小波变换与图像压缩

1、MMTMMTYANGZHOUDAXUE物理科学与技术学院物理科学与技术学院第八讲、小波变换和图像压缩第八讲、小波变换和图像压缩第1节 小波变换简介设有信号f(t):其傅里叶变换为F(j):1( )()2j tf tF jed即：=+024681012141618-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81024681012141618-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81024681012141618-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81（t）1/2（2t-t0）2/3（4t-t1）像(t)这样，有限长且均值为0的函数称为

2、小波函数。常用的小波函数如下图： 由一个母小波函数，通过平移和缩放，可得到一系列函数，组成一个小波函数系。1/2,( )()a bxbxaa 其中a为缩放参数，b为平移参数。将函数用一个小波函数系的线性组合表示就是小波反变换。2,2( )( , )( )fa bf xa Wa bx dadbC ()Cd ( ) 为(x) 的傅里叶变换。 为小波系数。( , )fWa b 求得小波系数的算式就是小波正变换。,( , )( )( )fa bWa bf xx dx 该式也可以理解为f(x)和a,b(x)内积，小波系数表示二者的相似程度，或f(x)中含有a,b(x)成分的多少 。 小波系数有a和b两个

3、自变量，分别代表不同的尺度（时间）和频率，所以小波分析属于时频分析。第2节 离散小波变换（HAAR小波）（1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8 ）（1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8）（1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4, 0, 0, 0, 0）（ 0, 0 , 0, 0, 1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4）（1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0, 0, 0）（ 0, 0 , 1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0）（ 0, 0 , 0, 0, 1/2, -1/2 , 0

4、, 0）（ 0, 0 , 0, 0, 0, 0, 1/2, -1/2）连续Haar小波对应的离散Haar小波1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/81/8, 1/8 , 1/8, 1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/81/4, 1/4 ,-1/4, -1/4, 0, 0, 0, 00, 0 , 0, 0, 1/4, 1/4 ,-1/4, -1/41/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0, 0, 00, 0 , 1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 00, 0 , 0, 0, 1/2, -1/2 , 0 , 00, 0 , 0, 0,

5、 0, 0, 1/2, -1/2 6432.52030.5610.560316297275725离散小波变换就是做向量的内积。例：对（64， 2， 3， 61， 60， 6， 7， 57）做Haar小波变换：64, 2, 3, 61, 60, 6, 7, 57Haar小波变换第二种做法：64+23+6160+67+5764-23-6160-67-5733(),32(), 33(),32(),31(),-29(),27(),-25()2222222264+2+3+6160+6+7+5764+2-3-6160+6-7-5732.5(),32.5(), 0.5(),0.5(),31,-29,27,-

6、2 5444464+2+3+61+60+6+7+5764+2+3+61-60-6-7-5732.5(),0(), 0.5,0.5,31,-29,27,-258832.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25Haar小波反变换：1 1 1 0 1 0 0 01 1 1 0 -1 0 0 01 1 -1 0 0 1 0 01 1 -1 0 0 -1 0 01 -1 0 1 0 32.500.50.5 0 1 0311 -1 0 1 0 0 -1 0291 -1 0 -1 0 0 0 1271 -1 0 -1 0 0 0 -1 2564236160675732.5,0, 0.5,0.5,

7、31,-29,27,-2532.5(32.5+0),32.5(32.5-0), 0.5,0.5,31,-29,27,-2533(35.2+0.5),32(32.5-0.5), 33(32.5+0.5),32(32.5-0.5),31,-29,27,-2564(33+31), 2(33-31), 3(32-29), 61(32+29), 60(33+27), 6(33-27), 7(32-25), 57(32+25)Haar小波反变换第二种做法：图像是二维数据，所以要分别对行和列做小波变换。行列的顺序不影响变换结果。JPEG2000标准中建议的不是Haar小波，而是5/3小波或9/7小波。对图像

8、的小波变换可能有损也可能无损。图像小波变换除了应用在图像压缩上，还广泛用于图像分析。将图像的小波系数用树结构表示。 63, -34, 49, 10, 7, 13, -12, 7-31, 23, 14, -13, 3, 4, 6, -1 15, 14, 3, -12, 5, -7, 3, 9 -9, -7, -14, 8, 4, -2, 3, 2 -5, 9, -1, 47, 4, 6, -2, 2 3, 0, -3, 2, 3, -2, 0, 4 2, -3, 6, -4, 3, 6, 3, 6 5, 11, 5, 6, 0, 3, -4, 4例：88小波系数扫描次序EZW编码的术语P：正重要

9、节点，本节点绝对值大于阈值，且为正数。N：负重要节点，本节点绝对值大于阈值，且为负数。Z：孤立零，本节点绝对值小于阈值，但其子节点中有重要节点。T：零树根，本节点及其所有子节点绝对值都小于阈值。扫描：按次序扫描各小波系数，判断其为何种节点。 63, -34, 49, 10, 7, 13, -12, 7-31, 23, 14, -13, 3, 4, 6, -1 15, 14, 3, -12, 5, -7, 3, 9 -9, -7, -14, 8, 4, -2, 3, 2 -5, 9, -1, 47, 4, 6, -2, 2 3, 0, -3, 2, 3, -2, 0, 4 2, -3, 6, -

10、4, 3, 6, 3, 6 5, 11, 5, 6, 0, 3, -4, 4第一次扫描编码结果：PNZT PTTT TZTT TTTT TPTT10 1 0 EZW编码举例：第一次扫描:初始阈值设为32。得到重要节点，对零树根的子节点不做扫描。对重要节点编码。 63, -34, 49, 10, 7, 13, -12, 7-31, 23, 14, -13, 3, 4, 6, -1 15, 14, 3, -12, 5, -7, 3, 9 -9, -7, -14, 8, 4, -2, 3, 2 -5, 9, -1, 47, 4, 6, -2, 2 3, 0, -3, 2, 3, -2, 0, 4 2

11、, -3, 6, -4, 3, 6, 3, 6 5, 11, 5, 6, 0, 3, -4, 4 第二次扫描编码结果： NP TTT TTTT TTTT TTTT1001 10第二次扫描:阈值设为16。第二遍扫描对第一遍的重要节点不扫描。对第一第二遍扫描的重要节点编码。 63, -34, 49, 10, 7, 13, -12, 7-31, 23, 14, -13, 3, 4, 6, -1 15, 14, 3, -12, 5, -7, 3, 9 -9, -7, -14, 8, 4, -2, 3, 2 -5, 9, -1, 47, 4, 6, -2, 2 3, 0, -3, 2, 3, -2, 0

12、, 4 2, -3, 6, -4, 3, 6, 3, 6 5, 11, 5, 6, 0, 3, -4, 4第三次扫描编码结果： PPN PPNT TNNP TPTT NTTT TTTT TPTT TPTT TTT TTTP TTTT TTTT TTTT100111 01111011011000第三遍扫描:阈值设为8。第三遍扫描对之前扫描的重要节点不扫描。对所有的重要节点编码。EZW解码： 56, -40, 56, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0,

13、 40, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0PNZT PTTT TZTT TTTT TPTT10 1 0 NP TTT TTTT TTTT TTTT1001 10 60, -36, 52, 0, 0, 0, 0, 0-28, 20, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 44, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0,

14、 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0PPN PPNT TNNP TPTT NTTT TTTT TPTT TPTT TTT TTTP TTTT TTTT TTTT100111 01111011011000 62, -34, 50, 0, 0, 14, -14, 0-30, 22, 14,-14, 0, 0, 0, 0 14, 14, 0,-14, 0, 0, 0,10-10, 0, -14, 10, 0, 0, 0, 0 0, 10, 0, 46, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0

15、, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0 63, -34, 49, 10, 7, 13, -12, 7-31, 23, 14, -13, 3, 4, 6, -1 15, 14, 3, -12, 5, -7, 3, 9 -9, -7, -14, 8, 4, -2, 3, 2 -5, 9, -1, 47, 4, 6, -2, 2 3, 0, -3, 2, 3, -2, 0, 4 2, -3, 6, -4, 3, 6, 3, 6 5, 11, 5, 6, 0, 3, -4, 4原始小波系数和原始数据138 100 5 -27 57 67 15 -19124 102 -17 -25 -5 -3 1

16、33 107 60 44 -40 -84 47 65 35 33 54 50 -48 -100 37 55 25 39 58 36 6 -20 169 193 143 111 42 32 8 6 161 197 113 105123 123 29 1 143 193 136 116 81 81 1 -15 151 185 152 148解码误差分析：小波反变换： 56, -40, 56, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 40, 0, 0, 0,

17、 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 072 72 -40 -40 136 136 56 5672 72 -40 -40 56 56 136 13672 72 -40 -40 96 96 96 9672 72 -40 -40 96 96 96 9672 72 -40 -40 96 96 96 9672 72 -40 -40 96 96 96 9672 72 -40 -40 96 96 96 9672 72 -40 -40 96 96 96 96 66 28 45 13 -79 -69 -41

18、-75 52 30 23 15 -61 -59 -3 -29 -12 -28 0 -44 -49 -31 -61 -63 -18 -22 -8 -60 -59 -41 -71 -57 -14 -36 46 20 73 97 47 15 -30 -40 48 46 65 101 17 9 51 51 69 41 47 97 40 20 9 9 41 25 55 89 56 52第一次解码误差：小波反变换：根据第一次扫描结果解码 60, -36, 52, 0, 0, 0, 0, 0-28, 20, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0

19、, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 44, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 68 68 -36 -36 92 92 4 4 68 68 -36 -36 4 4 92 92 68 68 -36 -36 48 48 48 48 68 68 -36 -36 48 48 48 48 84 84 -20 -20 144 144 144 144 84 84 -20 -20 144 144 144 144 84 84 -20 -20 144 144 144 144 84 8

20、4 -20 -20 144 144 144 144 70 32 41 9 -35 -25 11 -23 56 34 19 11 -9 -7 41 15 -8 -24 -4 -48 -1 17 -13 -15 -14 -18 -12 -64 -11 7 -23 -9 -26 -48 26 0 25 49 -1 -33 -42 -52 28 26 17 53 -31 -39 39 39 49 21 -1 49 -8 -28 -3 -3 21 5 7 41 8 4第二次解码误差：根据第二次扫描结果解码小波反变换： 62, -34, 50, 0, 0, 14, -14, 0-30, 22, 14,-1

21、4, 0, 0, 0, 0 14, 14, 0,-14, 0, 0, 0,10-10, 0, -14, 10, 0, 0, 0, 0 0, 10, 0, 46, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0 122 122 8 -20 38 66 26 6 102 102 -12 -40 -34 -6 138 118 56 56 -58 -86 30 58 34 54 56 56 -58 -86 30 58 34 54 48 48 18 -10 148 176 114 114 48 48 18 -10 148 176 114 114 106 106 20 -8 138 166 144 144 86 86 0 -28 158 186 164 164 16 -22 -3 -7 19 1 -11 -25 22 0 -5 15 29 3 -5 -11 4 -12 18 2 17 7 1 -21 -2 -