数系的扩充与复数的概念

1、数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念1复数的有关概念复数的有关概念(1)复数复数定义：形如定义：形如abi的数叫做复数，其中的数叫做复数，其中a、b是是_，i叫做叫做_，a叫做复数的叫做复数的_，b叫叫做复数的做复数的_表示方法：复数通常用表示方法：复数通常用z表示，即表示，即zabi(a、bR)(2)复数集复数集定义：由定义：由_所构成的集合叫做复数集所构成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母表示：通常用大写字母 _表示表示实数实数虚数单位虚数单位实部实部虚部虚部全体复数全体复数C实数实数虚数虚数2.复数的分类及包含关系复数的分类及包含关系复数复数 可以分类如下可以分类如下:( ,)

2、zabi a bR_(0)_(0)_(0)_(0)bzabiaba纯虚数纯虚数非纯虚数非纯虚数3复数相等的充要条件复数相等的充要条件设设a、b、c、d都是实数，则都是实数，则abicdi_；abi0_.ac，bdab0问题探究问题探究1复数复数mni的实部是的实部是m，虚部是，虚部是n吗？吗？提示：提示：不一定，只有当不一定，只有当m、nR时，时，m才是实部，才是实部，n才是虚部才是虚部2复数就是虚数吗？复数就是虚数吗？提示：提示：复数与虚数不是同一个概念，现在所见的复数与虚数不是同一个概念，现在所见的所有数都是复数，它包括实数和虚数两大部分所有数都是复数，它包括实数和虚数两大部分3两个复数能

3、否比较大小？两个复数能否比较大小？提示：提示：对于复数对于复数zabi(a、bR)，当，当b0时时能比较大小，当能比较大小，当b0时，不能比较大小即两个时，不能比较大小即两个不全是实数的复数不能比较大小不全是实数的复数不能比较大小规定规定i与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，即与原数集不矛盾有的加、乘运算律仍然成立，即与原数集不矛盾复数的概念和性质复数的概念和性质题型一题型一 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确(1)当当zC时，时，z20.(2)若若aR，则，则(a1)i是纯虚数是纯虚数(3)若若ab，则，则aibi.

4、(4)若若x，yC，则，则xyi1i的充要条件是的充要条件是xy1.例例1【思路点拨思路点拨】根据复数的概念可以判定根据复数的概念可以判定【解解】(1)错误当且仅当错误当且仅当zR时，时，z20成成立立若若zi，则，则z210.(2)错误当错误当a1时，时，(a1)i(11)i0i0R.(3)错误两个虚数不能比较大小错误两个虚数不能比较大小(4)错误当且仅当错误当且仅当x，yR时，时，x，y才是才是xyi的实部和虚部此时的实部和虚部此时xyi1i的充要条件才是的充要条件才是xy1.【思维总结思维总结】数集从实数集扩充到复数集后，某数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立些结论不再成立如：两

5、数大小的比较，某数的平方是非负数等如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等变式训练变式训练1下列命题：下列命题：若若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则是纯虚数，则x1；若实数若实数a与与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；对应，则实数集与纯虚数集一一对应；纯虚数集相对复数集的补集是虚数集纯虚数集相对复数集的补集是虚数集其中真命题的个数是其中真命题的个数是_分析分析:在中，若在中，若x1，则不成立；，则不成立；若若a0，则，则ai不是纯虚数不是纯虚数由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集所求补集应是非纯虚数集与实

6、数集的并集答案：答案：0复数复数zabi(a、bR)，根据，根据a，b的取值可分的取值可分为实数、虚数及纯虚数为实数、虚数及纯虚数复数的分类复数的分类题型二题型二例例2即即m3时，复数时，复数z是纯虚数是纯虚数【思维总结思维总结】利用复数的代数形式进行分类时，利用复数的代数形式进行分类时，主要依据是实部、虚部应满足的条件，求参数时，主要依据是实部、虚部应满足的条件，求参数时，可据此列出方程组求解可据此列出方程组求解 已知已知x，y均是实数，且满足均是实数，且满足(2x1)iy(3y)i，求，求x与与y.例例3复数相等及应用复数相等及应用题型三题型三互动探究互动探究3若本例条件变为若本例条件变为

7、x、yR，且满足，且满足(2xt)iy(ty)i.求点求点(x，y)满足的轨满足的轨迹迹1利用复数的代数形式对复数分类时，关键是利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等等式或不等式式或不等式(组组)，求解参数时，注意考虑问题要，求解参数时，注意考虑问题要全面全面方法感悟方法感悟2两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等要先确定是否为代数形式，确定实部、应相等要先确定是否为代数形式，确定实部、虚部后再应用虚部后再应用. 3把把“复数相等复数相等”这一条件转化为两个实数等式，这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要中非常重要失误防范失误防范1一般地，两个复数只能相等或不相等，不能一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小比较大小2确定复数的实部和虚部时，不要只根据复数确定复数的实部和虚部时，