天津市2019年中考数学试题研究与圆有关的证明与计算

1、与圆有关的证明与计算1.在ABC / ABC 45 , Z C= 60 , O O经过点 A B,与 BC交于点 D,连接 AD(I)如图，若 AB是。的直径，交 AC于点E,连接DE求/ ADE勺大小.(阴如图，若。O与AC相切，求/ ADCJ大小.解：(I)如解图，连接 BE . /ABC= 45 , / C= 60 , / BAC 75 . AB是。O的直径， ./AEB= 90 . / ABE= / AEB- / BAO 15 ABE= / ADE ./ ADE= 15 ;(n)如解图，连接 OA OD .AC是。O的切线， /OA隹 90 . ./ABC= 45 , /AO屈 90

2、. OA= OD，/OAD= 45 . / DAO / OAC- / OAD= 45/ O 60 , /AD仔 75 .D图(：B D图第1题解图2.如图，AB是。O的直径，且AB= 4,点C在AB延长线上，且BC= 2,D是。O上一点,连接CD(I )如图，若CD。0相切，求CD勺长;(n)如图，若CD与O 0的另一个交点为点E,且E为CD的中点，连接OD AE交于点F,求CD的长.0DB0图.2)解：(I)如解图，连接.CD与O 0相切, .ODLCD 即/ ODe90又AB是。O的直径，且AB= 4, BC= 2,. OD= OB= OA= 2, OC= 4. CO珅,CD=5_22 =

3、2镉;(n )如解图，连接 BE AB是。O的直径, .Z AEB= 90 .点 E 为 CD的中点，BC= OB= OD= 2,.BE/ OD BE= OD= 1. ODL AE AF= EF.1 1又。是AB的中点，.二OF= ,BE= 2-c 13DF= OD- OE 2 5 = 2 RtABE中，AE= 5百-BE =质, .ef- f2 . .RtA DEF, DE=逆=+dF =“. CD= 2DE= 2 6.n图图第2题解图3.如图，已知平行四边形 ABCD以AB为直径的。O与CD相切于点E,且交AD于点F.(I )如图，连接 BE求/ ABE勺大小；(n)如图，连接 CF交o

4、O于点G连接AG若/ DFO / DCF= 70。，求/ AGF勺大小.第3题图解：(I )如解图，连接 OE AE,.OO与CDf切于点E,. OEL CD 四边形ABC四平行四边形， .AB/ CD. OELAB AB是。O的直径， .OA= OB /AEB= 90 .AE= BE .Z ABE= / BAE= 45 ;(11);四边形ABC时平行四边形， .AD/ BC / BAD= / BCD / BCF= / DFC/ DFO / DCF= 70 ,，/ BCFF / DCF= 70 .，/ BCD= 70 .BAD= 70 .如解图，连接 BF AB是。的直径, ./AFB= 90

5、 .，/ABF= 90 -70 =20 . ./ AGF= / ABF= 20 .图图第3题解图4.已知AB是。O的弦，C是劣弧AB勺中点，D是。O上一点，CD交AB于点E,点P为BA的延长线上一点，PD= PE(I )如图，求证：PD是O O的切线；(n)如图，当 AB为O O的直径时，连接 BC若tan / BCD= 2,求tan / AP面值.第4题图(I)证明：如解图，连接 OC OD 点c是劣弧AB勺中点，. OCL ABOC= OD ./ OCD= / ODC. PD= PE / PDE= / PED又./ PED= /CEB /CEBb /OCD= 90 , /PD曰 / ODG

6、 90 ,即/ PDO 90.ODO O的半径，PD是。O的切线；(n)解：如解图，连接 AD OD BD .AB是。O的直径，ADB= 90 . / BAD= / BCDtan / BAD= BD= tan / BCD= 2.D .PD是。O的切线，ODP= 90 ./ PBD= / ADP 又/ P= / P, . APDo DPBpa_pp_ad_i peT PBT pb= 2设 PA= a,贝U PD= 2a, PB= 4a,3贝U AB= 3a, - OD= 2a.tan / APD=OD 3 ppt 4.图图9第4题解图5.已知BC是OO的直径，AD是OO的切线，切点为A, AD交

7、CB的延长线于点 D,连接AB,AO(I)如图，求证：/ OAC= /DAB(n)如图，若 AD= AC E是。O上一点，连接 AR BE求/ E的大小.第5题图(I )证明：: AD是。的切线，切点为 A, .DAL A0 . Z DAO 90 . ./DABH / BAO= 90 . BOO 0的直径， ./BAG= 90 . /BAG / 0A仔 90 . / 0A仔 / DAB(n)解：0A= OG / 0AG= / G. AD= AG. .Z D= / C .Z 0AC= / D. / 0AC= / DAB. / DA& / D. / ABC= / D+ / DAB ./ ABC=

8、2/ D. . Z D= / C, / ABC= 2/ C. . / BAC= 90 ,/ABO Z C= 90 .，2/C+ / C= 90 .，/C= 30 .E= / C= 30 .6.已知？ABCD勺边A时经过 A、B、C三点的。0相切于点 A(I)如图，连接 AC若/ D= 32 ,求/ ACD勺大小；12(n)如图，延长DC交。0于点E,连接BE,若sin / E= ,。0的半径为13,求BC的长.图图第6题图(I )如解图，连接 OA AD与o O相切于点 A . OALAD .四边形ABCD1平行四边形， .AB/ CD BC/ AD, / B= Z D= 32 . OAL B

9、CACD= / BAC.AB= AC . . / B= / ACBBAC= 180 2/ B= 116 . ./ ACD= 116 ;(n)如解图，作直径 BF,连接CF BF为。O的直径, ./ BCF= 90 . . / F= / E, BF= 26, .在 RtBC叶，sin / F=BC= sin / E= 12.，BF13.BC=X26= 24.%图图127.已知AB是OO的直径，AB= 10,BC= 6,点D在O O,与点C分别在AB两侧，过点D作。O的切线PD(I )如图，DP与AB延长线交于点P,连接PC若PC与OO相切，求AD的长.(n )如图，若切线 PD/ AB,求AD的

10、长图图第7题图解：(I )如解图，连接 OD.PC和PD为O O的切线,. PC= PD O叶分/ CPD. PA CD .BC=BD，BD= BC= 6.AB为。O的直径,. ./AD& 90 .AD= 0A百BD =8;第7题解图(n)如解图，连接 OD BDPD为。的切线,. . PD OD. AB/ PD. ODL AB .Ad= BD .AD= BD.AB为。O的直径,. ./AD& 90 , / ACB= 90.ABM等腰直角三角形第7题解图8.在ABC, AB= AC以AB为直径的。O分别交边 BC AC于点D点E,且AE= BE(I)如图，求/ EBC勺度数；(阴如图，过点D作

11、。O的切线交AB的延长线于点 G,交AC于点F,若。O的直彳仝为10, 求BG的长.第8题图解：(I ) . AB为。O的直径， ./AEB= 90 . .AE= BE./A= /ABE= 45 . .AB= AC1。 /ABC /ACB= 2 (180 -45 )=67.5 , ./EBC= /ABO /ABE= 22.5 ;(n)如解图，连接 OD AD FG是。O的切线, .GF!OD，/ ODGp90 .,AB为。O的直径,，/ADB= 90 .AD BC.AB= AC. BD= DC. OA= OB. OD/ AC / GOD： / BAC= 45 . cosZ GOB |=,的直径

12、为10,OB= OD= 5. OG= 5小. . BG= 5#5.9.正方形ABC始接于。O,过点A作。的切线交CD延长线于点P.(I )如图，求/ P的大小；(II)如图，过点P作。的另一条切线交。于点E,连接BU若/ CB昆20 ,求/ ABE 和/ APE的大小.解：(I)如解图，连接 AQ.四边形ABC崖正方形， .Z ADG=90 , Z CAB=45.AC是。的直径.,AP是。的切线， .Z OAP=90 . ./ PAD=90 -Z CAD=45/ AD2/ AD住 90 , ./ P=Z PAO 45 ; ./ CAE= / CBE= 20 . PA PE。的切线，OA= OE

13、.Z OAP= / OEP= 90 , / AEO / CAE ，/AOE= 180 2/ CAE= 140 , / PAE= Z PEA= 90 -20 =70，1， 一 。，。，。 ./ABE=2 / AOE= 70 , / APE= 180 2/ PAE= 40 .(n)解：如解图，连接 AO并延长交。O于点F,连接DF11A图图第9题解图10.已知。O上两个定点 A, B和两个动点 C, D, AC与B改于点E.(I)如图，若 AB= BC AD是OO的直径，求证： AD- AC= 2BD-BC(n)如图，若 ACL BD点O到AD的距离为2,求BC的长.图图第10题图(I )证明：如解图，连接 O皎 AC于点F. Ab= BC _ _ 1 - ./ BAC= / ADB= / ACB OBLAC 且 AF= CF= 2AC又 AD为。的直径，/ABD= 90 ,又. / CFB= 90 . .