高中物理奥赛讲义机械振动和机械波

1、高中物理奥赛讲义：机械振动和机械波内容综述：机械振动是质点机械运动的一种重要形态，它比质点的匀速运动、匀变速直线运动都复杂。机械波是机械振动在介质中的传播，是有相互作用的一系列质点对机械振动的有序传递运动。对机械振动和机械波的研究有重要意义，在后面还要学习交流电、电磁振荡和电磁波、光波、虽然它们的物理本质和具体形式不同，但很多规律是相同的。因此，理解和掌握了机械振动和机械波的基本特征和基本规律，对学习有相同规律的其它知识就会触类旁通，容易掌握。在生产和生活中常见的机械振动和机械波是比较复杂的。在物理学中，对于一个复杂的运动可以看成是由若干个简单运动合成的，这些简单的运动是一些最基本的运动，掌握

2、了这些基本的运动规律，其合运动规律就清楚了，这是物理学的一种研究方法，简谐运动和简谐波是一种最简单并且是最基本的机械振动和机械波，一些复杂的机械振动和机械波都可以看成是由它们合成的，因此我们主要学习简谐运动和简谐波。在本期中，阐述质点做简谐运动的条件；介绍简谐运动的一种研究方法参考圆；阐明描述简谐运动的物理量振幅、周期、频率、相位；分析简谐运动方程和图象。 要点讲解：1质点做简谐运动的条件振动是物体（质点）在一定位置附近的往复运动，这个位置称为平衡位置。当物体离开平衡位置时，总要受到指向平衡位置的力，这个力称为回复力。物体在离开平衡位置时必须受到回复力的作用是一切振动的产生条件，但是

3、回复力的规律不同，产生的振动规律也不同。物体做简谐运动的条件是：物体受回复力F的大小跟位移x的大小成正比，方向跟位移方向相反，写成数学表达式即：F=-Kx（1）在这里要注意正确理解两点:第一，做简谐运动物体的位移是相对于平衡位置的，位移的方向总是由平衡位置指向物体，而回复力总由物体是指向平衡位置，所以回复力总跟位移方向相反，式中的负号表示了这种相反关系第二，公式中的K表示回复力大小跟位移大小的比例系数。对于一个确定的简谐运动，K是一个常量，对不同的简谐运动，K有不同的值。 例如，图1所示为在光滑水平直杆上做简谐运动的弹簧振子，O是振子的平衡位置，振子在平衡位置时，弹簧为原长，振子位移为x时，弹

4、簧的形变跟x大小相等，回复力等于弹簧的弹力，所以比例系数K等于弹簧的劲度系数。图2是做简谐运动的单摆（摆角小于5°），回复力等于摆球重力沿圆孤切线方向的分力，OP是它的位移，当摆角很小时，其中l是摆长，由此可得。2简谐振动的一种研究方法参考圆如图3所示，一质量为m的质点在xy平面内以原点O为圆心做匀速圆周运动，该质点在x轴上的投影（P点）将以O为中心在x轴上振动，这个振动与圆周运动有什么关系呢？设圆半径为r，角速度为w，则质点受向心力大小为 设t=0时，半径跟x轴方向的夹角为，经时间t半径跟x轴方向夹角为，则，在任意时刻t，质点在x轴上的位移为向心力在x轴上的分量为由以上两式得令，则

5、Fx=-Kx结果表明，做匀速圆周运动的质点在x轴方向上的分运动满足简谐运动条件，所以x轴方向的分运动是简谐运动。 上述结论可以通过图4所示实验验证，图中M是在水平方向做简谐运动的弹簧振子。M是在水平面上做匀速圆周运动的球，用水平方向的平行光照射小球和振子，使振子M振动的振幅等于小球M做圆周运动的半径，使M和M的运动周期相同，调整好两球开始运动时的位置，可以看到竖直屏上的两个影子运动情况完全相同。理论和实验都表明，在xy平面内做匀速圆周运动的质点在x轴上的分运动是简谐运动，我们在研究简谐运动时就可以借助于这个圆运动，为了研究简谐运动而引入的圆叫参考圆。参考圆是研究简谐运动的一种方便而有效的方法。

6、 3简谐运动的运动方程和图象 如图5所示，由x轴的坐标原点O作一矢量，使矢量绕O点沿逆时针方向匀速转动，则矢端M做匀速圆周运动，M在x轴上的投影点P的运动就是简谐运动，O即为平衡位置，矢量在x轴上的投影就是P点做简谐运动的位移。令的长度为A，矢量旋转的角速度为，t=0时矢量与x轴的夹角为，则经过时间t，矢端M在x轴上的投影点P的位移为(2)该方程表示了质点做简谐运动的位移x随时间t的变化规律，称为简谐运动方程，式中的A表示振幅。式中的在矢端M做匀速圆周运动中表示角速度，在简谐运动中表示质点在秒内完成全振动的次数，称为圆频率。用T表示简谐运动的周期，f表示频率，则式中相当于角度的量在旋

7、转矢量中表示与x轴的夹角，在简谐运动中叫周期角，也叫位相或相位。是t=0时的位相，称为初相。在简谐运动中位相是表征质点振动状态的物理量。质点的振动状态在一个周期内的变化，在位相上经历了0到的变化，振动在时间上每相隔一个周期或周期的整数倍，在位相上相差或的整数倍。简谐运动的位移随时间的变化也可以用图象表示，图5中投影点P的振动用x-t图象表示如图6，它与方程反映的规律是一致的。 4简谐运动的固有周期和固有频率前面利用参考圆研究简谐运动中得出，质点做简谐运动的回复力F=-Kx，而，（见要点讲解2），把代入可得这就是简谐运动的周期公式，对于一个确定的简谐运动系统，m和k是恒量，因此T也是恒

8、量，即简谐运动的周期只由系统本身的特性决定，称之为系统的固有周期。固有频率。做简谐运动的单摆，代入周期公式得单摆的周期。 例题分析例1：把一弹簧上端固定，下端系一物体，先使物体静止，然后再把物体从平衡位置竖直向下拉开一段距离后释放，此后物体将在竖直方向振动起来，不计弹簧质量及空气阻力，设物体在振动中弹簧始终在弹性形变范围内，证明物体的振动是简谐运动。 证：如图7所示，设弹簧原长为，劲度系数为，挂上物体后弹簧伸长的长度为，O是物体的平衡位置，平衡时物体受弹簧拉力和重力G，根据物体平衡条件可得：把物体从平衡位置竖直向拉开一段距离后释放，物体将在竖直方向振动，取竖直向下为位移正方向，物体经

9、过任意位置P时位移为x，此时物体受重力G、弹簧的作用力则物体受回复力由于，所以结果满足物体做简谐运动的条件，所以物体的振动是简谐运动，并求得。  例2：如图8所示，A、B两物块叠放在光滑水平面上，弹簧一端固定，另一端与物体B连接，O是平衡位置。把物块水平向右拉离平衡位置后释放，使物块在水平面上做简谐运动。已知A的质量m=0.05kg，B的质量M=0.1kg，A、B间最大静摩擦力，弹簧劲度系数，不计弹簧质量及空气阻力，求（1）要使A、B之间不发生相对滑动，振幅最大为多少？（2）若使物块以最大振幅振动，取水平向右为位移正方向，从位移大小为振幅一半并指向平衡位置沿x轴正方向运动开始计时，求

10、振动方程：分析与解答：这是一个连接体问题，如果两物块振动中不发生相对滑动，使A振动的回复力是B给的静摩擦力，使B振动的回复力是A给B的静摩擦力与弹簧弹力的合力，要使两物块无相对滑动，A受回复力大小不得超过。设最大振幅为，当时，A、B受力如图9，此时两物块加速度最大，设为，根据牛顿第二定律可得而由以上三式解得（2）设简谐运动方程为根据题意，t=0时，所以所以，简谐运动的圆频率，而，所以把值代入可得简谐运动方程。 A组1已知火星的直径约为地球直径的一半，火星的质量约为地球质量的，若一单摆在地球表面附近做简谐运动的周期为T，该摆在火星表面附近做简谐运动的周期为_。2甲、乙两单摆摆长之和为1

11、.02m，在相同时间内甲振动10次，乙振动6次，则甲摆的摆长为_m。3一弹簧振子做简谐运动，周期为T，（A）若t时刻和（t+t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则t一定等于T的整数倍（B）若t时刻和（t+t）时刻振子运动的回复力大小相等、方向相反，则t一定等于的整数倍（C）若t=T，则在t时刻和（t+t）时刻振子运动的加速度一定相等（D）若，则在t时刻和（t+t）时刻弹簧的长度一定相等  B组1、如图10所示，弹簧上端固定，下端拴一质量M=2kg的盘，盘上放一质量m=1kg的物块，使盘和物块共同在竖直方向做简谐运动，振幅2cm。已知弹簧劲度系数，则物块对盘的最大压力为_N。要使物块不离开盘，振幅最大为_m。2如图11所示，在两个向相反方向转动的小轴上水平放一块均匀木板，木板的质量为m，两个小轴的轴心之间距离为2l，木板与两轴的动摩擦因数都为。木板最初的位置是它的重心偏离中线OO为x的位置。试证明木板在轴产生的摩擦力的作用下的运动是简谐运动，并求出它的周期。 参考答案和提示：A组11.5T 20.27 3C、DB组113.8；0.049。提示：