2019高考数学一轮复习第8章立体几何第9课时二面角练习理

1、D.2 .2答案 B解析 如图所示，取 AB 中点 E,过 V 作底面的垂线,意可知，/ VE0 是二面角 V- AB- C 的平面角.因为OE 1J2 ,cos / VEO=-=,故选 B.VE 2 述 42.如图，三棱锥 S- ABC 中，棱 SA SB SC 两两垂直，且 SA= SB= SC 则二面角切值为(A. 1BC. 2答案 CD. 2解析 三棱锥 S- ABC 中，棱 SA SB SC 两两垂直，且 SA= SB= SC, / SAL 平面 SBC 且 AB=AC= SA2+ SB,如图，取 BC 的中点 D,连接 SD AD,则 SDLBC ADLBC 则/ ADS 是二面角

2、牝12SA i厂A- BC- S 的平面角，设 SA= SB= SC= 1,贝 U SD= ,在 Rt ADS 中，tan / ADS=石尸一= 2 ,2SD2/?2故选 C.另解：以S为坐标原点，SB, SC,的方向分别为 x , y , z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设SA=1,则 s(0,0 , 0) , A(0 , 0 , 1), B(1, 0 , 0) , C(0 , 1, 0) , SA= (0 , 0 , 1),AB= (1 , 0, 1) ,AC=(0 , 1, 1),易知Tn AB= 0 , x z = 0 ,SA= (0, 0 , 1)为平面 SBC 的一个法向量， 设

3、门=(x , y , z)为平面 ABC 的法向量，贝畀即j屮AC=0 ,y-z=0, 令 z = 1,贝 Un= (1 , 1, 1)为平面 ABC 的一个法向量，所以 cos AC 1 , 7 , AB - CD= 2 2cosAB, CD = AB - (BD- BC =- 2+ AB- BC-AB+BC- AC?2AB- BC=1-咳-5 12 2，2设异面直线 AB CD 所成的角为0wcos0,故选 D.2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变41答案, 解析由 A 点作 AOL ED 于 0,连接 PQ则/ PQA 为二面角的平面角.PA 1 tan /

4、POA=OA= OA-沧州七校联考)三棱锥 A- BCD 的三视图如图所示:设m=(X1, y1, zj 是平面 ABD 的一个法向量，mLDAmL DB3X1- 5y1+ 4z1= 0 ,3X1+ 4Z1= 0 ,5y1= 0 ,y1= 0.可取ni= (4 , 0,- 3).设n2= (X2, y2, Z2)是平面 ADC 的一个法向量,Tn?丄DAn2丄DC,3x2 5y2+ 4z2= 0 ,3x2= 0 ,15- 35 4141.4& 4 辰 sin n1,n2=一.回 41即二面角 B- AA C 的正弦值为 f & (2018 洛阳第一次统考)如图，四边形 ABEF

5、 和四边形 ABC均是直角梯形，/ FAB=ZDA= 90 ,二面角又 QAE,2 , tan / POAE：1,7. (2018则二面角B- AD- C 的正弦值为答案罟41解析 如图，把三棱锥 A- BCD 放到长方体中，长方体的长、为直角三角5 和 3，三棱锥 A- BCD 的高为 4,建立如图空间直角坐标系，则B(0 , 0 , 0) , A(3, 0, 4) , C(3 , 5 , 0) , D(0 , DA= (3 , - 5, 4) , DB= (0 , 5, 0) , DC= (3 , 0, 0).5y2= 4z2,X2= 0.可取n2= (0 ,4 , 5).cosn1,n2

6、侧任视图宽、高分别为 5 ,5F AB- D 是直二面角， BE/ AF, BC/ AD, AF= AB= BC= 2, AD= 1.(1)证明：在平面 BCE 上，一定存在过点 C 的直线 I 与直线 DF 平行;求二面角 F CD- A 的余弦值.J6答案(1)略(2) -g-解析 (1)由已知得，BE/ AF, AF?平面 AFD BE?平面 AFD, BE/平面 AFD.同理可得，BC/平面 AFD.又 BEABC= B,.平面 BCE/平面 AFD.设平面 DF6 平面 BCE= I，则 I 过点 C.平面 BCE/平面 ADF,平面 DF6 平面 BCE= I，平面 DF6 平面

7、AFD= DF, DF/I，即在平面 BCE 上一定存在过点 C 的直线 I，使得 DF/I.(2)T平面 ABEFL 平面 ABCD FA?平面 ABEF 平面 ABCA平面 ABEF= AB,又/ FAB= 90,. AF 丄 AB,. AF 丄平面 ABCD/ AD?平面 ABCD：AF 丄 AD.vZDAB= 90, AD 丄 AB.以 A 为坐标原点，AD AB AF 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.由已知得，D(10 , 0) ,C(2,设平面 DFC 的法向量为n= (x ,y , z),n DF=0,则 n DC=0,x= 2z ,x= 2y ,

8、不妨取 z = 1,贝 yn= (2 , 1 ,1),不妨取平面ACD 的一个法向量为m=(0,0,1), cosmrrr n 1n= Imin| =_6由于二面F CD- A 为锐角,因此二面角F-CD-A的余弦值为 f9. (2018 安徽合肥二检,理)如图,在矩形 ABCD 中 , AB= 1 , AD= 2,点 E 为 AD 的中点，沿 BE 将 ABE 折起至 PBE 如图所示,点P 在平面BCDE 上的射影 O 落在 BE 上.2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变6求证：BP 丄 CE求二面角 B- PC D 的余弦值.答案略（2）半 解析 点 P 在

9、平面 BCDE 上的射影 0 落在 BE 上， P0 丄平面 BCDE： P0 丄 CE 由题意，易知 BEL CE 又 POH BE= 0, CE!平面 PBE 又TBP?平面 PBE BP 丄 CE.以 0 为坐标原点，以过点 0 且平行于 CD 的直线为 x 轴，过点 0 且平行于 BC 的直线为 y 轴，P0 所在的直线 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.小 111 31 32则B（2, 2，0）, C（2, 2，0），D（2 , 2, 0），P（0，0，-f），TT132T112T CD=（ 1, 0, 0） , CP=（ 2， 2,于），PB=（2， 2，-三），BC=（0

10、，2, 0）.设平面 PCD 的法向量为n1= （X1, y1, Z1）,T一 xi= 0,n1 CD= 0,i厂2 t-则$即 i 13x/2令 Z1=2，可得n1= （0 , 3 p2）为平面 PCD 的一个法向量.ImCP=0,2x12y1+ t=0,3设平面 PBC 的法向量为n2=（X2, y2, Z2）,10. （2017 山东，理）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 旋转 120得到的，G 是DF 的中点.n2则 tn PB=0,BC= 0,即X2-y2-血2=0，令 Z2=，可得n2=（2 , y2= 0,0 , .2）为平面 PBC 的一个法向量.433由图可知二面角B

11、PC D 为钝角，故二面角 B PC- D 的余弦值为一 肓. cosn1,n2n1n233|n1| |n2| =71,7（1）设 P 是 CE 上的一点，且 API BE 求/ CBP 的大小；ABCD 及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变8当 AB= 3, AD= 2 时，求二面角 E AG- C 的大小.答案(1)30 (2)60 解析(1)因为 AP 丄 BE AB 丄 BE, AB, AP?平面 ABP, ABAAP= A,所以 BE!平面 ABP.又 BP?平面 ABR 所以BE! BP.又/ EBC= 120 ，

12、因此/ CBP= 30 .方法一：取 EC 的中点 H,连接 EH, GH, CH.因为/ EBC= 120, 所以四边形 BEHC 为菱形，所以 AE= GE= AC= GO 32+ 22=13.取 AG 中点 M,连接 EM CM EC,则 EML AG CML AG所以/ EMC 为所求二面角的平面角.又 AM= 1 ,所以 EM= CM=13 1= 2 3.在厶 BEC 中，由于/ EBC= 120 ,由余弦定理得 EC= 22+ 22 2X2X2Xcos120 = 12 ,所以 EC= 2 3 ,因此 EMC 为等边三角形，故所求的二面角为 60 .方法二：以 B 为坐标原点，分别以

13、 BE, BP, BA 所在的直线为 x , y , z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得 A(0 , 0 , 3) , E(2 , 0 , 0) , G(1, 3 , 3) , C( 1,3 , 0),故AE= (2 , 0, 3) ,AG=(1 , 3 , 0) , C(= (2 , 0 , 3),设m= (x1,屮,Z1)是平面 AEG 的法向量.nr AE=0,2xi3zi=0,由$可得 厂E AG= 0 ,X+灯3y1= 0.取 Z1= 2,可得平面 AEG 的一个法向量n= (3, ,3 , 2).设n= (x2, y2, Z2)是平面 ACG 的法向量.fn AG= 0

14、 ,；2+V3V2=0厂由$可得彳V y，取 Z2= 2,可得平面 ACG 的一个法向量n= (3 , , 2).所以 cos、nCG=0 ,2x2+3z2=0.nrn1m n=m.川=夕由图形可知二面角 E AG C 为锐二面角,因此所求的角为60 .911 . (2017 广州综合测试一)如图，在直角梯形 ABCD 中 , AD/ BC, AB 丄 BC, BD 丄 DC,点 E 是 BC 边的中点，将厶 ABD 沿 BD 折起，使平面 ABDL 平面 BCD 连接 AE, AC, DE,得到如图所示的几何体.(1)求证：AB 丄平面 ADC若 AA 1，二面角 C AB D 的平面角的正

15、切值为6,求二面角 B AA E 的余弦值.10答案略(2)1解析 因为平面 ABDL 平面 BCD 平面 ABDT平面 BCD- BD又 BD DC 所以 DCL 平面 ABD.因为 AB?平面 ABD 所以 DCLAB.又折叠前后均有 ADLAB DCH AD- D,所以 AB 丄平面 ADC.由知 AB 丄平面 ADC 所以 AB 丄 AC 又 AB 丄 AD,所以二面角 C- AB- D 的平面角为/ CAD. 又 DCL平面 ABD AD?平面 ABD 所以 DCLAD.CD 厂依题意 tan / CAI AD=寸 6.AD因为 AD= 1,所以 CD=6.设 AB= x(x0),贝

16、 U BD= x2+ 1.AB CD x、民依题意 ABBADCB 所以=品 即：;=一2.AD BD 1 Qx +1 又 x0 ,解得 x= 2 ,故 AB= 2 , BD= 3 , BC= BD+ CD =3.设平面 ADE 的法向量为m (x , y , z),怦 x+当 y-0,令 x = 6，得 所以 m= ( 6 ,由图可知二面角 B AD E 的平面角为锐角,图图方法一：如图 a 所示,建立空间直角坐标系D xyz,则 D(0 , 0 ,C(0 ,6 , 0) , E(F ,亠2, 0), A 样,0,由知平面 BAD 的一个法向量为n= (0 , 1 , 0).m-DE=0 , 由T所以 cosn,mnm1|n| |m=2,所以 DE= (f ,2017 年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台 教育因你我而变111所以二面角 B AD E 的余弦值为 2方法二：因为 DCL 平