻璃的热传导系数 .I 4 . M厂焦耳/（厘米.度），不流通、干燥 哈*切-空气的热传导系数i.1旷；焦耳/ （厘米,度），Alj为室内外温度差.q值越小，保温效果越好.现有 4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度|d （单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度1|（单位：厘米）A型日B型dC型b.s目D型b.s日则保温效果最好的双层玻璃的型号是 型.|B【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的口值，根据门值越小，保温效果越好.即可作出判断【详

13、解】A型双层玻璃窗户:B型双层玻璃窗户:C型双层玻璃窗户:i - 30 - 22.57L 86 *D型双层玻璃窗户:2) = 0.6丁* 引492根据,且口值越小，保温效果越好.故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17.已知函数 FQ） - Z5tiin2工 * Llcos2x ； iil m 1 1。-（1）求小）的最小正周期；(2)求飞)的单调递增区间；(3)对于任意 ，,f马都有於)恒成立，求词的取值范围.【答案】(11；口片犷O【解析】【分析】f (x

14、)的最小正周期T;(1)将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数(2)由三角函数的图象与性质即可求函数f(x)的单调递增区间;(3)原问题等价于最大值小于零.【详解】(1)因为g八心.(2)由(1)知代)二 2sin(2x又函数卜二宫in*的单调递增区间为三时，0的最大值为卜+3,丁二斗一 ？48in(2v + - -.I.：.- -ll +1 .工，所以三m +1，3r7 + k耳&才JTJT万一圆理(2、十4万所以|fg的单调递增区间为 _(3)因为所以又因为1M 。对于任意一.f恒成立,氏(Z).所以+ 3 0,即巾 -3.所以你的取值范围是【点睛】本题主要考查三角函数函数的周期

15、、单调区间和最值问题，关键在正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数名称的形式,然后利用三角函数的性质解答，要求熟练掌握三角函数的图象和性质.18.某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别写有厨余垃圾”、有害垃圾”、何回收物”、其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取口张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得。分.比如将写有 废电池”的卡片放入写有 宥 害垃圾”的箱子，得卜分，放入其它箱子，得d分.从所有参赛选手中随机抽取 20人，将他们 的得分按照(20TO , 20 ”

16、W (人).所以所抽取的 为人中得分落在组|620的人数有2人，得分落在组|(冢.的人数有3人.(2)刈的所有可能取值为0， ，2。= 0) = & = = PCX = J) = - = P(x = 2) 所以、的分布列为所以卜的期望&EX=0*+乂一j“1口101,2,Wb111PT iq11(3)答案不唯一.答案示例1:可以认为该选手不会得到100分.理由如下:该选手获得100分的概率是概率非常小，故可以认为该选手不会得到100 分.该选手获得100分的概率是答案示例2:不能认为该同学不可能得到100分.理由如下:,虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分.【点睛】

17、本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解,考查分析问题解决问题的能力19.如图，在四棱锥卜TBcd中，底面ABCD是边长为2的菱形，公明二三，1嗔_1,平面IBCD ,PA =，什H 2E4, E为CL的中点(1)求证：|bd 】七；(2)求异面直线h与皿:所成角的余弦值；(3)判断直线|臼与平面区的位置关系，请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(3)相交，理由见解析.【解析】(1)根据题意先证明|bd _L平面丛C，即可得到答案；(2)以人为坐标原点,以 应为&轴,以仅为士轴，以过点口且与庙平行的直线为、轴,建立空间直角坐标系【“、%.的坐标，利用公式即可得到

18、结果;(3)求出平面,附的一个法向量与向量卜.，根据H.区与零的关系，作出判断.【详解】(1)连结因为底面 IaBCU是菱形，所以BD _L AC.又因为砥_L平面，WCU, |BD U平面|41山所以又因为忆I n AC = A,所以|bd _l平面1V4又因为Me U平面PM,所以(2)设C,趾交于点就因为底面abcl是菱形，所以|ac _l乩，又因为忆I _L平面XBCU,所以卜咕_L AC, !A _L Bl如图，以i；为坐标原点，以E：为、轴，以E为y轴，以过点且与Y平行的直线为|z轴,建立空间直角坐标系 D X”，则CCO.l.O），|d（ - 7包仇卜 e（-YU巾（51 I ,

19、卜支：-；斗则屈=（氏1 .9=（、/ 1.1”设异面直线，,壮：与Dp所成角为g ,则斤f （0工 ,3 = 心同良|二国运二立I5| IDFI a所以n与口所成角的余弦值为 史.5 |（3）直线E1与平面PBC相交.证明如下：由（2）可知，p 二吟一 J），品=（崛二（-、名 -卜设平面PBC的一个法向量为口- , _ ,则川. = 0,即-4阳 + 二 U .令；* 得:；=r 7 则H /二（-1】） ,卜骋由丰j所以直线U：与平面FK相交.【点睛】本题考查线面的位置关系， 考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属于中档题.20.已知椭圆c J =1（苜 b 过点P（7 .

20、与，且椭圆C的一个顶点|口的坐标为it ,。）.过椭圆（的右焦点I的直线与椭圆c交于不同的两点a|,忸（一:不同于点E）,直线DL与直线#二交于点工】.连接乳F,过点卜作n.的垂线与直线印交于点卜.（1）求椭圆.的方程，并求点：的坐标；（2）求证：0民丫三点共线.【答案】（1）/, （1.0）； （2）证明见解析.T + - = 1【解析】【分析】（1）根据题意列方程组f a二L ,即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标； p *= 1Ih 4b 讨论直线|】的斜率，利用i- 尿是平行的证明b, d, 三点共线.【详解】（1）因为点 _ A在椭圆c上，且椭圆匚的一个顶点b的坐标为（一 2.0，所

21、以H =上， 解得/ H = 2, 2）二二 1. 卜*| w M所以椭圆C的方程为一 .方十G i】所以椭圆l的右焦点卜的坐标为|（1,0）卜（2） 当直线1的斜率不存在时，直线 4的方程为*二1 .显然，；式】BU,-或川】.-卬】令.当打.二飞I _ 1）时，直线da的方程为二IQ ,，点卜：的坐标为（4 . 3）|-所以 |kM?-.直线同.的方程为了二（X -】；,，点X的坐标为 a 3）.则W - - y K - （b. 3）所以艮二五所以D国卜三点共线.同理，当UU _ 3, Hil；）时，包|b，X三点共线.当直线|的斜率存在时，设直线1的方程为|y = k1）.由 1c .一

22、 k*】得臼廿：8k，* （41? - 12）-。+ 4y = 12且=（-Kk）1 - 4k!）（4k12） （J 直线反的方程为$.二门（工十2），点M的坐标为4 *直线M的方程为y _ _ . 7 _ I ,点N的坐标为(4 _+，U则讨=a： + d，京=-甘)所以 g+ 2) ,5=-5I(XI + 2(xw * 2) +=-I(M + 2)(X2 -* 2) + 4k-(Xi - I)(X2 - 1 )l-I-k.=-| (1 + IkjxLV? + (2 - 4V- (xi + 2)+ 4kJ + 4|一“Mi ,，儿 .明(1 4 4k-)- + (2 - 4k)- * 4k

23、+ 4Jyi1a 4 4k-a +J门一，1八.-12)-1：闻,+(ik +* 口二 3 * 4k3 4kJ - 12 * Iflk4 - 4k t it* * 32k1 t I a* * 12 * ink4 + (jL= - 期 I1 * 4/, 0-所以1(与共线，所以b，x三点共线.综上所述，琲M，、三点共线.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.21.已知函数f(k = (sinx *白)1峭，a -】，结合函数的单调性与极值即可得到实数白的取值范围.【详解】(1) (i)因为r(x0 =

24、sinxhr ,所以“G二gZn-小，f与二子又因为r（7）二 i ird所以曲线k = Efw在点，了处的切线方程为r 1 L 工，* （-7+f 71）y - 1 n = （x - -77）化简得斤二.- 7T y _ k + t 1 n- - 0 金（ii）当、 （1:）时，|fW 4J单调递增，此时1门工）无极大值.当 二产 时，设dm - r，贝U ,1.1+ -n,x C （B k j gAJ - i , k ix） = -sinx 1 nx + ）2r*所以限在F#1内单调递减.1 m （. 7T） .又因为（土）二三 0，O ）二】依v Q， 2 r所以在才，.内存在唯一的.T

25、 使得 Q J _ rt .,7T iK门 t , 7T ）J KUJ - U当卜变化时，.u，f仁）的变化如下表RH（KO.左）k6)*0l-l|r(x)l/所以|f（x.在nN。）内单调递增，在|（右.汗）|内单调递减，此时1（0有唯一极大值.综上所述，L在1.才）内的极大值的个数为1.由题可知F（工）=弛一+ mzz其中k J# 当|a S 1时，卜仆） 小故S：在二/j内单调递减；卜面设白.2xsinx 口，|门弋在（三开1内单调递增，不符合题意当 2方1白七口|时，即 1式3七，君时，h （三） （；，卜（定）七口，所以箝上）使人0因为|卜於）在（上常内单调递减，所以对V （工工1）卜（0 0，所以2 0所以我.在（工）内单调递增，不符合题意.所以当|a】时，FG）在工矛，内不单调递减.综上可得|a